2020-2021学年福建南平高二上数学月考试卷

这是一份2020-2021学年福建南平高二上数学月考试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若点Mm,m在曲线x−y2=0上，则m的值为( )
A.0B.1C.−1或0D.0或1

2. 方程y=−1−x2表示的曲线是( )
A.一个圆B.一条射线C.半个圆D.一条直线

3. 下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R，2x−1>0B.∀x∈N*，(x−1)2>0
C.∃x∈R，lgx1”是“a2>a”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 已知命题p:∀x>0，ln(x+1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2．下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)

6. 在△ABC中，已知sinAcsB=sinC=csC，那么△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.正三角形

7. 在△ABC中，csC=23，AC=4，BC=3，则csB=( )
A.19B.13C.12D.23

8. 设an是等比数列，且a1+a2+a3=1 ，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=( )
A.12B.24C.30D.32
二、多选题

下列叙述中不正确的是( )
A.若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2−4ac≤0”
B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.“a1”是“1acsx

已知曲线C:mx2+ny2=1．正确的选项是( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C.若m=0,n0，则C是两条直线
三、填空题

已知椭圆x24+y23=1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=60∘，则△PF1F2的面积为________.

已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________.

已知椭圆方程是x29+y24=1，则以A1,1为中点的弦MN所在的直线方程为________.

P为椭圆x24+y27=1上一点，则它到直线l:3x−2y−16=0的最短距离是________，此时点P的坐标是________.

四、解答题

设p：实数x满足x2−4ax+3a20成立，故A项正确；
∵ 当x∈N*时，x−1∈N，可得(x−1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴ 任意x∈N*，使(x−1)2>0不成立，故B项不正确；
∵ 当x=1时，lgx=01或a1是a2>a的充分不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．
【解答】
解：∵ x>0， ∴ x+1>1，
∴ lnx+1>ln1=0．
∴ 命题p为真命题，∴ ¬p为假命题．
∵ a>b，取a=1，b=−2，
而12=1，−22=4，此时a2cb2‘’，故错误；
C正确，若方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，
则Δ=1−4a>0，x1x2=ax≥y时，x2≥y2不成立，故C不正确；
∵ x2+y2−2xy=(x−y)2≥0成立，从而有x2+y2≥2xy成立，故D正确.
故选AD.
【答案】
B,C
【考点】
全称命题与特称命题
命题的真假判断与应用
【解析】
根据三角函数的值域，可得命题P1是假命题；根据特殊角的三角函数值，可得命题P2是真命题而命题P4是假命题；根据二倍角的余弦公式化简，并结合余弦的符号，得到命题P3是真命题．由此得到本题的答案．
【解答】
解：对于选项A，因为sinx+csx=2sin(x+π4)，
所以sinx+csx的最大值为2，
可得不存在x∈R，使sinx+csx=2成立，故命题A是假命题；
对于选项B，因为存在x=kπ或±π3+2kπ(k∈Z)，使sin2x=sinx成立，
故命题B是真命题；
对于选项C，因为1+cs2x2=cs2x，所以1+cs2x2=|csx|，
结合x∈[−π2, π2]得csx≥0,
由此可得1+cs2x2=csx，故命题C是真命题；
对于选项D，因为当x=π4时，sinx=csx=22，不满足sinx>csx，
所以存在x∈(0, π)，使sinx>csx不成立，故命题D是假命题．
故选BC.
【答案】
A,D
【考点】
椭圆的标准方程
圆的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
因为m>n>0，所以1m0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；
对于C，若m=0，n0，则mx2+ny2=1
可化为y2=1n，y=±nn，
此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
故选AD．
三、填空题
【答案】
3
【考点】
椭圆的定义
余弦定理
【解析】
根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b以c的值，即可得|F1F2|的值；进而在在△PF1F2中，由余弦定理可得关系式|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs 60∘，代入数据变形可得4=(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1||PF2|，结合椭圆的定义可得4=16−3|PF1||PF2|，即可得|PF1||PF2|=4，由正弦定理计算可得答案．
【解答】
解：由x24+y23=1可知，已知椭圆的焦点在x轴上，且a=2，b=3，
∴ c=a2−b2=4−3=1，
∴ |F1F2|=2c=2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs 60∘
=|PF1|2+|PF2|2−|PF1|⋅|PF2|，
即4=(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1||PF2|，
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4，
∴ 4=16−3|PF1||PF2|，
∴ |PF1||PF2|=4，
∴ S△PF1F2=12|PF1||PF2|⋅sin60∘ =12×4×32=3．
故答案为：3.
【答案】
33
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
直接利用椭圆的通经与焦距的关系，求解即可．
【解答】
解：F1，F2是椭圆上的两个焦点，
过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，
因为△ABF2是正三角形，
可得32×2b2a=2c，即3b2=2ac，
所以3(a2−c2)=2ac，即3(1−e2)=2e，
解得e=33．
故答案为：33.
【答案】
4x+9y−13=0
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
无
【解答】
解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x129+y124=1，x229+y224=1，
两式相减得(x1+x2)(x1−x2)9=−(y1+y2)(y1−y2)4.
∵ x1+x2=2，y1+y2=2，
∴ y1−y2x1−x2=−49，
∴ 以A1,1为中点的弦MN所在的直线方程为
y−1=−49(x−1)，即4x+9y−13=0．
故答案为：4x+9y−13=0．
【答案】
8313,32,−74
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
无
【解答】
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=32x+m，
代入x24+y27=1并整理得：
4x2+3mx+m2−7=0，
Δ=9m2−16(m2−7)=0⇒m2=16⇒m=±4，
故两切线方程为y=32x+4或y=32x−4，
显然y=32x−4距l最近，且最短距离d=|−16+8|22+32=8313.
将m=−4代入4x2+3mx+m2−7=0
求得x=32，
故切点为P32,−74．
故答案为：8313；P32,−74．
四、解答题
【答案】
解：令A=(3a, a)，B=(−∞, −4]∪[−2, +∞)，
∵ ¬p是¬q的必要不充分条件，
∴ q是p的必要不充分条件，即A是B的真子集.
∴ a≤−4或−23≤a0．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线（高），且|OF|=c，|A1A2|=2b，
∴ c=b=2，
∴ a2=b2+c2=8，
故所求椭圆的方程为x28+y24=1．
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若焦点在x轴上，则a=3，
∵ e=63，
∴ c=6，
∴ b2=a2−c2=9−6=3．
∴ 椭圆的方程为x29+y23=1；
若焦点在y轴上，则b=3，
∵ e=ca=63，c2a2=23，
a2−b2a2=23，b2a2=13，
∴a2=27，
∴ 椭圆方程为y227+x29=1，
∴ 所求椭圆的方程为x29+y23=1或y227+x29=1．
(2)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线（高），且|OF|=c，|A1A2|=2b，
∴ c=b=2，
∴ a2=b2+c2=8，
故所求椭圆的方程为x28+y24=1．
【答案】
解：因为对∀x∈12,2，m>x2+1x恒成立，
令fx=x2+1x=x+1x，
fx在12,1上单调递减，在[1,2]上单调递增.
又因为f12=f2=52，
所以fxmax=52，所以 m>52，
所以p为真时，m>52 .
由题意知f(t)在(0,+∞)上存在零点，
令ft=0，得m=−t+12+4，
又t>0，
所以若q为真，则m52,m≥3,或m≤52,mx2+1x恒成立，
令fx=x2+1x=x+1x，
fx在12,1上单调递减，在[1,2]上单调递增.
又因为f12=f2=52，
所以fxmax=52，所以 m>52，
所以p为真时，m>52 .
由题意知f(t)在(0,+∞)上存在零点，
令ft=0，得m=−t+12+4，
又t>0，
所以若q为真，则m52,m≥3,或m≤52,m