【2021-高考】三角函数的最值典例剖析

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题型2：y=asinx+bcsx型可化为y=（其中）
[例2] （2004年全国，理4）函数在区间[0，]上的最小值为____。
[解析] ： =2（）
=2（）=2
因为，所以，当时，易知y的最小值为
[答案] 所以应填“1”。
题型3：型的函数
此类函数可先降次，再整理转化形式解决，
的最小值，并求出取最小值时的集合


题型4：型的函数
此类函数可转化为形如的二次函数，从而讨论其最值

题型5：型的函数
此类函数可转化为去处理，或利用万能公式换元后用判别式处理




可看作是单位圆上的动点P与Q连线的斜率，设直线的方程为
即，则圆心（0,0）到它的距离
解得或

【附】： 求的值域（反解法）

又

函数的值域



题型6：含有“的三角函数的最值问题。
此类函数的常用解决方法是令将转化为的函数关系，最终划归为二次函数的最值问题。
求函数的最值。


题型7：利用函数单调性求最值
求的最值及对应的的集合
：将分子展开转化为的形式来解决

令则且设


求解三角函数问题常用的几种策略
三角函数的内容丰富多彩，三角公式各类众多，所以我们在求解三角问题时会因其求解思路的变化多端，而把握不住解题的方向。如果我们在利用三角公式解决相关的三角问题时，能够掌握其方法技巧，灵活运用三角公式，则常常可以化繁为简，事半功倍，同时还可以在问题的解决过程中促进知识的深化、思维的活跃和能力的提高。
一、平方策略
例1 已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cs α＝________.
∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β，②
由①÷②得：9cs2α＝4cs2β，③
①＋③得：sin2α＋9cs2α＝4，
∵cs2α＋sin2α＝1，∴cs2α＝eq \f(3,8)，即cs α＝±eq \f(\r(6),4).
点评 解决数学问题应掌握一些基本的技能，如“取平方”“取对数”“取倒数”等技巧，以提高解题能力。
二、分类讨论策略
例2 已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
当k为偶数时，A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2；
k为奇数时，A＝eq \f(－sin α,sin α)－eq \f(cs α,cs α)＝－2.
例3 已知sinα＝eq \f(2\r(5),5)，求tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))的值．
解：∵sinα＝eq \f(2\r(5),5)＞0，∴α为第一或第二象限角．
当α是第一象限角时，csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),5)，
tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))＝tanα＋eq \f(csα,sinα)
＝eq \f(sinα,csα)＋eq \f(csα,sinα)＝eq \f(1,sinαcsα)＝eq \f(5,2).
当α是第二象限角时，csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),5)，
原式＝eq \f(1,sinαcsα)＝－eq \f(5,2).
点评 三角函数中的分类讨论思想主要体现在求值或求角时，需要对角的范围或参数的范围展开讨论。
三、整体代换策略
例4 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
解析 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＋…＋cs22°＋cs21°
＝(sin21°＋cs21°)＋(sin22°＋cs22°)＋…＋(sin244°＋cs244°)＋eq \f(1,2)＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).
例5 若，则（ ）
A． B． C． D． B
点评 有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。
*四、构造转化策略
例6 已知，求证：。
解析 初看关系式均很整齐，但却很难找到条件与结论之间的逻辑关系，通过观察可以发现
其与椭圆的标准方程很相似，这样可构造椭圆，
显然、两点都在椭圆上。又过点的椭圆的切线方
程是即，而点也在切线上，由切点的唯一性
知和重合，故，即。
点评 有些三角函数问题通过抓住结构特征，依托曲线方程，巧妙地建构圆锥曲线模型，可
以使问题在曲线性质的帮助下得以简捷求解。本题通过构造函数模型，利用点的坐标、曲线
方程的有关性质巧妙地寻找条件与结论间的逻辑关系。
五、逆用与变用
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，这样的变通可以帮助我们打开思路，使解题思路豁然开朗。如
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)等
例6 在△ABC中，A，B，C成等差数列，则taneq \f(A,2)＋taneq \f(C,2)＋eq \r(3)taneq \f(A,2)·taneq \f(C,2)的值是( )
A．±eq \r(3) B．－eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(\r(3),3)
[解析] ∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq \f(π,3)，A＋C＝eq \f(2π,3)，
∴taneq \f(A,2)＋taneq \f(C,2)＋eq \r(3)taneq \f(A,2)·taneq \f(C,2)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(C,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan\f(A,2)·tan\f(C,2)))＋eq \r(3)taneq \f(A,2)taneq \f(C,2)＝eq \r(3)，故选C.
六、降幂策略
有很涉及三角函数的化简、求值等题目，解题的关键点就是灵活运用平方关系达到降幂的目的，如cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)等。
例7 化简sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α的结果是________．
解析：原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α
＝1－cs 2α·cseq \f(π,3)－sin2α＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2).
七、凑角策略
凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。三角函数求值中的重要一环是扫除角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异，而凑角法是扫除这三个差异的重要方法。
例8 定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.若cs α＝eq \f(1,7)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α sin β,cs α cs β))＝eq \f(3\r(3),14)，0