【2021高考】三角函数模型

这是一份【2021高考】三角函数模型，共48页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱A经过最低点开始计时，则10分钟后A离地面的高度为（ ）
A.43米 B.78米 C.118米 D.121米
2.某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t）．下面是某日水深的数据：
经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（ ）小时（忽略进出港所需的时间）．
A.6 B.12 C.16 D.18
3.如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系是（ ）
A.h=-8sin（t）+10 B.h=-8cs（t）+10 C.h=8cs（t）+10 D.h=-8cs（t）+10
4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，
∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地
面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（，），当秒针从P0 （注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A.y=sin（） B. C.y=sin（-） D.y=sin（-）
7.如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（ ）
A.y=-2cs+2.5 B.y=-2sin+2.5 C.y=-2cs+2.5 D.y=-2sin+2.5
8.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（ ）
A.10m B.20m C.20m D.40m
9.一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点P离地面2m，风车翼片的一个端点P从P开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
10.已知f（x）=csx•sin2x，下列命题错误的为（ ）
A.y=f（x）为奇函数 B.y=f（x）的图象关于x=对称
C.y=f（x）的最大值为 D.y=f（x）为周期函数
11.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
A.ω=，A=5 B.ω=，A=5 C.ω=，A=3 D.ω=，A=3
12.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（ ）
A.（1≤x≤12，x∈N*） B.（1≤x≤12，x∈N*） C.（1≤x≤12，x∈N*） D.（1≤x≤12，x∈N*）
13.一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是（ ）海里．
A.30（+） B.30（-） C.30（-） D.30（+）
14.设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（+x）和g（x）=cs2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A. B. C.2 D.3
15.矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（ ）
A. B. C. D.
16.如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（ ）
A.h=5.6+4.8sinθ B.h=5.6+4.8csθ
C.h=5.6+4.8cs（θ+） D.h=5.6+4.8sin（θ-）
二、填空题(本大题共3小题，共15.0分)
17.若cs（π+α）=-，π＜α＜2π，则sin（3π-α）等于 ______ ．
18.如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S（厘米）和时间t（秒）的函数关系是S=sin（2t+），则摆球往复摆动一次所需要的时间是 ______ 秒．
19.图圆O的半2，l为外一条直线圆O到直线l的距离OA|=3，P0为圆周上点，∠AOP0=，点P从P0处始以2秒周的速点在圆周上按逆时方作匀速圆周运动．
t秒钟后，P到直线l的离用t以表为 ______ ．
三、解答题(本大题共22小题，共264.0分)
20.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为平方米，设∠BAC=θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．
21.如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？
22.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．
23.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE=α，问：角α为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积．
24.一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图象P0点）开始计算时间，且点P距离水面的高度f（t）（米）与时间t（秒）满足函数：f（t）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）点P第二次到达最高点要多长时间？
25.如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（Ⅰ）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2018min时点P距离地面的高度；
（Ⅱ）当离地面50+20m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？
26.一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？
（3）记f（t）=h，求证：不论t为何值，f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．
27.如图，某小区准备将一块闲置的直角三角形（其中∠B=，AB=a，BV=a）土地开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分（图中阴影部分）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A′MN），现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′点落在边BC上，设∠AMN=θ．
（1）若θ=，绿地“最美”，求最美绿地的面积；
（2）为方便小区居民行走，设计时要求AN，A′N最短，求此时公共绿地走道MN的长度．
28.如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽（从拐角处，即图中A，B处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．
（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．
29.如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为hm．
（1）求h与θ之间的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过ts达到OB，求h与之间的函数解析式，并计算经过45s后缆车距离地面的高度．
30.如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．
31.已知某海滨浴场的海浪高度y（单位：米）与时间 t（0≤t≤24）（单位：时）的函数关系记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，函数y=f（t）可近似地看成是函数y=Acsωt+b．
（1）根据以上数据，求出函数y=Acsωt+b的最小正周期T及函数表达式（其中A＞0，ω＞0）；
（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？
32.某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．
（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；
（2）求l的最小值．
33.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D，E分别线段AC，AB上，线段DE分三角形ABC为面积相等的两部分，设AD=x，DE=y．
（1）求y与x之间的函数关系式；（不要求写定义域）
（2）求y的最小值，并求此时x的值．
34.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
35.某校内有一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB的面积S弓=f（θ）；
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
（参考公式：扇形面积公式S=R2θ=Rl，l表示扇形的弧长）
36.为了废物利用，准备把半径为2，圆心角为的扇形铁片余料剪成如图所示的内接矩形ABCD．试用图中α表出内接矩形ABCD的面积S．
37.某校园内有一块三角形绿地AEF（如图1），其中AE=20m，AF=10m，∠EAF=，绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观，扇形AMN的两边分别落在AE和AF上，圆弧MN与EF相切于点P．
（1）求扇形花卉景观的面积；
（2）学校计划2017年年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD（如图2），其中∠BAD=，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD的边上，圆弧都与BD相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形ABCD绿地占地面积的最小值．
38.如图，在半径为2，圆心角为的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP，其中M、N两点分別在半径OA、OB上，P、Q两点在弧上，且OM=ON，MN∥PQ．
（1）若M、N分別是OA、OB中点，求四边形MNQP面积的最大值．
（2）PQ=2，求四边形MNQP面积的最大值．
39.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．
（1）将S表示为α的函数；
（2）为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？
40.如图所示，一个半径为10m的摩天轮，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针方向转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（∠POA=30°）时开始计时．
（1）求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（s）的函数关系式；
（2）在摩天轮转动一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m．
41.图，A、B是单位圆O上的点C、D分是O与轴的两个点，△ABO为三角．
若∠AO=x（0x＜），四边AD的周长为y，将y示成x的函数并求出y的大值．
2018年高三模拟试题专题汇编之三角函数模型的应用含解析
答案和解析
【答案】
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.D 9.B 10.C 11.D 12.D 13.A 14.D 15.D 16.D
17.-
18.π
19.-；，t≥0
20.解：（1）∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，
∴（）2=3×（）2，∴AB=AC，
∵S△ABC==AC2sinθ=400，
∴AC2=，∴AB2=，
在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcsθ=，
∴BC=40．
（2）设表演台的造价为y万元，则y=120，
设f（θ）=（0＜θ＜π），则f′（θ）=，
∴当0时，f′（θ）＜0，当时，f′（θ）＞0，
∴f（θ）在（0，）上单调递减，在（，π）上单调递增，
∴当θ=时，f（θ）取得最小值f（）=1，
∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．
21.解：：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得：==
所以AN=，AM=
（2）AP2=AM2+MP2-2AM•MP•cs∠AMP
=sin2（θ+60°）+4-sin（θ+60°）cs（θ+60°）
=[1-cs（2θ+120°）]-sin（2θ+120°）+4
=[sin（2θ+120°）+cs（2θ+120°）]+
=-sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°-θ）=sin（θ+60°））
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2．
故答案为：（1）AN=，AM=
（2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
22.解：（1）过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=θ；
又OH=OFsinθ=sinθ，
FH=OFcsθ=csθ，
∴S=4S△OFH+4S阴影OEF=2sinθcsθ+4×θ=sin2θ+2θ；
∵≥，∴sinθ≥，∴θ∈[，）；
∴S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；
（2）由S矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ，
∴=+，
设f（θ）=+，θ∈[，），
则f′（θ）=-sinθ+
=
=
=；
∵≤θ＜，∴sin2θ≤，
∴sin2θ-θ＜0，
∴f′（θ）＜0，
∴f（θ）在θ∈[，）上是单调减函数；
∴当θ=时f（θ）取得最大值为+，
此时AB=2sinθ=1（m）；
∴S关于θ的函数为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；所求AB的长度为1m．
23.解：设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN=sinα，ON=csα．，∴
即∴BC=2CN=2sinα
故：
====
∵，∴
故当，即时，S矩形取得最大，此时．
24.解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为-2，∴， ，∴f（t）=4sin（φ）+2，当t=0时，f（t）=0，得sinφ=-，φ=-，
故所求的函数关系式为f（t）=4sin（）+2，
（2）令f（t）=4sin（）+2=6，）⇒sin（）=1， =
得t=16，
故点P第二次到达最高点大约需要16s．
25.解：（Ⅰ）依题意，A=40，h=50，T=3，
∴ω==；
又f（0）=10，
∴φ=-；
∴f（t）=40sin（t-）+50（t≥0）；
∴f（2018）=40sin（×2018-）+50=40sin+50=70，
即第2018min时点P所在位置的高度为70m；
（Ⅱ）由（1）知，f（t）=40sin（t-）+50=50-40cs（t）（t≥0）；
依题意：f（t）＞50+20，
∴-40cs（t）＞20，
∴cs（t）＜-，
解得2kπ+＜t＜2kπ+，k∈N，
即3k+＜t＜3k+，k∈N；
∵（3k+）-（3k+）=，
∴转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌．
26.解：（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，
建立如图所示的直角坐标系，设h=Asin（ωt+ϕ）+k，（-＜ϕ＜0），
则A=2，k=1，
∵T=3=，
∴ω=
∴h=2sin（t+ϕ）+1，
∵t=0，h=0，
∴0=2sinϕ+1，
∴sinϕ=-，
∵-＜ϕ＜0，
∴ϕ=-，
∴h=2sin（t-）+1
（2）令2sin（t-）+1=3，得sin（t-）=1，
∴t-=，
∴t=1，
∴点P第一次到达最高点大约要1s的时间；
（3）由（1）知：f （t）=2sin（t-）+1=sint-cst+1，
f （t+1）=2sin（t+）+1=2cst+1，
f （t+2）=2sin（t+）+1=-sint-cst+1，
∴f （t）+f （t+1）+f （t+2）=3（为定值）．
27.解：由∠B=，AB=a，BV=a，得∠BAC=…（1分）
设MA=MA′=xa（0＜x＜1），则MB=a-xa，
所以在Rt△MBA′中，cs（π-2θ）==…（3分）
（1）因为θ=，所以cs（π-2θ）==，所以x=，
又∠BAC=，所以△AMN为等边三角形，所以绿地的面积S=2××a×a×sin=…（5分）
（2）因为cs（π-2θ）═-cs2θ=2sin2θ-1=，
所以x=，则AM=…（7分）
又∠BAC=，所以在△AMN中，∠ANM=，故，
所以AN=×==…（11分）
又，所以，
所以当，即θ=时，AN最短，且AN=，
此时公共绿地走道MN=…（12分）
28.解：（1）由题意，，，
所以l=PA+QA，即（）．…（4分）
（2）设，．
由，…（6分）
令f'（θ）=0，得． …（8分）
且当θ∈（0，θ0），f'（θ）＜0；当，f'（θ）＞0，
所以，f（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增，
所以，当θ=θ0时，f（θ）取得极小值，即为最小值．…（10分）
当时，，，
所以f（θ）的最小值为，…（12分）
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m．
因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．…（14分）
29.解：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ-，
故点B的坐标为（4.8cs（θ-），4.8sin（θ-）），
∴h=5.6+4.8sin（θ-）=5.6-4.8csθ．
（2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，
∴h=5.6-4.8cst，t∈[0，+∞）．
当t=45s．h=5.6．
30.解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1-x，tanβ=1-y，
由已知得：x+y+，即2（x+y）-xy=2…（4分）
∴tan（α+β）===1
∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）
（2）由（1）知，S△EAF==AE×AF==
==…（12分）
∵，∴2α=，即α=时，△EAF的面积最小，最小面积为-1．
∵tan=，∴tan=-1，故此时BE=DF=-1．
所以，当BE=DF=-1时，△EAF的面积最小．…（15分）
31.解：（1）由表格给出的数据知：T=12-0=12；ω===
A==；b==1
∴函数y=Acsωt+b的最小正周期及函数表达式分别是：…（4分）
（2）y≥0.75
∴
∴…（6分）∴
即 12k-4≤t≤12k+4k∈Z…（8分）
由7≤t≤19，得8≤t≤16．
答：该浴场有8小时可向冲浪爱好者开放．…（10分）
32.解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，
∴△BMN≌△EMN，
∴∠BNM=∠MNE，
∵∠AME=2θ，
∴∠BNM=∠MNE=θ，
设MN=x，
在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，
∴△EAM中，AM=EMcs2θ=xsinθcs2θ，
∵AM+BM=a，
∴xsinθcs2θ+xsinθ=a，
∴x=，
∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），
∴f（θ）≤，
当且仅当θ=时，取得最大值，此时lmin=2a．
33.解：（1）设AD=x，DE=y，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，
过D作DF⊥AB于F，如图所示；
则sinA===，
∴DF=x，AF=x；
又线段DE分三角形ABC为面积相等的两部分，
∴AE•DF=•×3×4，
∴AE===，
∴EF=AE-AF=-x；
又DE2=DF2+EF2，
∴y2=+=x2+-16，
∴y=，其中0≤x≤4；
（2）∵y2=x2+-16，其中0≤x≤4，
且x2+≥2=20，
当且仅当x=时取“=”，
∴y的最小值为=2，此时x=．
34.解：（1）对于非零常数T，
f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．
因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以f（x）=x∉M；
（2）因为函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x，
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．
于是对于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aT•ax=T•ax=Tf（x）故f（x）=ax∈M；
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，
对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，
则k=2mπ，m∈Z．
当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，
即sin（kx-k+π）=sinkx成立，
则-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．
35.解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，
S弓=f（θ）=．
（2）设总利润为y元，种植草皮利润为y1元，种植花卉利润为y2，种植学校观赏植物成本为y3，
y1=30（πR2-R2θ），y2=R2sinθ•80，y3=R2（θ-sinθ）•20，
∴y=y1+y2-y3=30（πR2-R2θ）+R2sinθ•80-R2（θ-sinθ）•20
=5R2[3π-（5θ-10sinθ）]，
设g（θ）=5θ-10sinθ θ∈（0，π）．
∴g′（θ）=5-10csθ
∴g′（θ）＜0，csθ＞，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；
g′（θ）＞0，csθ＜，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；
当θ=时，g（θ）取到最小值，
此时总利润最大：y=5R2[3π-（5θ-10sinθ）]=5R2（+5）．
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值5R2（+5）．
36.解：如图，在Rt△OBC中，OB=2csα，BC=2sinα，
在Rt△OAD中，OA=DA=sinα．
所以AB=OB-OA=2csα-sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（2csα-sinα）•2sinα=4sinαcsα-sin2α
=2sin2α+cs2α-=（sin2α+cs2α）-
=sin（2α+）-（0＜α＜）．
37.解：（1）△AEF中，由余弦定理可得EF==10m．
设扇形花卉景观的半径为r，则由EF•r=AE•AF•sin∠EAF，得到r==m，
∴扇形花卉景观的面积S==；
（2）设AB=xm，AD=ym，则BD=m，
由平行四边形ABCD的面积得8=xy，
∵≥=，
∴xy≥8，即xy≥256，当且仅当x=y=16时，xy的最小值为256，
∴平行四边形ABCD的面积的最小值为128．
38.解：（1）连接OP，OQ，则四边形MNQP为梯形．
设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），则∠POQ=-2θ，且此时OM=ON=1，
四边形MNQP面积S=sinθ+sinθ+×2sin（-2θ）-=-4sin2θ+2sinθ+，
∴sinθ=，S取最大值；
（2）设OM=ON=x∈（0，2），
由PQ=2可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，
∴sin=，
∴四边形MNQP面积S=x+x+-x2=-x2+x+，
∴x=，S取最大值为．
39.解：（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，
由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，），
且BM=Rsinα，OM=Rcsα，由题意可得ON=BM=Rsinα，
BC=MN=OM-ON=R（csα-sinα），
由BC＞0，可得α∈（0，），
则S=2AB•BC+AB•BC=（4+）R2（sinαcsα-sin2α），（α∈（0，））；
（2）S=（4+）R2（sinαcsα-sin2α）
=（4+）R2（sin2α+cs2α-）
=（4+）R2（sin2α+cs2α）-（4+）R2
=（4+）R2sin（2α+）-（4+）R2
由α∈（0，），可得＜2α+＜，
即有2α+=，即α=时，S取得最大值R2．
40.解：（1）根据题意，在t时，摩天轮上某人所转过的角为t=t，
故在t时，此人相对于地面的高度为 （t≥0）；…（6分）
（2）由≥17，
得≥，
则5≤t≤15；
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m．…（12分）
41.解：∵△O为正三角形，
=
∵点A的标为，
∴∠BOA6°，
由余定理可知C==2sn，D==2sn（-），
∴cs∠BOC=cs（∠AOC0°）=c∠AOCcs60°-sAOin6°=．
AB=OB=，CD=，
∴
∴tn∠AC=，
∴x=时，ax=5．
【解析】
1. 解：作CD⊥OB于D，如图所示
∵∠COb=10×=120°，OC=78，
∴∠OCD=30°，
∴OD=OC=39，
∴摩天轮进行10分钟后离地面的高度为：160-39=121（米）．
故选：D．
10分钟后可算出所转的角度，根据半径的长以及构造的直角三角形，可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用、生活中的旋转现象，属于基础题．
2. 解：由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12，则ω=．
再由，得振幅A=3，b=10，
∴y=3sint+10（0≤t≤24），
由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米）
∴3sint+10≥11.5，
∴sint≥，解得，2kπ+≤t≤2kπ+（k∈Z），所以12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），
在同一天内，取k=0或1，
∴1≤t≤5或13≤t≤17，
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时．
故选C．
通过读取图表，可以看出函数y=f（t）的周期，根据水的最大深度和最小深度联立方程组求出A和b，则函数y=f（t）的近似表达式可求，由题意得到该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米），由y≥11.5解出一天内水深大于等于11.5的时间段，则船从最早满足水深到达11.5的时刻入港，从最晚满足水深是11.5的时刻出港是安全的．
本题考查了由部分图象确定函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属中档题．
3. 解：由题意，T=12，∴ω=，
设h（t）=Acs（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），则，
∴A=8，B=10，可得：h（t）=8cs（t+φ）+10，
∵P的初始位置在最低点，t=0时，有：h（t）=2，即：8csφ+10=2，解得：φ=2kπ+π，k∈Z，
∴φ=π，
∴h与t的函数关系为：h（t）=8cs（t+π）+10=-8cst+10，（t≥0），
故选D．
由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Acs（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，从而得解．
本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式；考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，注意三角函数的模型的应用，属于中档题．
4. 解：依题意，，解得，
又T=，
∴ω=．
又f（3）=15，
∴3sin（+φ）+12=15，
∴sin（+φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sint+12．
故选：A．
高潮时水深为A+K，低潮时水深为-A+K，联立方程组求得A和K的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求．
本题是应用题，考查y=Asin（ωx+φ）+K型函数的图象和性质，关键是对题意的理解，是中档题．
5. 解：由选项设y=-Acs（ωx+φ）+k．
摩天轮12分钟旋转一周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B
最小值2，最大值为36+2=38，
即A+k=38，-A+k=2，得k=20，A=18，
即y=-18cs（x+φ）+20，
当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最小值2，
即-18cs（×+φ）+20=2，
cs（+φ）=1，
则+φ=2kπ，则φ=2kπ-，k∈Z，
则当k=0时，φ=-，
即y=-18cs（x-）+20=-18cs（x-）+20，
故选：D
根据选择项设出函数的解析式，利用待定系数法结合三角函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．
本题主要考查三角函数解析式的求解，利用待定系数，结合三角形的性质求出A，ω 和φ和k的值是解决本题的关键．
6. 解：由题意，函数的周期为T=60，∴ω=
设函数解析式为y=sin（-t+φ）（因为秒针是顺时针走动）
∵初始位置为P0（，），
∴t=0时，y=
∴sinφ=
∴φ可取
∴函数解析式为y=sin（-t+）
故选C．
先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而可求函数的解析式．
本题考查三角函数解析式的确定，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定函数的周期，正确运用初始点的位置．
7. 解：设h=f（t）=Asinωt+k或Acsωt+k，
∵大风车每6s旋转一周，
∴周期T=6，即T=，解得ω==，排除A，B．
则f（t）=Asint+k或Acst+k，
∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面0.5 m，
∴函数的最小值为0.5，最大值为4.5，
则A+k=4.5，-A+k=0.5，
解得A=2，k=2.5，
当t=0时，f（0）=0.5为最小值，
若y=-2cs+2.5，则当t=0时，y=-2cs0+2.5=2.5-2=0.5满足条件．
若y=-2sin+2.5，则当t=0时，y=-2sin0+2.5=2.5-0=2.5不满足条件．排除D，
故选：C
根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数解析式的确定，根据条件分别求出三角形的周期和最值是解决本题的关键．
8. 解：由题可设AB=x，则，
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC•CD•cs∠DCB
即：（）2=（40）2+x2-2×40•x•cs120°
整理得：x2-20x-800=0解得x=40或x=-20（舍）
所以，所求塔高为40米．
故选D．
设出AB=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x．
本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．
9. 解：设h（t）=Acsωt+B，
∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．
由于最大值与最小值分别为18，2．
∴，解得A=-8，B=10．
∴h（t）=-8cst+10．
故选：B．
由题意可设h（t）=Acsωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10. 解：对于A，f（x）=csxsin2x，因为f（-x）=csxsin（-2x）=-csxsin2x=-f（x）．
函数是奇函数，所以A正确；
对于B，由于（x，y）关于x=对称点为（π-x，y），
因为f（π-x）=cs（π-x）sin2（π-x）=csxsin2x=f（x），函数关于x=对称，
所以B正确．
对于D，因为y=csx的周期是2π，sin2x的周期是π，所以y=f（x）为周期函数，所以D正确；
显然C不正确．
故选：C．
利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，求出函数的周期，判断周期性，对称性以及函数的最值即可．
本题考查三角函数的基本性质的应用，命题的真假的判断，考查分析问题解决问题的能力．
11. 解：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅．
12. 解：∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，
∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5∴，∴A=2，B=7∵函数的周期T=2（7-3）=8，
∴由T=，得ω==，
∵当x=3时，函数有最大值，
∴3ω+φ=+2kπ，即φ=-+2kπ，
∵|φ|＜，取k=0，得φ=-
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x-）+7（1≤x≤12，x∈N*）
故选D．
根据3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，可求A，B的值，根据周期可得ω的值，利用最值点，可求φ的值，从而可得函数的解析式．
本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数学应用能力，属于中档题．
13. 解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．
由正弦定理可得AC==30（+）海里．
故选：A．
由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．
本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
14. 解：，
=．
故选D
利用二倍角公式先化简f（x），将|MN|表示成a的三角函数，利用公式化简|MN|，利用三角函数的有界性求出最大值．
本题考查三角函数的二倍角公式、诱导公式、公式、三角函数的有界性．
15. 解：如图所示，
建立直角坐标系．
设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．
B（0，2sinθ），C（sinθ，csθ+2sinθ）．
∴|OC|2=sin2θ+（csθ+2sinθ）2
=1+4sinθcsθ+4sin2θ
=1+2sin2θ+2（1-cs2θ）
=+3，
∵，∴∈．
∴当2=，即时，|OC|2取得最大值，+3．
故选：D．
如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.．可得B（0，2sinθ），C（sinθ，csθ+2sinθ）．|OC|2=sin2θ+（csθ+2sinθ）2
=+3，由于，可得∈．即可得出．
本题考查了两点之间的距离公式、点的坐标、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ-，
根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ-）=4.8sin（θ-）
h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ-）
故选：D
本题需要过点O作平行与地面的直线l，过点B作l的垂线，根据三角函数来求解．
本题考查了在实际问题中建立三角函数模型的能力．
17. 解：∵cs（π+α）=-，π＜α＜2π，
∴α=，
∴sin（3π-α）=sin（3π-）=sin=-，
故答案为-．
先求出α=，再求sin（3π-α）．
本题考查三角函数值的计算，考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．
18. 解：摆球往复摆动一次所需要的时间即为函数S=sin（2t+）的最小正周期．
根据正弦函数的性质得出T==π．
故答案为：π．
利用函数y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义可知摆球来回摆动一次所需的时间为一个周期T．
本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，体现了数学在物理中的应用，是个基础题．
19. 解：钟后，点P从P0处开始点在周按逆时针方向匀速圆周运动，旋转了周，此时与P0于原点对称，从而点P的坐标为；
题意，周期为，则t秒钟后旋角为t，则此时点P的横坐为所以点P到直线l的距为，≥0．
故案为；，t0．
1秒钟后P从处开绕点O圆周按时针方向匀速圆运动，旋转了半，此时点P与P0关于原对称；由题意，周2，则秒钟后，旋转角πt，故可求点P的横坐标，求点P到直线的距离．
本题考查已知三角函数模型的应用问题，键是搞旋转理三函数定义．
20.
（1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；
（2）根据（1）得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．
本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．
21.
（1）根据正弦定理，即可θ表示出AN，AM；
（2）设AP2=f（θ），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（θ）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值．
本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键．
22.
（1）过点O作OH⊥FG于H，写出透光面积S关于θ的解析式S，并求出θ的取值范围；
（2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单调性，
求出比值最大时对应边AB的长度．
本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了三角恒等变换以及三角函数最值的应用问题，是综合题．
23.
先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角α的范围来求出矩形面积的最大值即可．
本题主要考查解三角形的有关知识在实际生活中的应用问题；解决这一类型题目的关键在与把文字语言转化为数学表达式，最终利用数学知识解题．
24.
（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令f（t）=4sin（）+2=6，）⇒sin（）=1，=解得t．
本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．
25.
（Ⅰ）由题意求出A、h和ω的值，结合f（0）=10求得φ的值，
写出函数f（x）的解析式，计算t=2018时点P距离地面的高度即可；
（Ⅱ）化简f（t），由f（t）＞50+20求出t的取值范围，
再由t的区间端点值的差求得一圈中可以看到公园全貌的时间．
本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题，是综合题．
26.
（1）先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω，当t=0时，h=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为3，可得三角函数方程，进而可求点P第一次到达最高点的时间；
（3）由（1）可求：f （t），f （t+1），f （t+2），进而可求f （t）+f （t+1）+f （t+2）是定值．
本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求得．
27.
由∠B=，AB=a，BV=a，得∠BAC=，设MA=MA′=xa（0＜x＜1），则MB=a-xa，所以在Rt△MBA′中，cs（π-2θ）==；
（1）因为θ=，所以cs（π-2θ）==，解得x值，可得△AMN为等边三角形，进而得到最美绿地的面积；
（2）根据（1）中结论，可得AN=，根据三角函数的图象和性质，可得θ=时，AN最短，且AN=，进而得到答案．
本题考查的知识点是函数的应用，函数的最值，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答的关键．
28.
（1）求出PA，QA，即可将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型，考查导数知识的运用，属于中档题．
29.
（1）以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，即可得到h与θ间的函数关系式；
（2）由60秒转动一圈，我们易得点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，根据（1）的结论，我们将t代入解析式，即可得到满足条件的t值．
本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为Y轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键．综合性较强．
30.
（1）根据规划要求△ECF的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；
（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E、F的位置．
本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
31.
（1）要求出函数y=y=Acsωt+b的最小正周期T及函数表达式，要观察问题所给的数据，从浪高最大值到下一次浪高最大值所用的时间即周期，由周期可求ω；而振幅A==；b==1；
（2）当海浪高度不低于0.75米时，解不等式y≥0.75，求出不等式在7到19之间的解即可．
本题是创新应用题，根据给出数据周期性的特点，观察数据，求出T，A，ω，b的值求得函数解析式．解三角不等式，求出t的取值范围，再结合7≤t≤19，求出t的取值范围．
32.
（1）设∠AME=2θ，求出EM，MN，即可求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），即可求l的最小值．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．
33.
（1）过D作DF⊥AB于F，把sinA用含有x的代数式表示，得到DF、AF和AE、EF，
再利用等积法和勾股定理可得y的解析式；
（2）利用基本不等式即可求得y的最小值．
本题考查了三角形边角关系的应用问题，也考查了简单的数学建模思想方法以及求函数解析式的应用问题，是综合性题目．
34.
（1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M．
（2）由题意存在x∈R使得ax=x，由新定义知存在非零常数T使得aT=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知
f（x）=ax∈M．
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可．
考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的．
35.
（1）由S弓=S扇-S△，利用扇形及三角形面积公式即得；
（2）由题意列出函数关系式，利用导数判断函数单调性求得最大值即可．
本题主要考查导数在实际问题中的应用，考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题，属中档题．
36.
先用所给的角表示AB，BC，即可将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型．
本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．
37.
（1）△AEF中，由余弦定理可得EF，设扇形花卉景观的半径为r，则由EF•r=AE•AF•sin∠EAF，得到r，即可求扇形花卉景观的面积；
（2）设AB=xm，AD=ym，则BD=m，由平行四边形ABCD的面积得8=xy，求出xy的最小值，即可得出结论．
本题考查基本不等式的运用，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
38.
（1）设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），则∠POQ=-2θ，且此时OM=ON=1，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．
（2）PQ=2，可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查二次函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
39.
（1）连接CD，取AB的中点M，连接OM，交CD于N，由解直角三角形可得AB=2Rsinα，BC=MN=OM-ON=R（csα-sinα），α∈（0，）），再由矩形的面积公式可得S=2AB•BC+AB•BC，即可得到所求；
（2）运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及两角和的正弦公式，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值．
本题考查三角形函数的应用题的解法，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的值域的运用，属于中档题．
40.
（1）根据题意，求出t时摩天轮上某人所转过的角度，计算此人相对于地面的高度h；
（2）根据高度h（m）的解析式，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间．
本题考查了三角函数模型的应用问题，是基础题目．
41.
根据AO为三角形求∠BOA，利点A的坐标求得in∠AOC和cs∠AC，进而利用两角和公式得∠B．
利余理分别得ACBD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知边相加得的函析，用两角和公式简整理后，利x的范围和正函数的性质求得函数的大．
题主要考查三角函数的最值模的．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10
13
10
7
10
13
10
7
10
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5