2020-2021学年湖北潜江高三上数学月考试卷

这是一份2020-2021学年湖北潜江高三上数学月考试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A=x|x2−4≤0，B=x|2x+a≤0，且A∩B=x|−2≤x≤1，则a=( )
A.−4B.−2C.2D.4

2. 函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )
A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1

3. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：​∘C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

4. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A.10名B.18名C.24名D.32名

6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A.2种B.3种C.6种D.8种

7. x+y2xx+y5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A.5B.10C.15D.20

8. 设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)=x(x−1)．若对任意x∈(−∞, m]，都有f(x)≥−89，则m的取值范围是( )
A.(−∞, 94]B.(−∞, 73]C.(−∞, 52]D.(−∞, 83]
二、多选题

我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

“关于x的不等式x2−2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A.00的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
三、填空题

已知二项式(2x+x)5，则展开式中x3的系数为________．

甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是________．

设函数f(x)=exx+a，若f′(1)=e4，则a=________.

从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，则这样的四位数共有________个；其中奇数有________个．
四、解答题

某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23,34,35，他们出线与未出线是相互独立的．
(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；

(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；

(2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和.

如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60∘，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

1证明：MN//平面C1DE;

2求二面角A−MA1−N的正弦值.

已知函数fx=ex+ax2−x.
(1)当a=1时，讨论fx的单调性；

(2)当x≥0时，fx≥12x3+1，求a的取值范围．

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位： μg/m3），得下表：

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过$150"$的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附： K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d

已知函数fx=aex−1−lnx+lna.
(1)当a=e时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若fx≥1，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北潜江高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
集合关系中的参数取值问题
一元二次不等式的解法
【解析】
根据二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得关于a的方程，解方程可得a．
【解答】
解：由已知得A=x|−2≤x≤2，B=x|x≤−a2，
又因为A∩B=x|−2≤x≤1，
所以有−a2=1，
从而a=−2.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再求得f(1)，然后利用直线方程的点斜式求解．
【解答】
解：由f(x)=x4−2x3，得f′(x)=4x3−6x2，
∴ f′(1)=4−6=−2.
又f(1)=1−2=−1，
∴ 函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，
即y=−2x+1．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
散点图
【解析】
将散点图近似判断为所学函数图象，根据近似函数图象选择合适的回归方程即可.
【解答】
解：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
y=a+blnx.
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由不等式解得a的范围，根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出结论.
【解答】
解：求解二次不等式a2>a可得：a>1或a1是a2>a的充分不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
生活中概率应用
【解析】
由题意可得至少需要志愿者为1600+500−120050=18名.
【解答】
解：积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，即次日产生新的订单不超过1600份的概率为0.95.其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份新订单的配货，即需要志愿者配货的订单为500+400=900份，故需要900÷50=18名志愿者．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．
【解答】
解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：C32A22=6．
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
先写出(x+y)5的通项公式，分别与(x+y2x)中的每一项相乘从而求得x3y3的系数.
【解答】
解：x+y5的通项公式为C5rx5−ryr(r=0，1，2，3，4，5)，
所以r=1时，y2xC51x4y=5x3y3，
r=3时，xC53x2y3=10x3y3，
所以x3y3的系数为15.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
函数与方程的综合运用
分段函数的应用
分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】
因为f(x+1)＝2f(x)，∴ f(x)＝2f(x−1)，分段求解析式，结合图象可得．
【解答】
解：∵ f(x+1)=2f(x)，
∴ f(x)=2f(x−1).
∵ x∈(0, 1]时，f(x)=x(x−1)∈[−14, 0]，
∴ x∈(1, 2]时，x−1∈(0, 1],
f(x)=2f(x−1)=2(x−1)(x−2)∈[−12, 0]，
∴ x∈(2, 3]时，x−1∈(1, 2]，
f(x)=2f(x−1)=4(x−2)(x−3)∈[−1, 0].
作出函数f(x)的图象：
当x∈(2, 3]时，由4(x−2)(x−3)=−89，
解得x=73或x=83，
若对任意x∈(−∞, m]，都有f(x)≥−89，
则m≤73．
故选B.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
根据折线图给出信息判断即可.
【解答】
解：从第1天到第7天复产指数逐日增加，从第7天到第9天复产指数逐日减少，从第9天到第11天复产指数逐日增加，同样，复工指数也分别在第1天到第2天，第7天到第8天，第10天到第11天逐日减少，所以A选项错；
从图中可以看出这11天期间，复工指数增量略大于复产指数的增量，所以B选项错；
从图中可以看出第3天至第11天复工复产指数均在80%线之上，所以C选项对；
从图中纵坐标变化可以看出第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，所以D选项对.
故选CD．
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由题可知函数fx=x2−2ax+a的图象始终在x轴上方，即Δ0时，即a≥12x3+x+1−exx2恒成立，
记hx=12x3+x+1−exx2 ，
所以h′x=2−xex−12x2−x−1x3，
记gx=ex−12x2−x−1，
因为当x≥0时，
g′x=ex−x−1，
g′′x=ex−1≥0恒成立，
所以g′x在0,+∞上单调递增，
所以[g′x]min=g′0=0，
所以g′x≥0恒成立，
所以gx在0,+∞上单调递增，
所以gxmin=g0=0，
由g(x)≥0，
可得：ex−12x2−x−1≥0恒成立，
令h′x=0可得x=2，
当x∈0,2时，h′x>0，hx在0,2上单调递增，
当x∈2,+∞时，h′x0时，运用参数分离和构造函数建立新函数，然后求新函数的导数，利用导数判断单调性和最值，进而得到参数的取值范围．
【解答】
解：(1)当a=1时， fx=ex+x2−x，
所以f′x=ex+2x−1，
f″(x)=ex+2>0，
所以函数f′x在R上单调递增.
注意到f′0=0，
所以当x∈−∞,0时， f′x0，
所以函数fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增．
(2)当x≥0时，fx≥12x3+1恒成立，
①当x=0时， a∈R；
②当x>0时，即a≥12x3+x+1−exx2恒成立，
记hx=12x3+x+1−exx2 ，
所以h′x=2−xex−12x2−x−1x3，
记gx=ex−12x2−x−1，
因为当x≥0时，
g′x=ex−x−1，
g′′x=ex−1≥0恒成立，
所以g′x在0,+∞上单调递增，
所以[g′x]min=g′0=0，
所以g′x≥0恒成立，
所以gx在0,+∞上单调递增，
所以gxmin=g0=0，
由g(x)≥0，
可得：ex−12x2−x−1≥0恒成立，
令h′x=0可得x=2，
当x∈0,2时，h′x>0，hx在0,2上单调递增，
当x∈2,+∞时，h′x6.635，
PK2≥0.635=0.01.
故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
【答案】
解：(1)当a=e时，fx=ex−lnx+1，
所以f′x=ex−1x，
所以f′1=e−1.
因为f1=e+1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−e+1=e−1x−1.
当x=0时，y=2，
当y=0时， x=−2e−1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1.
(2)由fx≥1，可得aex−1−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=elnx+lnx.
令gt=et+t，
则g′(t)=et+1>0，
所以gt在R上单调递增，
所以glna+x−1>glnx，
所以lna+x−1>lnx，即lna>lnx−x+1.
令hx=lnx−x+1，
所以h′x=1x−1=1−xx.
当01时， h′xlnx−x+1，再构造函数h(x)=lnx−x+1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围.
【解答】
解：(1)当a=e时，fx=ex−lnx+1，
所以f′x=ex−1x，
所以f′1=e−1.
因为f1=e+1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−e+1=e−1x−1.
当x=0时，y=2，
当y=0时， x=−2e−1，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e−1=2e−1.
(2)由fx≥1，可得aex−1−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna−lnx+lna≥1，
即ex−1+lna+lna+x−1≥lnx+x=elnx+lnx.
令gt=et+t，
则g′(t)=et+1>0，
所以gt在R上单调递增，
所以glna+x−1>glnx，
所以lna+x−1>lnx，即lna>lnx−x+1.
令hx=lnx−x+1，
所以h′x=1x−1=1−xx.
当01时， h′x