初中数学4 分式方程教学设计

这是一份初中数学4 分式方程教学设计，共15页。教案主要包含了学生准备，活动内容，基础巩固，能力提升，拓展探究，答案与解析等内容，欢迎下载使用。

教学目标：
知识与技能：通过创设日常生活中的情境,经历探索分式方程应用的过程,会检验根的合理性.
过程与方法：经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力,增强学生学数学、用数学的意识.
情感态度与价值观：通过创设贴近学生生活实际的现实情境,增强学生的应用意识.
教学重难点：
【重点】 分式方程的应用.
【难点】 在实际问题中建立分式方程的模型.
教学准备：【学生准备】 复习分式方程的有关知识.
教学过程：
1.新课导入：
导入一:
【活动内容】
1.解分式方程的一般步骤.
2.解方程x+1x-1-4x2-1=1.
3.一元一次方程解应用题的一般步骤.
生1:解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边同乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解,必须舍去.
生2:解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1),解得x=1,经检验,x=1是原方程的增根,所以原方程无解.
生3:可以简单记为:审——设——列——解——验——答.
[设计意图] 回顾上节课知识,检查学生的掌握情况,引导学生回忆一元一次方程解应用题的一般步骤,以及每一步应注意的问题.自然过渡到列分式方程解应用题.
导入二:
情境:某商店销售一批服装,每件售价150元,可获利25%.求这种服装的成本.(要求用多种方法解答)
生1:这种服装的成本为1501+25%=120(元).
生2:设这种服装的成本为x元,根据题意,得x·(1+25%)=150,解得x=120,即这种服装的成本为120元.
生3:设这种服装的成本为x元,根据题意,得150-xx=25%,解得x=120,经检验,x=120是所列方程的解.即这种服装的成本为120元.
[设计意图] 从学生已有知识入手,创设一个发生在学生身边的问题情境,让学生带着任务去学习,激发他们的好奇心和探究问题的兴趣,自然又快捷的揭示本节课要研究的问题,同时启发学生解决问题的策略是多样化的,防止学生形成思维定势.
2.新知构建：
一、引例
[过渡语] 如何通过列分式方程解决生活中的实际问题呢?先请同学们看教材的这个引例.
某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.
(1)你能找出这一情境的等量关系吗?
(2)根据这一情境你能提出哪些问题?
(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?
〔解析〕 引导学生从不同的角度寻求等量关系是解决这一问题的关键.
解:(1)第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.
第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数.
出租房屋间数=所有房屋出租的租金每间的租金.
(2)求出租的房屋总间数;求出第一年每间房屋的租金.(答案不唯一)
(3)设第一年每间房屋的租金是x元,则第二年每间房屋的租金是(x+500)元,根据题意,得:
96000x=102000x+500.
解得x=8000.
经检验,x=8000是所列方程的根.
即第一年每间房屋的租金是8000元.
[设计意图] 引导学生通过独立思考和小组讨论的形式,用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题,形成解决问题的一些基本策略,并从中体验解题策略的多样性,培养学生的实践能力与创新精神.引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
二、例题讲解
(教材例3)某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨13.小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月的水费则是30元.已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3,求该市今年居民用水的价格.
〔解析〕 此题的主要等量关系是:
小丽家今年7月的用水量-小丽家去年12月的用水量=5 m3.
所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量,而用水量可以用水费除以水的单价得出.
于是,设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年的水价是1+13x元/m3.
填表如下:
解:设该市去年居民用水的价格是x元/m3,则今年居民用水的价格是1+13x元/m3.根据题意,得:
301+13x-15x=5.
解这个方程,得x=32.
经检验,x=32是所列方程的根.
32×1+13=2(元/m3).
所以,该市今年居民用水的价格是2元/m3.
[设计意图] 引导学生从不同角度寻求等量关系,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识,引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.强调验根的必要性.
(补充例题)某列车平均提速v km/h,用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?
〔解析〕 这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km所用的时间为 h,提速后列车的平均速度为 km/h,提速后列车运行(s+50)km所用的时间为 h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程.
解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为sx h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它运行(s+50)km所用的时间为s+50x+v h.
根据行驶时间的等量关系,得sx=s+50x+v.
方程两边同乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).
解得x=sv50.
检验:由v,s都是正数,得x=sv50是原方程的根.
所以,原分式方程的解为x=sv50.
答:提速前列车的平均速度为sv50 km/h.
[知识拓展] 列分式方程解应用题的步骤:
(1)审题;
(2)设未知数;
(3)找出相等关系,列出分式方程;
(4)解这个分式方程;
(5)检验,看方程的解是否满足方程并符合题意;
(6)写出答案.
3.课堂小结：
用分式方程解决实际问题应按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
检测反馈：
1.某单位向一所希望小学赠送1080件文具,现用A,B两种不同的包装箱进行包装,已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.设B型包装箱每个可以装x件文具,根据题意列方程为( )
A.1080x=1080x-15+12
B.1080x=1080x-15-12
C.1080x=1080x+15-12
D.1080x=1080x+15+12
解析:由单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个,寻找等量关系,可得方程.故选B.
2.在5月汛期,重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛,当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与用最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等,请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 .
解析:根据沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用的时间与用最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等,列出方程求解.故填40千米/时.
3.某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6 m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个,且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料.
解:设制作每个乙盒用x m材料,则制作每个甲盒用(1+20%)x m材料,
由题意,得6x-6(1+20%)x=2.
解得x=0.5.
经检验,x=0.5是原方程的解,
所以(1+20%)·x=0.6.
答:制作每个甲盒用0.6 m材料,制作每个乙盒用0.5 m材料.
板书设计
第3课时
一、引例
二、例题讲解
6.布置作业
一、教材作业
【必做题】
教材第129页随堂练习.
【选做题】
教材第130页习题5.9的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一项工程,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要4天完成,求两人合作需要的天数.如果设两人合作需要x天完成,那么所列方程是( )
A.x6+x4=2B.6+4=x
C.6+4=1xD.16+14=1x
2.A,B两地相距1350 km,两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟,已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶3,求两车的速度.设大汽车的速度为3x km/h,则小汽车的速度为5x km/h,所列方程是( )
A.13503x+12=13505x+5
B.13503x-12=13505x+5
C.13503x-12=13505x-5
D.13503x+12=13505x-5
3.在课外活动跳绳时,相同时间内小林跳了90下,小群跳了120下,已知小群每分钟比小林多跳20下,设小林每分钟跳x下,则可列方程为 .
4.甲计划用若干天完成某项工作,在甲独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两人工作效率相同,结果提前两天完成任务,设甲计划完成此项工作的天数是x,则x的值是 .
【能力提升】
5.小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家,她去时经过环湾高速公路,全程约84千米,返回时经过跨海大桥,全程约45千米.小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍,所用时间却比返回时多20分钟.求小丽所乘汽车返回时的平均速度.
6.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材,若甲单独整理需要40分钟完工,若甲、乙共同整理20分钟后,乙需要再单独整理20分钟才能完工.
(1)乙单独整理需要多少分钟完工?
(2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工?
7.某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台,由于改进了技术,每天生产的台数比原计划多50%,结果提前两天完成任务.求改进技术后每天生产通讯设备多少台.
8.一列火车从车站开出,预计行程为450千米,当它出发3小时后,因特殊情况而多停一站,因此耽误30分钟,后来把速度提高了20%,结果准时到达目的地,求这列火车原来的速度.
9.李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家取道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位:米/分)是多少?
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?
【拓展探究】
10.端午节前夕,小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同,每个咸鸭蛋的价格相同).已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元,花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同,求粽子与咸鸭蛋的价格各是多少.
【答案与解析】
1.D
2.A(解析:由大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟列方程可得.故选A.)
3.120x+20=90x
4.6(解析:由提前两天完成任务得到等量关系,列方程x-2x+x-4x=1,解得x=6.故填6.)
5.解:设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/
时,根据题意,得841.2x-45x=2060.解这个方程,得x=75,经检验,x=75是原方程的解.答:小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米/时.
6.解:(1)设乙单独整理需要x分钟完工,根据题意,得2040+20+20x=1.解得x=80.经检验,x=80是原分式方程的解.答:乙单独整理需要80分钟完工. (2)设甲至少整理y分钟才能完工,根据题意,得3080+y40≥1.解得y≥25.答:甲至少整理25分钟才能完工.
7.解:设改进技术前每天生产x台,根据题意,得60x=601.5x+2.解得x=10.经检验,x=10是原方程的解,则1.5x=15.所以改进技术后每天生产通讯设备15台.
8.解:设这列火车原来的速度为x千米/时,根据题意,得450x=3+12+450-3x(1+20%)x,解得x=75.经检验,x=75是原方程的解.所以这列火车原来的速度为75千米/时.
9.解:(1)设步行的速度为x米/分,则骑自行车的速度为3x米/分.根据题意,得2100x=21003x+20,解得x=70.经检验,x=70是原分式方程的解.答:李明步行的速度为70米/分. (2)根据题意,得210070+21003×70+1=41