黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三下学期第四次模拟考试+理科数学+答案

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A. B． C．D．
2.设为复数，则下列命题中错误的是（ ）
A．B．若，则的最大值为2
C．D．若，则
3.近日，哈六中高三学年举行了“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（ ）
A．15B．45C．60D．75
4.下列四个结论中正确的个数是（ ）
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题：“，”的否定是“，”；
③“若，则”的否命题为真命题；
A．0B．1C．2D．3
5.函数的部分图像大致为（ ）．

A B C D
6.记为数列的前项和，若，则（ ）
A．−1024 B．−1023 C．1023 D．1024
7.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
9.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（ ）厘米
A．20 B．30 C．40 D．50
11.已知，则（ ）
A．B．C． D．
12.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足，，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知向量，，且，则________．
14.投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于9，则在事件发生的条件下事件发生的概率______.
15.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面中，最大的面积为_________.
16.计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2021位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第个0之间有个1（），即，则该数的所有数字之和为______.
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的最小值．
18.（本小题满分12分）
在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为的中点，为的中点，为棱上靠近的三等分点
证明：//平面.
若，求二面角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）.
（1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.
（2）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从正态分布，其中近似为样本平均数.
（ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）.
（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.
方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：时，奖励50元；，奖励80元；时，奖励120元.
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：若，则，.
21.（本小题满分12分）
如图所示，､分别是椭圆：()的左､右焦点，为椭圆上一动点，当点在椭圆的上顶点时，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线
，与圆交于､两点，求四边形面积的最大值.
请考生在题22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）
已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）已知过原点的直线与曲线仅有1个交点，若与曲线也仅有1个交点，求点的极坐标．
23．（本小题满分10分）
已知，且满足.
（1）求证：；
（2）求证：．
奖金
50
100
概率