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天津市津南区东部学区2020-2021学年九年级下学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份天津市津南区东部学区2020-2021学年九年级下学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了0分），36×105B．3，6×104，，5° ．，5°，等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年天津市津南区东部学区九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．计算（﹣15）﹣20的结果等于（ ）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
2．2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
4．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
6．估计﹣1的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
7．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
9．如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
10．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
11．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．|﹣|＝ ．
14．化简：＝ ．
15．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．
16．若一次函数y＝kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 ．
17．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为 ．
18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
三．解答题（本大题共7小题，共66.0分）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
21．已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
22．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）两车经过 h相遇；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
24．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S＝时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．计算（﹣15）﹣20的结果等于（ ）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
【分析】根据有理数的减法的运算方法，求出计算（﹣15）﹣20的结果等于多少即可．
解：（﹣15）﹣20＝﹣35．
故选：B．
2．2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】把sin60°的数值代入，进行乘法计算即可．
解：原式＝2×
＝．
故选：D．
3．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：36000＝3.6×104，
故选：C．
4．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【分析】根据三视图可得到所求的几何体是柱体，可得几何体的名称．
解：该几何体是长方体，
故选：D．
6．估计﹣1的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
【分析】求出的范围，都减去1即可得出答案．
解：∵2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
即﹣1在1到2之间，
故选：B．
7．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；
解：，
①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：x＝2，
则方程组的解为；
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
【分析】利用三角形的中位线定理可得DE：AB＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
解：∵CE＝AE，CD＝DB，
∴ED∥AB，DE＝AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，
故选：B．
9．如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a﹣b的值代入化简后的式子，即可解答本题．
解：（﹣b）•
＝
＝
＝，
当a﹣b＝2时，原式＝＝，
故选：D．
10．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
解：∵k＝6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x＝1时，y＝6，
当x＝3时，y＝2，
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
故选：C．
11．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，
∵∠ADA′＝50°，
∴∠A′DC＝10°，
∴∠DA′B＝130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE＝30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，
∴∠DA′E′＝∠DA′B+∠BA′E′＝160°．
故选：C．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x＝﹣1时图象在x轴上得到y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b；对称轴为直线x＝1，可得x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0；利用对称轴x＝﹣＝1得到a＝﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．
解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x＝﹣1时图象在x轴上，则y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，所以②不正确；
对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；
x＝﹣＝1，则a＝﹣b，而a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确；
开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．
故选：A．
二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．|﹣|＝ ．
【分析】负数的绝对值是它的相反数；一个数的相反数即在这个数的前面加负号．
解：根据绝对值的性质，得|﹣|＝．
14．化简：＝ 19﹣6 ．
【分析】利用完全平方公式计算．
解：原式＝18﹣6+1
＝19﹣6．
故答案为19﹣6．
15．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．
【分析】由在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，
∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是：＝．
故答案为：．
16．若一次函数y＝kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 k＞0 ．
【分析】根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．
解：∵一次函数y＝kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0．
故填：k＞0．
17．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为 22.5° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，
∴∠AEB＝∠B＝45°，
∴∠DAE＝∠ADB﹣∠AEB＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于 11 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；
（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．
解：（Ⅰ）AC2+BC2＝（）2+32＝11；
故答案为：11；
（2）方法一：
分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；
延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，
则四边形ABST即为所求．
方法二：
如图1，所求矩形的面积等于两个粉色正方形的面积和
小正方形面积为2，大正方形面积为9，
如图2，第一次变化，图中绿色三角形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图3，第二次变化，图中蓝色平行四边形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图4，第三次，将粉色大正方形变形为平行四边形，
经过几次变形以后，如图5，两块阴影所示的面积和，还是等于11，
，
如图6，然后进行一次割补，上面黑色阴影与△ABC全等，把黑色割补到△ABC，
则平行四边形ABEF的面积也是11，
下面再进行最后一次等积变形，延长EF，过A，B两点分别作AB的垂线，与直线EF分别相交于M，N
如图7，矩形ABMN与平行四边形ABEF面积相等，都是11．
三．解答题（本大题共7小题，共66.0分）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
20．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图①中m的值为 15 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（Ⅱ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（Ⅲ）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
故答案为：40；15；
（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为＝36；
（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，有200×30%＝60双为35号．
21．已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，
∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
22．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【分析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．
解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．
∴在Rt△BDC中
DC＝BC•cos30°＝6•＝9米，
∵CF＝1米，
∴DF＝9+1＝10米，
∴GE＝10米，
∵∠AEG＝45°，
∴AG＝EG＝10米，
在直角三角形BGE中，
BG＝GE•tan20°＝10×0.36＝3.6米，
∴AB＝AG﹣BG＝10﹣3.6＝6.4米，
答：树高约为6.4米．
23．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 900 km；
（2）两车经过 4 h相遇；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由函数图象可以直接求出甲乙两地之间的距离；
（2）由函数图象的数据就即可得出；
（3）由函数图象的数据，根据速度＝路程÷时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论；
（4）由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点C的横坐标，由两车的距离＝速度和×时间就可以求出C点的纵坐标，由待定系数法就可以求出结论．
解：（1）由题意，得
甲、乙两地之间的距为900km．
故答案为：900；
（2）由函数图象，当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
故答案为：4；
（3）由题意，得
快车与慢车的速度和为：900÷4＝225（km/h），
慢车的速度为：900÷12＝75（km/h），
快车的速度为：225﹣75＝150 （km/h）．
答：快车的速度为150km/h，慢车的速度为75km/h；
（4）由题意，得快车走完全程的时间按为：900÷150＝6（h），
6h时两车之间的距离为：225×（6﹣4）＝450km．
则C（6，450）．
设线段BC的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
则y＝225x﹣900，自变量x的取值范围是4≤x≤6．
24．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S＝时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）根据折叠的性质得出BM＝AM，再由勾股定理进行解答即可；
（Ⅱ）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而表示出S的代数式即可；
（Ⅲ）把S＝代入解答即可．
解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0），
∴OA＝，OB＝1，
由OM＝m，可得：AM＝OA﹣OM＝﹣m，
根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，
∴BM＝AM＝﹣m，
在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2＝OB2+OM2，
可得：，解得m＝，
∴点M的坐标为（，0）；
（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB＝，
∴∠OAB＝30°，
由MN⊥AB，可得：∠MNA＝90°，
∴在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠OAB＝，
AN＝AN•cos∠OAB＝，
∴，
由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'＝∠OAB＝30°，
∴∠A'MO＝∠A'+∠OAB＝60°，
∴在Rt△COM中，可得CO＝OM•tan∠A'MO＝m，
∴，
∵，
∴，
即；
（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；
②当点A′落在第一象限时，则S＝SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S＝代入，可得点M的坐标为（，0）．
25．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．
解：
（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），
∴0＝1﹣b﹣3，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t＝m2﹣2m﹣3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（﹣m，﹣t），
∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t＝（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t＝﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得m＝或m＝﹣；
②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴﹣4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t＝m2﹣2m﹣3，
∴m2﹣2m＝t+3，
∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
∴P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；
∴当t＝﹣时，P′A2有最小值，
∴﹣＝m2﹣2m﹣3，解得m＝或m＝，
∵m＞0，
∴m＝不合题意，舍去，
∴m的值为．
2020-2021学年天津市津南区东部学区九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．计算（﹣15）﹣20的结果等于（ ）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
2．2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
4．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
6．估计﹣1的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
7．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
9．如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
10．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
11．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．|﹣|＝ ．
14．化简：＝ ．
15．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．
16．若一次函数y＝kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 ．
17．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为 ．
18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
三．解答题（本大题共7小题，共66.0分）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
21．已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
22．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）两车经过 h相遇；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
24．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S＝时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
参考答案
一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．计算（﹣15）﹣20的结果等于（ ）
A．35 B．﹣35 C．5 D．﹣5
【分析】根据有理数的减法的运算方法，求出计算（﹣15）﹣20的结果等于多少即可．
解：（﹣15）﹣20＝﹣35．
故选：B．
2．2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】把sin60°的数值代入，进行乘法计算即可．
解：原式＝2×
＝．
故选：D．
3．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：36000＝3.6×104，
故选：C．
4．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【分析】根据三视图可得到所求的几何体是柱体，可得几何体的名称．
解：该几何体是长方体，
故选：D．
6．估计﹣1的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
【分析】求出的范围，都减去1即可得出答案．
解：∵2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
即﹣1在1到2之间，
故选：B．
7．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；
解：，
①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：x＝2，
则方程组的解为；
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则△EFD和△BFA的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
【分析】利用三角形的中位线定理可得DE：AB＝1：2，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
解：∵CE＝AE，CD＝DB，
∴ED∥AB，DE＝AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，
故选：B．
9．如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a﹣b的值代入化简后的式子，即可解答本题．
解：（﹣b）•
＝
＝
＝，
当a﹣b＝2时，原式＝＝，
故选：D．
10．已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
解：∵k＝6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x＝1时，y＝6，
当x＝3时，y＝2，
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
故选：C．
11．如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，
∵∠ADA′＝50°，
∴∠A′DC＝10°，
∴∠DA′B＝130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE＝30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，
∴∠DA′E′＝∠DA′B+∠BA′E′＝160°．
故选：C．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x＝﹣1时图象在x轴上得到y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b；对称轴为直线x＝1，可得x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0；利用对称轴x＝﹣＝1得到a＝﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．
解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x＝﹣1时图象在x轴上，则y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，所以②不正确；
对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；
x＝﹣＝1，则a＝﹣b，而a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确；
开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．
故选：A．
二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．|﹣|＝ ．
【分析】负数的绝对值是它的相反数；一个数的相反数即在这个数的前面加负号．
解：根据绝对值的性质，得|﹣|＝．
14．化简：＝ 19﹣6 ．
【分析】利用完全平方公式计算．
解：原式＝18﹣6+1
＝19﹣6．
故答案为19﹣6．
15．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．
【分析】由在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，
∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是：＝．
故答案为：．
16．若一次函数y＝kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 k＞0 ．
【分析】根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．
解：∵一次函数y＝kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0．
故填：k＞0．
17．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为 22.5° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，
∴∠AEB＝∠B＝45°，
∴∠DAE＝∠ADB﹣∠AEB＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于 11 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；
（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．
解：（Ⅰ）AC2+BC2＝（）2+32＝11；
故答案为：11；
（2）方法一：
分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；
延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，
则四边形ABST即为所求．
方法二：
如图1，所求矩形的面积等于两个粉色正方形的面积和
小正方形面积为2，大正方形面积为9，
如图2，第一次变化，图中绿色三角形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图3，第二次变化，图中蓝色平行四边形的面积等于粉色小正方形的面积，
如图4，第三次，将粉色大正方形变形为平行四边形，
经过几次变形以后，如图5，两块阴影所示的面积和，还是等于11，
，
如图6，然后进行一次割补，上面黑色阴影与△ABC全等，把黑色割补到△ABC，
则平行四边形ABEF的面积也是11，
下面再进行最后一次等积变形，延长EF，过A，B两点分别作AB的垂线，与直线EF分别相交于M，N
如图7，矩形ABMN与平行四边形ABEF面积相等，都是11．
三．解答题（本大题共7小题，共66.0分）
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣2 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
20．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图①中m的值为 15 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（Ⅱ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（Ⅲ）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
故答案为：40；15；
（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为＝36；
（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，有200×30%＝60双为35号．
21．已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，
∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
22．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF＝1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【分析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．
解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6米，山坡的坡角为30°．
∴在Rt△BDC中
DC＝BC•cos30°＝6•＝9米，
∵CF＝1米，
∴DF＝9+1＝10米，
∴GE＝10米，
∵∠AEG＝45°，
∴AG＝EG＝10米，
在直角三角形BGE中，
BG＝GE•tan20°＝10×0.36＝3.6米，
∴AB＝AG﹣BG＝10﹣3.6＝6.4米，
答：树高约为6.4米．
23．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 900 km；
（2）两车经过 4 h相遇；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由函数图象可以直接求出甲乙两地之间的距离；
（2）由函数图象的数据就即可得出；
（3）由函数图象的数据，根据速度＝路程÷时间就可以得出慢车的速度，由相遇问题求出速度和就可以求出快车的速度进而得出结论；
（4）由快车的速度求出快车走完全程的时间就可以求出点C的横坐标，由两车的距离＝速度和×时间就可以求出C点的纵坐标，由待定系数法就可以求出结论．
解：（1）由题意，得
甲、乙两地之间的距为900km．
故答案为：900；
（2）由函数图象，当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
故答案为：4；
（3）由题意，得
快车与慢车的速度和为：900÷4＝225（km/h），
慢车的速度为：900÷12＝75（km/h），
快车的速度为：225﹣75＝150 （km/h）．
答：快车的速度为150km/h，慢车的速度为75km/h；
（4）由题意，得快车走完全程的时间按为：900÷150＝6（h），
6h时两车之间的距离为：225×（6﹣4）＝450km．
则C（6，450）．
设线段BC的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
则y＝225x﹣900，自变量x的取值范围是4≤x≤6．
24．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM＝m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S＝时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）根据折叠的性质得出BM＝AM，再由勾股定理进行解答即可；
（Ⅱ）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而表示出S的代数式即可；
（Ⅲ）把S＝代入解答即可．
解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0），
∴OA＝，OB＝1，
由OM＝m，可得：AM＝OA﹣OM＝﹣m，
根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，
∴BM＝AM＝﹣m，
在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2＝OB2+OM2，
可得：，解得m＝，
∴点M的坐标为（，0）；
（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB＝，
∴∠OAB＝30°，
由MN⊥AB，可得：∠MNA＝90°，
∴在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠OAB＝，
AN＝AN•cos∠OAB＝，
∴，
由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'＝∠OAB＝30°，
∴∠A'MO＝∠A'+∠OAB＝60°，
∴在Rt△COM中，可得CO＝OM•tan∠A'MO＝m，
∴，
∵，
∴，
即；
（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；
②当点A′落在第一象限时，则S＝SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S＝代入，可得点M的坐标为（，0）．
25．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．
解：
（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），
∴0＝1﹣b﹣3，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t＝m2﹣2m﹣3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（﹣m，﹣t），
∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t＝（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t＝﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得m＝或m＝﹣；
②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴﹣4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t＝m2﹣2m﹣3，
∴m2﹣2m＝t+3，
∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
∴P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；
∴当t＝﹣时，P′A2有最小值，
∴﹣＝m2﹣2m﹣3，解得m＝或m＝，
∵m＞0，
∴m＝不合题意，舍去，
∴m的值为．
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