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山西省太原市2020-2021学年下学期期中考试八年级数学试题（word版 含答案）
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这是一份山西省太原市2020-2021学年下学期期中考试八年级数学试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分，每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D．＜
3．在平面直角坐标系内，将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（3，3） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
4．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
5．下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．五四青年节临近，小强在准备爱心捐助活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打（ ）折．
A．8 B．8.5 C．7 D．7.5
7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2
8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为（ ）
A．（12129，0） B．（12129，3） C．（12132，0） D．（12132，3）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：3x2﹣6x＝ ．
12．根据数量关系：x的3倍与1的差不大于2，可列不等式 ．
13．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为 ．
15．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 ．
16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝24+12；⑤S△BOC＝12+16．其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解：．
18．分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴向左平移7个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出线段AB扫过的面积为 ．
20．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
21．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？
22．阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
23．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．
（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系 ．（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若α＝120°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系为 ．
附加题
24．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
25．如图，A（0，3）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，求t的值；
（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分，每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：C．
2．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D．＜
【分析】根据不等式的性质解答．
解：A、若m＝3，n＝﹣2，则2m＞3n，故不符合题意．
B、若m＞n，则2+m＞2+n，故符合题意．
C、若m＞n，则2﹣m＜2﹣n，故不符合题意．
D、若m＞n，则＞，故不符合题意．
故选：B．
3．在平面直角坐标系内，将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（3，3） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据平移的法则即可得出平移后所得点的坐标．
解：将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（﹣1+2，2﹣1），
即（1，1），
故选：A．
4．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错．
解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
5．下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；
④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为如果两个实数相等，那么这两个实数的平方也相等，正确，为真命题，
真命题有2个，
故选：B．
6．五四青年节临近，小强在准备爱心捐助活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打（ ）折．
A．8 B．8.5 C．7 D．7.5
【分析】设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润＝售价﹣成本，结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，
依题意得：90×﹣60≥60×5%，
解得：x≥7．
故选：C．
7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2
【分析】不等式2x＜kx+b的解集，就是指直线y＝2x落在直线y＝k+b的下方的自变量的取值范围．
解：观察图象可知，当x＜﹣1时，直线y＝2x落在直线y＝k+b的下方，
∴不等式2x＜kx+b解集为x＜﹣1，
故选：A．
8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．
解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，
则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为（ ）
A．（12129，0） B．（12129，3） C．（12132，0） D．（12132，3）
【分析】根据点A（3，0），B（0，4）得AB＝5，再根据旋转的过程寻找规律即可求解．
解：∵∠AOB＝90°，
点A（3，0），B（0，4），
根据勾股定理得AB＝5，
根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
所以点A1 （12，3），A2（15，0）；
继续旋转得A3 （24，3），A4（27，0）；
…
发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），
∵2021＝2n﹣1，
∴n＝1011，
∴点A2021的坐标为（12132，3），
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：3x2﹣6x＝ 3x（x﹣2） ．
【分析】直接提取公因式3x进而分解因式即可．
解：3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．
故答案为：3x（x﹣2）．
12．根据数量关系：x的3倍与1的差不大于2，可列不等式 3x﹣1≤2 ．
【分析】关系式为：x的3倍﹣1≤2．
解：根据题意，得3x﹣1≤2．
故答案是：3x﹣1≤2．
13．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设 三角形中最少有两个内角是直角 ．
【分析】根据反证法的一般步骤，先假设结论不成立．
解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设三角形中最少有两个内角是直角，
故答案为：三角形中最少有两个内角是直角．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为 6 ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠C＝30°，连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再利用等边对等角求出∠BAE＝∠B＝30°，然后求出∠CAE＝90°，由直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，
连接AE，
∵AB的垂直平分线交BC于E，
∴AE＝BE＝3，
∴∠EAB＝∠B＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAC＝90°，
∴CE＝2AE＝6．
故答案为：6．
15．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 （4，1） ．
【分析】分别过A，A′向y轴引垂线，可得△A′EC≌△ADC，利用全等得到A到x轴，y轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标．
解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴点A′的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝24+12；⑤S△BOC＝12+16．其中正确的结论是 ①③⑤ （填序号）．
【分析】证明△BO′A≌△BOC即可说明△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；
根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，则点O与O'的距离为8，故②错误；
利用：四边形AOBO'的面积＝等边△BOO′面积+Rt△AOO′面积，进行计算即可判断，故④错误；
∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故③正确；
过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故⑤正确．
解：在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
∴O′A＝OC．
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；
如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，
∴点O与O'的距离为8，故②错误；
在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．
∴Rt△AOO′面积＝×6×8＝24，
又等边△BOO′面积＝×8×4＝16，
∴四边形AOBO'的面积为24+16，④错误；
∵∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；
如图2，过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，
∵∠AOB＝150°，
∵∠AOB＝150°，
∴∠BOE＝30°，
∵OB＝8，
∴BE＝4，
∴S△AOB＝×4×6＝12，
∴S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故⑤错误，
故答案为①③⑤．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解：．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可求得所有非负整数解．
解：（1）3（x+1）≤5x+7，
去括号得，3x+3≤5x+7，
移项得，3x﹣5x≤7﹣3，
合并同类项得，﹣2x≤4，
把x的系数化为1得，x≥﹣2．
在数轴上表示为：
；
（2），
由①得，x＞﹣1，
由②得，x≤2．
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
在数轴上表示为；
，
它的非负整数解有0，1，2．
18．分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2．
【分析】（1）直接提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2；
（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2
＝（x﹣2y+2x+y）（x﹣2y﹣2x﹣y）
＝（3x﹣y）（﹣x﹣3y）
＝﹣（3x﹣y）（x+3y）．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴向左平移7个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出线段AB扫过的面积为 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出B，C的对应点B2，C2即可，利用扇形的面积公式求出AB扫过的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△AB2C2即为所求作．线段AB扫过的面积＝＝
故答案为：．
20．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
21．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？
【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，共花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，共花费200元．列出方程组，可求解；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解．
解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
由题意可得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，
由题意可得：10a+5（35﹣a）≤300，
解得：a≤25，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
22．阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： 线段的垂直平分线的性质 ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： 线段的垂直平分线的判定 ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．
（2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．
解：（1）连接AC，CB，AD，DB．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（线段的垂直平分线的性质）．
∴直线就是线段的垂直平分线（线段的垂直平分线的判定）．
故答案为：线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线的判定．
（2）如图所示：
23．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．
（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系 BC＝2BD ．（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若α＝120°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系为 BC＝BD+BP ．
【分析】（1）先补全图形，再连接CD，可得△CPD是等边三角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，即可得到结论；
（2）取BC的中点F，连接PF，推出△BPF是等腰直角三角形，从而得BF＝BP，再证明△BDP≌△FCP，进而即可求解；
（3）由△BDP≌△FCP，可得BD＝CF，从而得PF＝BP＝BF，进而即可得到结论．
解：（1）补全图形如下：
线段BD和BC之间的数量关系是BC＝2BD，
理由如下：
连接CD，
∵线段PC绕点P顺时针旋转α＝60°得到PD，
∴CP＝DP，∠CPD＝60°，
∴△CPD是等边三角形，
∴∠CDP＝∠DCP＝60°，
∵点P是线段AB的中点，∠A＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP＝∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝60°﹣30°＝30°，
∴BC平分∠PCD，
∴BC是PD的垂直平分线，
∴BD＝PB，即BC＝AB＝2BD；
故答案为：BC＝2DB；
（2）BC＝BD+BP；
理由如下：
取BC的中点F，连接PF，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵P是AB的中点，F是BC的中点，
∴PF是△ABC的中位线，
∴PF∥AC，
∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BF＝BP，BP＝PF，
∵∠DPC＝∠BPF＝90°，
∴∠BPD＝∠FPC，
又∵PD＝PC，
∴△BDP≌△FCP（SAS），
∴BD＝CF，
∵BC＝BF+FC，
∴BC＝BD+BP；
（3）取BC的中点F，连接PF，
由第（2）题可知：△BDP≌△FCP，
∴BD＝CF，
∵∠BAC＝∠DPC＝120°，PF∥AC，PF＝AC，
又∵BP＝AB，AB＝AC，
∴PF＝BP＝BF，
∴BC＝BF+CF＝BD+BP．
故答案为：BC＝BD+BP．
附加题
24．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 2 ．
【分析】连接BF，判定△ACE≌△BCF，即可得到∠CBF＝∠CAE＝30°，进而得出点F的运动轨迹为直线BF，依据当DF⊥BF时，DF最短，即可得到DF的最小值是2．
解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，
∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，
∴当DF⊥BF时，DF最短，
此时，DF＝BD＝×4＝2，
∴DF的最小值是2，
故答案为2．
25．如图，A（0，3）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，求t的值；
（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为矩形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP＝45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；
（2）画出图形，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得出结论．
解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为矩形，
∴AO＝BC＝3，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝3，
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
故t的值为1.5；
（2）当t＝2时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，
①如图3，若△ABP≌△MBP，
则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，
∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，
∴M（8，﹣3）．
②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），
③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（7，﹣1）．
综合以上可得点M的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，﹣1）．
2020-2021学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分，每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D．＜
3．在平面直角坐标系内，将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（3，3） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
4．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
5．下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．五四青年节临近，小强在准备爱心捐助活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打（ ）折．
A．8 B．8.5 C．7 D．7.5
7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2
8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为（ ）
A．（12129，0） B．（12129，3） C．（12132，0） D．（12132，3）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：3x2﹣6x＝ ．
12．根据数量关系：x的3倍与1的差不大于2，可列不等式 ．
13．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为 ．
15．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 ．
16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝24+12；⑤S△BOC＝12+16．其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解：．
18．分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴向左平移7个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出线段AB扫过的面积为 ．
20．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
21．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？
22．阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
23．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．
（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系 ．（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若α＝120°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系为 ．
附加题
24．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
25．如图，A（0，3）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，求t的值；
（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分，每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：C．
2．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D．＜
【分析】根据不等式的性质解答．
解：A、若m＝3，n＝﹣2，则2m＞3n，故不符合题意．
B、若m＞n，则2+m＞2+n，故符合题意．
C、若m＞n，则2﹣m＜2﹣n，故不符合题意．
D、若m＞n，则＞，故不符合题意．
故选：B．
3．在平面直角坐标系内，将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（3，3） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据平移的法则即可得出平移后所得点的坐标．
解：将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（﹣1+2，2﹣1），
即（1，1），
故选：A．
4．下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错．
解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
5．下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；
④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为如果两个实数相等，那么这两个实数的平方也相等，正确，为真命题，
真命题有2个，
故选：B．
6．五四青年节临近，小强在准备爱心捐助活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打（ ）折．
A．8 B．8.5 C．7 D．7.5
【分析】设在实际售卖时，该书包可以打x折，根据利润＝售价﹣成本，结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：设在实际售卖时，该书包可以打x折，
依题意得：90×﹣60≥60×5%，
解得：x≥7．
故选：C．
7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＜﹣2 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2
【分析】不等式2x＜kx+b的解集，就是指直线y＝2x落在直线y＝k+b的下方的自变量的取值范围．
解：观察图象可知，当x＜﹣1时，直线y＝2x落在直线y＝k+b的下方，
∴不等式2x＜kx+b解集为x＜﹣1，
故选：A．
8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．
解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，
则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为（ ）
A．（12129，0） B．（12129，3） C．（12132，0） D．（12132，3）
【分析】根据点A（3，0），B（0，4）得AB＝5，再根据旋转的过程寻找规律即可求解．
解：∵∠AOB＝90°，
点A（3，0），B（0，4），
根据勾股定理得AB＝5，
根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，
所以点A1 （12，3），A2（15，0）；
继续旋转得A3 （24，3），A4（27，0）；
…
发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），
∵2021＝2n﹣1，
∴n＝1011，
∴点A2021的坐标为（12132，3），
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：3x2﹣6x＝ 3x（x﹣2） ．
【分析】直接提取公因式3x进而分解因式即可．
解：3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．
故答案为：3x（x﹣2）．
12．根据数量关系：x的3倍与1的差不大于2，可列不等式 3x﹣1≤2 ．
【分析】关系式为：x的3倍﹣1≤2．
解：根据题意，得3x﹣1≤2．
故答案是：3x﹣1≤2．
13．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设 三角形中最少有两个内角是直角 ．
【分析】根据反证法的一般步骤，先假设结论不成立．
解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设三角形中最少有两个内角是直角，
故答案为：三角形中最少有两个内角是直角．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为 6 ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠C＝30°，连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再利用等边对等角求出∠BAE＝∠B＝30°，然后求出∠CAE＝90°，由直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，
连接AE，
∵AB的垂直平分线交BC于E，
∴AE＝BE＝3，
∴∠EAB＝∠B＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAC＝90°，
∴CE＝2AE＝6．
故答案为：6．
15．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 （4，1） ．
【分析】分别过A，A′向y轴引垂线，可得△A′EC≌△ADC，利用全等得到A到x轴，y轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标．
解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴点A′的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝24+12；⑤S△BOC＝12+16．其中正确的结论是 ①③⑤ （填序号）．
【分析】证明△BO′A≌△BOC即可说明△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；
根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，则点O与O'的距离为8，故②错误；
利用：四边形AOBO'的面积＝等边△BOO′面积+Rt△AOO′面积，进行计算即可判断，故④错误；
∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故③正确；
过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故⑤正确．
解：在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
∴O′A＝OC．
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；
如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，
∴点O与O'的距离为8，故②错误；
在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．
∴Rt△AOO′面积＝×6×8＝24，
又等边△BOO′面积＝×8×4＝16，
∴四边形AOBO'的面积为24+16，④错误；
∵∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；
如图2，过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，
∵∠AOB＝150°，
∵∠AOB＝150°，
∴∠BOE＝30°，
∵OB＝8，
∴BE＝4，
∴S△AOB＝×4×6＝12，
∴S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故⑤错误，
故答案为①③⑤．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解：．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可求得所有非负整数解．
解：（1）3（x+1）≤5x+7，
去括号得，3x+3≤5x+7，
移项得，3x﹣5x≤7﹣3，
合并同类项得，﹣2x≤4，
把x的系数化为1得，x≥﹣2．
在数轴上表示为：
；
（2），
由①得，x＞﹣1，
由②得，x≤2．
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
在数轴上表示为；
，
它的非负整数解有0，1，2．
18．分解因式：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2．
【分析】（1）直接提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2；
（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2
＝（x﹣2y+2x+y）（x﹣2y﹣2x﹣y）
＝（3x﹣y）（﹣x﹣3y）
＝﹣（3x﹣y）（x+3y）．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴向左平移7个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出线段AB扫过的面积为 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出B，C的对应点B2，C2即可，利用扇形的面积公式求出AB扫过的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△AB2C2即为所求作．线段AB扫过的面积＝＝
故答案为：．
20．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．
【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C＝∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠C+∠DBF＝90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°
∴∠BEC＝90°，
即BE⊥AC；
21．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？
【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，共花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，共花费200元．列出方程组，可求解；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解．
解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
由题意可得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，
由题意可得：10a+5（35﹣a）≤300，
解得：a≤25，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
22．阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1： 线段的垂直平分线的性质 ）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2： 线段的垂直平分线的判定 ）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．
（2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．
解：（1）连接AC，CB，AD，DB．
由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（线段的垂直平分线的性质）．
∴直线就是线段的垂直平分线（线段的垂直平分线的判定）．
故答案为：线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线的判定．
（2）如图所示：
23．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．
（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系 BC＝2BD ．（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若α＝120°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系为 BC＝BD+BP ．
【分析】（1）先补全图形，再连接CD，可得△CPD是等边三角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，即可得到结论；
（2）取BC的中点F，连接PF，推出△BPF是等腰直角三角形，从而得BF＝BP，再证明△BDP≌△FCP，进而即可求解；
（3）由△BDP≌△FCP，可得BD＝CF，从而得PF＝BP＝BF，进而即可得到结论．
解：（1）补全图形如下：
线段BD和BC之间的数量关系是BC＝2BD，
理由如下：
连接CD，
∵线段PC绕点P顺时针旋转α＝60°得到PD，
∴CP＝DP，∠CPD＝60°，
∴△CPD是等边三角形，
∴∠CDP＝∠DCP＝60°，
∵点P是线段AB的中点，∠A＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP＝∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝60°﹣30°＝30°，
∴BC平分∠PCD，
∴BC是PD的垂直平分线，
∴BD＝PB，即BC＝AB＝2BD；
故答案为：BC＝2DB；
（2）BC＝BD+BP；
理由如下：
取BC的中点F，连接PF，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵P是AB的中点，F是BC的中点，
∴PF是△ABC的中位线，
∴PF∥AC，
∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，
∴△BPF是等腰直角三角形，
∴BF＝BP，BP＝PF，
∵∠DPC＝∠BPF＝90°，
∴∠BPD＝∠FPC，
又∵PD＝PC，
∴△BDP≌△FCP（SAS），
∴BD＝CF，
∵BC＝BF+FC，
∴BC＝BD+BP；
（3）取BC的中点F，连接PF，
由第（2）题可知：△BDP≌△FCP，
∴BD＝CF，
∵∠BAC＝∠DPC＝120°，PF∥AC，PF＝AC，
又∵BP＝AB，AB＝AC，
∴PF＝BP＝BF，
∴BC＝BF+CF＝BD+BP．
故答案为：BC＝BD+BP．
附加题
24．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 2 ．
【分析】连接BF，判定△ACE≌△BCF，即可得到∠CBF＝∠CAE＝30°，进而得出点F的运动轨迹为直线BF，依据当DF⊥BF时，DF最短，即可得到DF的最小值是2．
解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，
∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，
∴当DF⊥BF时，DF最短，
此时，DF＝BD＝×4＝2，
∴DF的最小值是2，
故答案为2．
25．如图，A（0，3）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，求t的值；
（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为矩形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP＝45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；
（2）画出图形，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得出结论．
解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．
∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，
∴四边形ABCO为矩形，
∴AO＝BC＝3，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝3，
∴t＝3÷2＝1.5（秒），
故t的值为1.5；
（2）当t＝2时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，
①如图3，若△ABP≌△MBP，
则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，
∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，
∴M（8，﹣3）．
②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），
③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（7，﹣1）．
综合以上可得点M的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，﹣1）．
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