黑龙江省哈尔滨市2020-2021学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制）（word版 含答案）

这是一份黑龙江省哈尔滨市2020-2021学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制）（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省哈尔滨市南岗区2020-2021学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制）解析版
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣4x＝3 B．xy﹣3＝5 C．3x﹣1＝ D．x+2y＝1
2．下列图中是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运用等式性质的变形，不正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a＝b（c≠0），那么
4．若关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝2，则a的值等于（　　）
A．﹣8 B．0 C．2 D．8
5．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
6．在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h，求无风时这架飞机在这一航线的平均航速；设无风时这架飞机的平均航速为xkm/h，则根据题意列出的方程是（　　）
A．2.8（x+24）＝3（x﹣24） B．2.8（x﹣24）＝3（x+24）
C． D．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠EOC＝35°，则∠AOD的度数为（　　）

A．35° B．55° C．115° D．125°
8．某商场在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是（　　）
A．盈利8元 B．亏损8元 C．不盈不亏 D．亏损15元
9．下列说法中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同旁内角互补，两直线平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC的面积为10，点D为线段BC的中点，将△ABD沿着射线BC的方向平移使得点B与点D重合，得到△EDC，则△EDC的面积为（　　）

A．2.5 B．4 C．5 D．10
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．关于x的方程：﹣x﹣5＝4的解为　 　．
12．关于x的方程：3xm﹣1﹣2m＝0是一元一次方程，则m的值为　 　．
13．如图，直线a、b、c、d，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4＝　 　．

14．∠1＝75°，则∠1的邻补角的邻补角等于　 　．
15．命题“两直线平行，同位角相等”的题设是　 　，结论是　 　．
16．三条直线两两相交共有　 　对邻补角．
17．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程　 　．
18．已知A、B两地相距240千米，甲车以120千米/时的速度从A向B行驶，同时乙车以80千米/时的速度从B向A行驶，则　 　小时后，两车相距30千米．
19．如果关于x的方程＝与＝3m的解相同，则m的值为　 　．
20．如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，AB＝5，则线段CD的长度为　 　．

三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）解方程：
（1）2（x+8）＝3（x﹣1）
（2）
22．（7分）如图，将△ABC，向右平移4个格子，再向下平移2个格子．
（1）请你画出经过两次平移后的△DEF（A与D、B与E、C与F对应）；
（2）若每个小正方形的边长为1个单位长度，连接BE和CE，请你求出△BCE的面积．

23．（8分）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
14
6
64
E
10
10
40
（1）参赛者答对一道题得多少分，答错一道题扣多少分？
（2）参赛者F得76分，他答对了几道题？
24．（8分）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据：
已知：如图，E是BC上一点，ED∥AC，EF∥AB．求∠A、∠B、∠C的度数之和．
证明：∵DE∥AC（已知）
∴∠A＝∠　 　，∠C＝∠　 　（　 　）
∵EF∥AB（已知）
∴∠　 　＝∠DEF（　 　）
∠B＝∠　 　（两直线平行同位角相等）
∴∠A＝∠DEF（　 　）
∵BE是直线（已知）
∴∠BEC＝180°（平角定义）
即∠DEF+∠FEC+∠DEB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°（　 　）

25．（10分）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
26．（10分）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；
（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．

27．（10分）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．


参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x2﹣4x＝3 B．xy﹣3＝5 C．3x﹣1＝ D．x+2y＝1
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是二元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故本选项符合题意；
D、是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是一次的整式方程，叫一元一次方程．
2．下列图中是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据两条直线相交，所成的角中，相对的一组是对顶角，可判断对顶角．
【解答】解：A、∠1和∠2没有公共的顶点，不是对顶角，故选项错误；
B、∠1和∠2是对顶角，故选项正确；
C、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误；
D、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角，两条直线相交所成的角，位置相对是解题关键．
3．下列运用等式性质的变形，不正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a＝b（c≠0），那么
【分析】根据等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立，可得答案．
【解答】解：A、根据等式性质1，a＝b两边都加c，即可得到a+c＝b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、根据等式性质1，a＝b两边都加c，即可得到a+c＝b+c，原变形不正确，故此选项符合题意；
C、根据等式性质2，a＝b两边都乘以c，即可得到ac＝bc，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、根据等式性质1，a＝b两边都除以c（c≠0），即可得到＝，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的0数或字母，等式仍成立．
4．若关于x的方程2x+a﹣4＝0的解是x＝2，则a的值等于（　　）
A．﹣8 B．0 C．2 D．8
【分析】把x＝2代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x＝2代入方程得：4+a﹣4＝0，
解得：a＝0，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确；
B、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
C、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
6．在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h，求无风时这架飞机在这一航线的平均航速；设无风时这架飞机的平均航速为xkm/h，则根据题意列出的方程是（　　）
A．2.8（x+24）＝3（x﹣24） B．2.8（x﹣24）＝3（x+24）
C． D．
【分析】设无风时飞机的航速是x千米/时，根据顺风速度×顺风时间＝逆风速度×逆风时间，列出方程即可．
【解答】解：设无风时飞机的航速是x千米/时，
依题意有：2.8（x+24）＝3（x﹣24）．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键在于熟读题意，根据顺风飞行的路程等于逆风飞行的路程列出方程．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠EOC＝35°，则∠AOD的度数为（　　）

A．35° B．55° C．115° D．125°
【分析】根据图形求得∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°．
又∵∠COE＝35°，
∴∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°．
∵∠AOD＝∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD＝125°．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD＝55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．
8．某商场在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是（　　）
A．盈利8元 B．亏损8元 C．不盈不亏 D．亏损15元
【分析】已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏．
【解答】解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，
根据进价与得润的和等于售价列得方程：x+0.25x＝60，
解得：x＝48，
类似地，设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是﹣25%y元，
列方程y+（﹣25%y）＝60，
解得：y＝80．
那么这两件衣服的进价是x+y＝128元，而两件衣服的售价为120元．
∴120﹣128＝﹣8元，
所以，这两件衣服亏损8元．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，需注意利润率是相对于进价说的，进价+利润＝售价．
9．下列说法中：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同旁内角互补，两直线平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故本选项错误；
④同一平面内两条不相交的直线一定平行，故本选项正确，
综上所述，说法正确的有②④共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等，熟记各性质是解题的关键．
10．如图，△ABC的面积为10，点D为线段BC的中点，将△ABD沿着射线BC的方向平移使得点B与点D重合，得到△EDC，则△EDC的面积为（　　）

A．2.5 B．4 C．5 D．10
【分析】根据三角形中线的性质可得△ABD的面积＝△ABC的面积，根据平移的性质可得△EDC的面积＝△ABD的面积．
【解答】解：∵△ABC的面积为10，点D为线段BC的中点，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝5，
∵将△ABD沿着射线BC的方向平移使得点B与点D重合，得到△EDC，
∴△EDC的面积＝△ABD的面积＝5，
故选：C．
【点评】考查了三角形的面积和三角形中线的性质，平移的性质，三角形中线将三角形分成面积相等的两部分．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．关于x的方程：﹣x﹣5＝4的解为　x＝﹣27　．
【分析】移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：移项，合并同类项，可得：﹣x＝9，
系数化为1，可得：x＝﹣27．
故答案为：x＝﹣27．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12．关于x的方程：3xm﹣1﹣2m＝0是一元一次方程，则m的值为　2　．
【分析】利用一元一次方程定义可得m﹣1＝1，再解即可．
【解答】解：由题意得：m﹣1＝1，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
13．如图，直线a、b、c、d，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4＝　70°　．

【分析】根据平行线的判定得出a∥b，根据平行线的性质得出∠3＝∠4，代入求出即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝70°，
∴∠4＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
14．∠1＝75°，则∠1的邻补角的邻补角等于　75°　．
【分析】根据邻补角的定义求解可得．
【解答】解：如果∠1＝75°，那么∠1的邻补角的邻补角等于∠1，就是75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查对顶角和邻补角，解题的关键是掌握邻补角的定义．
15．命题“两直线平行，同位角相等”的题设是　两直线平行　，结论是　同位角相等　．
【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答．
【解答】解：命题中，已知的事项是“两直线平行”，由已知事项推出的事项是“同位角相等”，
所以“两直线平行”是命题的题设部分，“同位角相等”是命题的结论部分．
故空中填：两直线平行；同位角相等．
【点评】命题有题设和结论两部分组成，命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
16．三条直线两两相交共有　12　对邻补角．
【分析】根据邻补角的定义即可求解．
【解答】解：如图

三条直线两两相交，每个交点有4对邻补角，共有12对邻补角．
故答案为：12．
【点评】本题考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
17．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程　（+）x＝1　．
【分析】利用甲、乙两工程队每天完成的工作量乘以总天数＝1，进而得出答案．
【解答】解：设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程：
（+）x＝1．
故答案为：（+）x＝1．
【点评】此题主要考查了由实际问题列出一元一次方程，以总工作量为1得出等式是解题关键．
18．已知A、B两地相距240千米，甲车以120千米/时的速度从A向B行驶，同时乙车以80千米/时的速度从B向A行驶，则　或　小时后，两车相距30千米．
【分析】应该有两种情况，第一次应该还没相遇时相距30千米，第二次应该是相遇后交错离开相距30千米，根据路程＝速度×时间，可列方程求解．
【解答】解：设第一次相距30千米时，经过了x小时．
（120+80）x＝240﹣30
解得x＝．
设第二次相距50千米时，经过了y小时．
（120+80）y＝240+30
y＝．
故答案为：．
【点评】本题考查理解题意能力，关键知道相距30千米时有两次以及知道路程＝速度×时间，以路程做为等量关系可列方程求解．
19．如果关于x的方程＝与＝3m的解相同，则m的值为　　．
【分析】根据同解方程，移项化简，可得方程①，②，根据加减消元法，可得关于m的一元一次方程，可求出m的值．
【解答】解：化简方程，得
5x﹣1＝14①，9x﹣1＝39m②，
①×9﹣②×5得
﹣4＝126﹣195m
解得m＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题的关键．
20．如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，AB＝5，则线段CD的长度为　　．

【分析】根据△ABC的面积可得AC•CB＝AB•CD，再代入数可得答案．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴S△ACB＝AC•CB＝AB•CD，
∴AC•CB＝AB•CD，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴12＝5CD，
∴CD＝．
故答案为．
【点评】本题考查了直角三角形的面积，根据三角形面积公式得到AC•CB＝AB•CD是解题的关键．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）解方程：
（1）2（x+8）＝3（x﹣1）
（2）
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：2x+16＝3x﹣3，
移项合并得：﹣x＝﹣19，
解得：x＝19；
（2）去分母得：9y﹣3﹣12＝10y﹣14，
移项合并得：﹣y＝1，
解得：y＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（7分）如图，将△ABC，向右平移4个格子，再向下平移2个格子．
（1）请你画出经过两次平移后的△DEF（A与D、B与E、C与F对应）；
（2）若每个小正方形的边长为1个单位长度，连接BE和CE，请你求出△BCE的面积．

【分析】（1）如图，分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
（2）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求．


（2）S△BCE＝×2×2＝2．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
23．（8分）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
14
6
64
E
10
10
40
（1）参赛者答对一道题得多少分，答错一道题扣多少分？
（2）参赛者F得76分，他答对了几道题？
【分析】（1）由参赛选手A可得：答对1题得100÷20＝5（分），设答错一题扣x分，根据参赛选手B的得分列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设参赛选手F答对y道题，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）由参赛选手A可得：答对1题得100÷20＝5（分），
设答错一题扣x分，
根据参赛选手B的得分列得：19×5﹣x＝94，
解得：x＝1，
则答对一道题得5分，答错一道题扣1分；
（2）设参赛选手F答对y道题，
根据题意得：5y﹣1×（20﹣y）＝76，
解得：y＝16，
则参赛选手F答对16道题．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
24．（8分）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据：
已知：如图，E是BC上一点，ED∥AC，EF∥AB．求∠A、∠B、∠C的度数之和．
证明：∵DE∥AC（已知）
∴∠A＝∠　BDE　，∠C＝∠　DEB　（　两直线平行，同位角相等　）
∵EF∥AB（已知）
∴∠　BDE　＝∠DEF（　两直线平行，内错角相等　）
∠B＝∠　FEC　（两直线平行同位角相等）
∴∠A＝∠DEF（　等量代换　）
∵BE是直线（已知）
∴∠BEC＝180°（平角定义）
即∠DEF+∠FEC+∠DEB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°（　等量代换　）

【分析】根据平行线的性质及平角的定义即可得出结果．
【解答】证明：∵DE∥AC（已知），
∴∠A＝∠BDE，∠C＝∠DEB（两直线平行，同位角相等），
∵EF∥AB（已知），
∴∠BDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠FEC（两直线平行同位角相等），
∴∠A＝∠DEF（等量代换），
∵BE是直线（已知），
∴∠BEC＝180°（平角定义），
即∠DEF+∠FEC+∠DEB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
故答案为：BDE，DEB，两直线平行，同位角相等，BDE，两直线平行，内错角相等，FEC，等量代换，等量代换．
【点评】本题考查平行线的性质及平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
25．（10分）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
【分析】（1）设调入x名工人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）16+6＝22（人），设y名工人生产螺柱，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）设调入x名工人，
根据题意得：16+x＝3x+4，
解得：x＝6，
则调入6名工人；
（2）16+6＝22（人），
设y名工人生产螺柱，
根据题意得：2×1200y＝2000（22﹣y），
解得：y＝10，
22﹣y＝22﹣10＝12（人），
则10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
26．（10分）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．
（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；
（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．

【分析】（1）由垂直的定义及角度的和差计算可得；
（2）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；
（3）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．
【解答】解：（1）如图，∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，
∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．
（2）如图，∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠FOD＝90°，
∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，
∵∠BOD＝∠FOD，
∴∠FOB＝2∠FOD，
∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
（3）如图，
∵∠FOG：∠AOE＝2：3，
∴设∠FOG＝2α，则∠AOE＝3α，
∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，
∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOD＝α，
∴∠FOD＝∠BOD＝α，
∵A，O，B三点在一条直线上，
∴3α+α+2α+α＝180°，
解得α＝22.5°，
∴∠COG＝112.5°．
【点评】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，角度的和差等内容，解题关键是找到图中角度之间的关系，列出等式．
27．（10分）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；
（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案；
（3）设∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根据平行线的性质得出∠BAC＝180°﹣x°，根据角平分线的定义得出∠BAE＝BAC＝90°﹣x°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程90﹣x+x﹣35+2x＝180，求出x即可．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；

（2）证明：过F作FM∥AB，如图，

∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；

（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝BAC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90﹣x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．