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山东省潍坊市潍城区2020-2021学年上学期期中考试八年级数学试题 （word版 含答案）
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这是一份山东省潍坊市潍城区2020-2021学年上学期期中考试八年级数学试题 （word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列式子中：，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
4．已知点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．Q（a，﹣b+2） B．Q（﹣a，b﹣2） C．Q（a，b+2） D．Q（﹣a，﹣b+2）
5．下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交边BC于点D，若CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
7．下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC＝2，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，已知∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．125° C．110° D．105°
12．如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点．以下结论：①AD＝BE；②∠DOE＝α；③△CMN是等边三角形；④连接OC，则OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
二、填空题（本大题共6小题,每小题3分，共18分．把答案填写在题中横线上．）
13．若分式的值为0，则x的值为 ．
14．分式，﹣，的最简公分母是 ．
15．如图，AB＝DE，AB∥DE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．
16．如图，已知点P是射线ON上一动点，∠AON＝50°，若△AOP为等腰三角形，则∠A＝ ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝3，△ABC面积为，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若点D为BC的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 ．
18．已知：．请计算：y2021＝ ．（用含x的代数式表示）
三、解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
20．先化简：，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
21．已知：如图，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．求证：BF＝CF．
22．已知：，求A，B的值．
23．如图，在5×7的方格纸上画有AB，CD两条线段，按下列要求画图．
（1）在图1中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；
（2）在图2中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（用粗线画出所有情形）
24．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝BE，连接CD，AE，交于点F．
（1）判断∠BAE与∠BCD的数量关系，并说明理由；
（2）试说明：过点B，F的直线垂直平分线段AC．
25．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．
2020-2021学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列式子中：，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：属于分式的为：，，共2个，
故选：B．
3．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，但∠B与∠D不一定相等，A选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，当∠ACB与∠DEF不一定相等，B选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，当AC与EF不一定相等，C选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，D选项结论正确，符合题意；
故选：D．
4．已知点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．Q（a，﹣b+2） B．Q（﹣a，b﹣2） C．Q（a，b+2） D．Q（﹣a，﹣b+2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”进行解答即可．
【解答】解：∵点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标为（a，﹣b+2）．
故选：A．
5．下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．
【解答】解：A．当x＝0时，无意义，不合题意；
B．当x＝±1时，无意义，不合题意；
C．当x取任意实数时，有意义，符合题意；
D．当x＝﹣1时，无意义，不合题意；
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交边BC于点D，若CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC＝5，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DC⊥AB，
∴DH＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝40，
故选：B．
7．下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变）判断即可．
【解答】解：A、2前面是加号不是乘号，不可以约分，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、原式＝﹣，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、原式＝＝，原变形正确，故本选项符合题意；
D、从左边到右边不正确，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC＝2，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+DC+AD＝10，
∴AC+CD+BD＝AC+BC＝10，
∵BC﹣AC＝2，
∴BC＝6，
故选：B．
9．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，代入代数式计算即可得出答案．
【解答】解：∵﹣＝5，
∴＝5，
∴y﹣x＝5xy，
∴x﹣y＝﹣5xy，
∴
＝
＝
＝
＝5，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C＝70°，证明△AEF≌△CFD（SAS），由全等三角形的性质得出∠AFE＝∠CDF，则可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，AB＝CB，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（SAS），
∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故选：C．
11．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，已知∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．125° C．110° D．105°
【分析】由平行线的性质可求∠FCD＝180°﹣∠1＝70°，进而可得∠FCB＝55°，再由平行线的性质可求解．
【解答】解：如图，
∵EF∥CD，
∴∠1+∠FCD＝180°，
∴∠FCD＝180°﹣∠1＝70°，
∵2∠FCB+∠FCD＝180°，
∴∠FCB＝55°，
∵AB∥CF，
∴∠2+∠FCB＝180°，
∴∠2＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
12．如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点．以下结论：①AD＝BE；②∠DOE＝α；③△CMN是等边三角形；④连接OC，则OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD＝BE；故①正确；
②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BEC，得到∠DOE＝∠DCE＝α，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC根据线段的中点的定义得到AM＝BN，根据全等三角形的性质得到CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，得到∠MCN＝α，推出△CMN不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH＝CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．
【解答】解：①∵CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
故①正确；
②设CD与BE交于F，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠CFE＝∠DFO，
∴∠DOE＝∠DCE＝α，
故②正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝α，
∴∠ACM+∠MCB＝α，
∴∠BCN+∠MCB＝α，
∴∠MCN＝α，
∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，
∴∠CHD＝∠ECG＝90°，
在△CGE和△CHD中，
∴△CGE≌△CHD（AAS），
∴CH＝CG，
∴OC平分∠AOE，故④正确，
故选：A．
二．填空题
13．若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式的值为0，所以＝0，
化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．
解得x＝±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x＝﹣3．
故答案为﹣3．
14．分式，﹣，的最简公分母是 6a2b2c2 ．
【分析】分母的系数的最小公倍数是6，同时取a2、b2、c2的积．
【解答】解：分式，﹣，的分母分别是a2b、c2，2ac2、3b2c，故最简公分母为6a2b2c2．
故答案为6a2b2c2．
15．如图，AB＝DE，AB∥DE，请添加一个条件 ∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F ，使△ABC≌△DEF．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠A＝∠D，或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
【解答】解：可添加条件为∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
理由如下：若添加条件∠A＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
若添加BE＝CF或BC＝EF，可由SAS证得△ABC≌△DEF；
若添加∠ACB＝∠F，可由AAS证得△ABC≌△DEF；
故答案是：∠A＝∠D或BE＝CF或BC＝EF或∠ACB＝∠F（填一个即可）．
16．如图，已知点P是射线ON上一动点，∠AON＝50°，若△AOP为等腰三角形，则∠A＝ 50°或65°或80° ．
【分析】若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的度数．
【解答】解：分三种情况：
①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝50°，
∴∠A＝80°；
②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝（180°﹣50°）＝65°；
③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝50°，
综上可知，∠A为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝3，△ABC面积为，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若点D为BC的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 6.5 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝，
解得AD＝5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝5+×3＝6.5．
故答案为：6.5．
18．已知：．请计算：y2021＝ ．（用含x的代数式表示）
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出y2、y3、y4，据此得出循环规律，再进一步求解可得．
【解答】解：∵，
∴，
，
．
∴这列式子的结果以，为周期，每3个数一循环．
∵2021÷3＝673...2，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先计算乘方、将除法转化为乘法、同时对除式因式分解，再约分即可；
（2）先将原式转化为同分母分式的减法，再根据法则计算即可；
（3）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得答案．
【解答】解：（1）原式＝•＝＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝；
（3）原式＝•+
＝+
＝
＝．
20．先化简：，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝•
＝﹣，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，a+3≠0，
∴a≠2，a≠±3，
∴当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
21．已知：如图，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．求证：BF＝CF．
【分析】根据SSS证明△ABC≌△DCB，进而解答即可．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴EB＝EC，
∵EF⊥BC，
∴BF＝CF．
22．已知：，求A，B的值．
【分析】根据分式的运算法则以及二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：∵+＝，
∴＝，
∴，
解得：．
23．如图，在5×7的方格纸上画有AB，CD两条线段，按下列要求画图．
（1）在图1中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；
（2）在图2中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（用粗线画出所有情形）
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：A′B′即为所求；
（2）如图2所示：即为所求．
24．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝BE，连接CD，AE，交于点F．
（1）判断∠BAE与∠BCD的数量关系，并说明理由；
（2）试说明：过点B，F的直线垂直平分线段AC．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）连接BF并延长交AC于M，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，由（1）可知∠BAE＝∠BCD，得到∠FAC＝∠FCA，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠BAE＝∠BCD，
理由：在△BAE与△BCD中，
，
∴△BAE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠BCD；
（2）连接BF并延长交AC于M，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
由（1）可知∠BAE＝∠BCD，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠BCA﹣∠BCD，
即∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴过点B，F的直线垂直平分线段AC．
25．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC；
（2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）△ADC≌△BOC，
理由如下：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）△ADO是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
2020-2021学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列式子中：，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
4．已知点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．Q（a，﹣b+2） B．Q（﹣a，b﹣2） C．Q（a，b+2） D．Q（﹣a，﹣b+2）
5．下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交边BC于点D，若CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
7．下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC＝2，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，已知∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．125° C．110° D．105°
12．如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点．以下结论：①AD＝BE；②∠DOE＝α；③△CMN是等边三角形；④连接OC，则OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
二、填空题（本大题共6小题,每小题3分，共18分．把答案填写在题中横线上．）
13．若分式的值为0，则x的值为 ．
14．分式，﹣，的最简公分母是 ．
15．如图，AB＝DE，AB∥DE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．
16．如图，已知点P是射线ON上一动点，∠AON＝50°，若△AOP为等腰三角形，则∠A＝ ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝3，△ABC面积为，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若点D为BC的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 ．
18．已知：．请计算：y2021＝ ．（用含x的代数式表示）
三、解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
20．先化简：，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
21．已知：如图，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．求证：BF＝CF．
22．已知：，求A，B的值．
23．如图，在5×7的方格纸上画有AB，CD两条线段，按下列要求画图．
（1）在图1中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；
（2）在图2中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（用粗线画出所有情形）
24．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝BE，连接CD，AE，交于点F．
（1）判断∠BAE与∠BCD的数量关系，并说明理由；
（2）试说明：过点B，F的直线垂直平分线段AC．
25．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．
2020-2021学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列式子中：，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：属于分式的为：，，共2个，
故选：B．
3．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，但∠B与∠D不一定相等，A选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，当∠ACB与∠DEF不一定相等，B选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，当AC与EF不一定相等，C选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，D选项结论正确，符合题意；
故选：D．
4．已知点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．Q（a，﹣b+2） B．Q（﹣a，b﹣2） C．Q（a，b+2） D．Q（﹣a，﹣b+2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”进行解答即可．
【解答】解：∵点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标为（a，﹣b+2）．
故选：A．
5．下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．
【解答】解：A．当x＝0时，无意义，不合题意；
B．当x＝±1时，无意义，不合题意；
C．当x取任意实数时，有意义，符合题意；
D．当x＝﹣1时，无意义，不合题意；
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交边BC于点D，若CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC＝5，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DC⊥AB，
∴DH＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝40，
故选：B．
7．下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变）判断即可．
【解答】解：A、2前面是加号不是乘号，不可以约分，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、原式＝﹣，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、原式＝＝，原变形正确，故本选项符合题意；
D、从左边到右边不正确，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC＝2，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+DC+AD＝10，
∴AC+CD+BD＝AC+BC＝10，
∵BC﹣AC＝2，
∴BC＝6，
故选：B．
9．已知，则代数式的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】把﹣＝5变形为x﹣y＝﹣5xy，代入代数式计算即可得出答案．
【解答】解：∵﹣＝5，
∴＝5，
∴y﹣x＝5xy，
∴x﹣y＝﹣5xy，
∴
＝
＝
＝
＝5，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C＝70°，证明△AEF≌△CFD（SAS），由全等三角形的性质得出∠AFE＝∠CDF，则可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，AB＝CB，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（SAS），
∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故选：C．
11．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，已知∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．130° B．125° C．110° D．105°
【分析】由平行线的性质可求∠FCD＝180°﹣∠1＝70°，进而可得∠FCB＝55°，再由平行线的性质可求解．
【解答】解：如图，
∵EF∥CD，
∴∠1+∠FCD＝180°，
∴∠FCD＝180°﹣∠1＝70°，
∵2∠FCB+∠FCD＝180°，
∴∠FCB＝55°，
∵AB∥CF，
∴∠2+∠FCB＝180°，
∴∠2＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
12．如图，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点．以下结论：①AD＝BE；②∠DOE＝α；③△CMN是等边三角形；④连接OC，则OC平分∠AOE．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD＝BE；故①正确；
②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BEC，得到∠DOE＝∠DCE＝α，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC根据线段的中点的定义得到AM＝BN，根据全等三角形的性质得到CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，得到∠MCN＝α，推出△CMN不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH＝CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．
【解答】解：①∵CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
故①正确；
②设CD与BE交于F，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠CFE＝∠DFO，
∴∠DOE＝∠DCE＝α，
故②正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝α，
∴∠ACM+∠MCB＝α，
∴∠BCN+∠MCB＝α，
∴∠MCN＝α，
∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，
∴∠CHD＝∠ECG＝90°，
在△CGE和△CHD中，
∴△CGE≌△CHD（AAS），
∴CH＝CG，
∴OC平分∠AOE，故④正确，
故选：A．
二．填空题
13．若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式的值为0，所以＝0，
化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．
解得x＝±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x＝﹣3．
故答案为﹣3．
14．分式，﹣，的最简公分母是 6a2b2c2 ．
【分析】分母的系数的最小公倍数是6，同时取a2、b2、c2的积．
【解答】解：分式，﹣，的分母分别是a2b、c2，2ac2、3b2c，故最简公分母为6a2b2c2．
故答案为6a2b2c2．
15．如图，AB＝DE，AB∥DE，请添加一个条件 ∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F ，使△ABC≌△DEF．
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠A＝∠D，或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
【解答】解：可添加条件为∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
理由如下：若添加条件∠A＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
若添加BE＝CF或BC＝EF，可由SAS证得△ABC≌△DEF；
若添加∠ACB＝∠F，可由AAS证得△ABC≌△DEF；
故答案是：∠A＝∠D或BE＝CF或BC＝EF或∠ACB＝∠F（填一个即可）．
16．如图，已知点P是射线ON上一动点，∠AON＝50°，若△AOP为等腰三角形，则∠A＝ 50°或65°或80° ．
【分析】若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的度数．
【解答】解：分三种情况：
①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝50°，
∴∠A＝80°；
②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝（180°﹣50°）＝65°；
③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝50°，
综上可知，∠A为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝3，△ABC面积为，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若点D为BC的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 6.5 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝，
解得AD＝5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝5+×3＝6.5．
故答案为：6.5．
18．已知：．请计算：y2021＝ ．（用含x的代数式表示）
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出y2、y3、y4，据此得出循环规律，再进一步求解可得．
【解答】解：∵，
∴，
，
．
∴这列式子的结果以，为周期，每3个数一循环．
∵2021÷3＝673...2，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先计算乘方、将除法转化为乘法、同时对除式因式分解，再约分即可；
（2）先将原式转化为同分母分式的减法，再根据法则计算即可；
（3）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得答案．
【解答】解：（1）原式＝•＝＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝；
（3）原式＝•+
＝+
＝
＝．
20．先化简：，再从2，﹣2，3，﹣3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出a的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝•
＝﹣，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，a+3≠0，
∴a≠2，a≠±3，
∴当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
21．已知：如图，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．求证：BF＝CF．
【分析】根据SSS证明△ABC≌△DCB，进而解答即可．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴EB＝EC，
∵EF⊥BC，
∴BF＝CF．
22．已知：，求A，B的值．
【分析】根据分式的运算法则以及二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：∵+＝，
∴＝，
∴，
解得：．
23．如图，在5×7的方格纸上画有AB，CD两条线段，按下列要求画图．
（1）在图1中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；
（2）在图2中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．（用粗线画出所有情形）
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：A′B′即为所求；
（2）如图2所示：即为所求．
24．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝BE，连接CD，AE，交于点F．
（1）判断∠BAE与∠BCD的数量关系，并说明理由；
（2）试说明：过点B，F的直线垂直平分线段AC．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）连接BF并延长交AC于M，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，由（1）可知∠BAE＝∠BCD，得到∠FAC＝∠FCA，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠BAE＝∠BCD，
理由：在△BAE与△BCD中，
，
∴△BAE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠BCD；
（2）连接BF并延长交AC于M，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
由（1）可知∠BAE＝∠BCD，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠BCA﹣∠BCD，
即∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴过点B，F的直线垂直平分线段AC．
25．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC；
（2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）△ADC≌△BOC，
理由如下：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）△ADO是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
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