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黑龙江省哈尔滨市香坊区2020-2021学年七年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份黑龙江省哈尔滨市香坊区2020-2021学年七年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列是一元一次方程的是（ ）
A．2x+1 B．3+2＝5 C．x+2＝3 D．x2＝0
2．下列哪个图形是由如图平移得到的（ ）
A． B． C． D．
3．在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列等式变形中，结果不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+2b＝3b B．如果a＝3，那么a﹣k＝3﹣k
C．如果m＝n，那么mc2＝nc2 D．如果mc2＝nc2，那么m＝n
5．如图，a∥b，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
6．若方程ax﹣3x＝15的解为x＝5，则a等于（ ）
A．80 B．4 C．6 D．2
7．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能使AB∥CD的是（ ）
A．∠ABD＝∠CDB B．∠ADB＝∠CBD
C．∠C＝∠CDE D．∠C+∠ADC＝180°
8．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．35° C．20° D．40°
9．幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；若每人分4个，则差2个，问有多少个苹果？设有x个苹果，则可列方程为（ ）
A．3x+1＝4x﹣2 B． C． D．
10．下列命题中：
（1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）对顶角相等；
（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．已知关于x的方程5xm+2+3＝0是一元一次方程，则m＝ ．
12．如图，∠B的内错角是 ．
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
14．如图，直线a、b相交，∠1＝36°，则∠2﹣∠3＝ ．
15．已知，如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝50°，则∠BOD＝ ．
16．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是 ．
17．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为 ．
18．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是 千米．
19．两个角的两边分别平行，一个角是50°，那么另一个角是 ．
20．如图，长为60，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A、B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，阴影A和阴影B的短边长分别为19和9．则x的值为 ．
三、解答题（共60分，21、22题每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）
21．解方程
（1）8x＝﹣2（x+5）；
（2）﹣＝1．
22．三角形ABC在正方形网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图．
（1）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形A'B'C'，画出三角形A'B'C'．
（2）连接AC'，BC'，则三角形ABC'的面积为 ．
23．完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（ ）
∴∠1＝ （ ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（ ）
∴∠2＝ （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．
25．据气象局预测2020年将迎来一个寒冬，某商店根据此商机购进一批优质手套，按进价提高40%后标价，为了增加销量，该商店决定打八折出售，即每副手套以28元售出．
（1）求这批手套的进价是每副多少元．
（2）该商店当售出这批手套一半数量后，正好赶上双十一活动，所以决定改变促销方式，该商店决定将剩下的手套以每3副80元的价格销售，很快全部售完，这批手套该商店共获利2800元，求该商店共购进多少副手套．
26．2020年国庆前夕，德强中学七年级筹备篝火晚会时，使用如图8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米；
（1）请求出其中最大的正方形边长；
（2）展板的绘制任务由七年级美术小组的同学共同完成，小组中每名同学每小时能够绘制2平方米展板，绘制5小时后有4名同学离开，其余同学继续绘制4小时后完成展板绘制，求美术小组共有多少名同学．
27．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列是一元一次方程的是（ ）
A．2x+1 B．3+2＝5 C．x+2＝3 D．x2＝0
【分析】利用一元一次方程定义解答即可．
【解答】解：A、2x+1不是方程，故此选项不合题意；
B、3+2＝5，不含未知数，不是方程，故此选项不合题意；
C、x+2＝3是一元一次方程，故此选项符合题意；
D、x2＝0是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
2．下列哪个图形是由如图平移得到的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、图形属于旋转得到，故错误；
B、图形属于旋转得到，故错误；
C、图形的形状和大小没的变化，符合平移性质，故正确；
D、图形属于旋转得到，故错误．
故选：C．
3．在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．
【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．
故选：B．
4．下列等式变形中，结果不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+2b＝3b B．如果a＝3，那么a﹣k＝3﹣k
C．如果m＝n，那么mc2＝nc2 D．如果mc2＝nc2，那么m＝n
【分析】根据等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；根据等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．
【解答】解：A、等式两边都加2b，故A正确；
B、等式两边都减k，故B正确；
C、两边都乘以c2，故C正确；
D、c＝0时，故D错误；
故选：D．
5．如图，a∥b，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
【分析】本题考查的是平行线的性质中的两直线平行，同位角相等．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
6．若方程ax﹣3x＝15的解为x＝5，则a等于（ ）
A．80 B．4 C．6 D．2
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把x＝5代入方程就得到关于a的方程，从而求出a的值．
【解答】解：把x＝5代入方程ax﹣3x＝15，
得：5a﹣15＝15，
解得：a＝6．
故选：C．
7．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能使AB∥CD的是（ ）
A．∠ABD＝∠CDB B．∠ADB＝∠CBD
C．∠C＝∠CDE D．∠C+∠ADC＝180°
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，故选项A符合题意；
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，故选项B不合题意；
∵∠C＝∠CDE，
∴AD∥BC，故选项C不合题意；
∵∠C+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，故选项D不合题意，
故选：A．
8．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．35° C．20° D．40°
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠EOC，然后根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，
∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°．
故选：B．
9．幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；若每人分4个，则差2个，问有多少个苹果？设有x个苹果，则可列方程为（ ）
A．3x+1＝4x﹣2 B． C． D．
【分析】设有x个苹果，根据小朋友的人数是一定的，列出方程即可．
【解答】解：设有x个苹果，
由题意得，＝．
故选：B．
10．下列命题中：
（1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）对顶角相等；
（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据点到直线的距离的概念、平行线的性质、垂直的概念、对顶角的性质、平行公理判断即可．
【解答】解：（1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，本小题说法是假命题；
（2）两平行线被第三条直线所截，同位角相等，本小题说法是假命题；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题；
（4）对顶角相等，本小题说法是真命题；
（5）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本小题说法是假命题；
故选：A．
二．填空题
11．已知关于x的方程5xm+2+3＝0是一元一次方程，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行解答即可．
【解答】解：由题意得：m+2＝1，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．如图，∠B的内错角是 ∠BAD ．
【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，从而得出答案．
【解答】解：∠B的内错角是∠BAD；
故答案为：∠BAD．
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
14．如图，直线a、b相交，∠1＝36°，则∠2﹣∠3＝ 108° ．
【分析】根据对顶角、邻补角的性质及∠1＝36°可求出∠2和∠3的度数，进而能得出∠2﹣∠3的值．
【解答】解：∵直线a、b相交，∠1＝36°，
∴∠3＝∠1＝36°，∠2＝180°﹣∠1＝144°，
∴∠2﹣∠3＝144°﹣36°＝108°．
故答案为：108°．
15．已知，如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝50°，则∠BOD＝ 40° ．
【分析】运用对顶角、邻补角的定义求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．
故答案为：40°．
16．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是 20岁 ．
【分析】本题等量关系为：5年前甲的年龄＝2×5年前乙的年龄．可设乙现在的年龄为x岁，则甲为（x+15）岁，根据等量关系列方程求解．
【解答】解：设乙现在x岁，则5年前甲为（x+15﹣5）岁，乙为（x﹣5）岁，
由题意得：x+15﹣5＝2（x﹣5），
解得：x＝20，即乙现在的年龄是20岁．
故答案为：20岁．
17．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为 35° ．
【分析】先根据∠1＝55°，AB⊥BC求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝55°，
∴∠3＝90°﹣55°＝35°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝35°．
故答案为：35°．
18．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是 60 千米．
【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根据求出的船在静水中的速度，再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：
（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，
解得：x＝27，
即：船在静水中的速度是27千米/小时，
（27+3）×2＝60（千米）；
答：两码头间的距离是60千米．
故答案是：60．
19．两个角的两边分别平行，一个角是50°，那么另一个角是 130°或50° ．
【分析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，又由一个角是50°，即可求得答案．
【解答】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
20．如图，长为60，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A、B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，阴影A和阴影B的短边长分别为19和9．则x的值为 39 ．
【分析】分别设出形状、大小完全相同的小长方形的长为a，宽为b，依题意列出方程组，解方程组求出a，b，则x可求．
【解答】解：设形状、大小完全相同的小长方形的长为a，宽为b，依题意得：
．
解得：．
∴x＝a+9＝39．
故答案为39．
三．解答题（共7小题）
21．解方程
（1）8x＝﹣2（x+5）；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：8x＝﹣2x﹣10，
移项，合并同类项，可得：10x＝﹣10，
系数化为1，可得：x＝﹣1．
（2）去分母，可得：5（x﹣3）﹣2（4x+1）＝10，
去括号，可得：5x﹣15﹣8x﹣2＝10，
移项，合并同类项，可得：3x＝﹣27，
系数化为1，可得：x＝﹣9．
22．三角形ABC在正方形网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图．
（1）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形A'B'C'，画出三角形A'B'C'．
（2）连接AC'，BC'，则三角形ABC'的面积为 7.5 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）S△ABC′＝×5×3＝7.5，
故答案为：7.5．
23．完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）
【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．
【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠3 （两直线平行，内错角相等 ）．
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDF＝∠EFC＝90°．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；
同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．
【分析】根据角平分线的意义、平角、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可．
【解答】解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，
∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，
答：∠BOD的度数为32°．
25．据气象局预测2020年将迎来一个寒冬，某商店根据此商机购进一批优质手套，按进价提高40%后标价，为了增加销量，该商店决定打八折出售，即每副手套以28元售出．
（1）求这批手套的进价是每副多少元．
（2）该商店当售出这批手套一半数量后，正好赶上双十一活动，所以决定改变促销方式，该商店决定将剩下的手套以每3副80元的价格销售，很快全部售完，这批手套该商店共获利2800元，求该商店共购进多少副手套．
【分析】（1）设这批手套的进价是每副x元．进价×（1+40%）×八折＝售价；
（2）设该商店共购进2y副手套，根据“该商店决定将剩下的手套以每3副80元的价格销售，很快全部售完，这批手套该商店共获利2800元”列出方程并解答．
【解答】解：（1）设手套的进价是x元．
依题意得：（1+40%）x×0.8＝28，
解得x＝25．
答：这批手套的进价是25元；
（2）设该商店共购进2y副手套，
依题意得：（﹣25）y+（28﹣25）y＝2800，
解得y＝600．
则2y＝1200．
答：该超市共购进这批手套1200副．
26．2020年国庆前夕，德强中学七年级筹备篝火晚会时，使用如图8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米；
（1）请求出其中最大的正方形边长；
（2）展板的绘制任务由七年级美术小组的同学共同完成，小组中每名同学每小时能够绘制2平方米展板，绘制5小时后有4名同学离开，其余同学继续绘制4小时后完成展板绘制，求美术小组共有多少名同学．
【分析】（1）可设第二小的正方形的边长为x米，则五种正方形的边长从小到大依次为1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，再根据长方形展板上下两对边相等列出方程即可求出x，最大正方形边长也就是（x+4）米；
（2）根据（1）可求出展板的面积，设美术组同学为y名，根据题意列方程解方程即可．
【解答】解：（1）设第二小的正方形的边长为x米，则五种正方形的边长从小到大依次为1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，根据长方形展板上下两对边相等列方程得（x+3）+（x+4）＝（x+1）+x+x+x，
解得x＝3，
x+4＝7（米），
答：其中最大正方形的边长为7米；
（2）根据（1）得展板的长为（x+3）+（x+4）＝13（米），
展板的宽为（x+4）+x＝10（米），
∴展板的面积为13×10＝130（平方米），
设美术组共有y名同学，根据题意列方程得2×[5y+4（y﹣4）]＝130，
解得y＝9，
答：美术小组共9名同学．
27．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ECD＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市香坊区七年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列是一元一次方程的是（ ）
A．2x+1 B．3+2＝5 C．x+2＝3 D．x2＝0
2．下列哪个图形是由如图平移得到的（ ）
A． B． C． D．
3．在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列等式变形中，结果不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+2b＝3b B．如果a＝3，那么a﹣k＝3﹣k
C．如果m＝n，那么mc2＝nc2 D．如果mc2＝nc2，那么m＝n
5．如图，a∥b，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
6．若方程ax﹣3x＝15的解为x＝5，则a等于（ ）
A．80 B．4 C．6 D．2
7．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能使AB∥CD的是（ ）
A．∠ABD＝∠CDB B．∠ADB＝∠CBD
C．∠C＝∠CDE D．∠C+∠ADC＝180°
8．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．35° C．20° D．40°
9．幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；若每人分4个，则差2个，问有多少个苹果？设有x个苹果，则可列方程为（ ）
A．3x+1＝4x﹣2 B． C． D．
10．下列命题中：
（1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）对顶角相等；
（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．已知关于x的方程5xm+2+3＝0是一元一次方程，则m＝ ．
12．如图，∠B的内错角是 ．
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
14．如图，直线a、b相交，∠1＝36°，则∠2﹣∠3＝ ．
15．已知，如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝50°，则∠BOD＝ ．
16．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是 ．
17．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为 ．
18．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是 千米．
19．两个角的两边分别平行，一个角是50°，那么另一个角是 ．
20．如图，长为60，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A、B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，阴影A和阴影B的短边长分别为19和9．则x的值为 ．
三、解答题（共60分，21、22题每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分）
21．解方程
（1）8x＝﹣2（x+5）；
（2）﹣＝1．
22．三角形ABC在正方形网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图．
（1）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形A'B'C'，画出三角形A'B'C'．
（2）连接AC'，BC'，则三角形ABC'的面积为 ．
23．完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（ ）
∴∠1＝ （ ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（ ）
∴∠2＝ （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．
25．据气象局预测2020年将迎来一个寒冬，某商店根据此商机购进一批优质手套，按进价提高40%后标价，为了增加销量，该商店决定打八折出售，即每副手套以28元售出．
（1）求这批手套的进价是每副多少元．
（2）该商店当售出这批手套一半数量后，正好赶上双十一活动，所以决定改变促销方式，该商店决定将剩下的手套以每3副80元的价格销售，很快全部售完，这批手套该商店共获利2800元，求该商店共购进多少副手套．
26．2020年国庆前夕，德强中学七年级筹备篝火晚会时，使用如图8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米；
（1）请求出其中最大的正方形边长；
（2）展板的绘制任务由七年级美术小组的同学共同完成，小组中每名同学每小时能够绘制2平方米展板，绘制5小时后有4名同学离开，其余同学继续绘制4小时后完成展板绘制，求美术小组共有多少名同学．
27．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列是一元一次方程的是（ ）
A．2x+1 B．3+2＝5 C．x+2＝3 D．x2＝0
【分析】利用一元一次方程定义解答即可．
【解答】解：A、2x+1不是方程，故此选项不合题意；
B、3+2＝5，不含未知数，不是方程，故此选项不合题意；
C、x+2＝3是一元一次方程，故此选项符合题意；
D、x2＝0是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
2．下列哪个图形是由如图平移得到的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、图形属于旋转得到，故错误；
B、图形属于旋转得到，故错误；
C、图形的形状和大小没的变化，符合平移性质，故正确；
D、图形属于旋转得到，故错误．
故选：C．
3．在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．
【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．
故选：B．
4．下列等式变形中，结果不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+2b＝3b B．如果a＝3，那么a﹣k＝3﹣k
C．如果m＝n，那么mc2＝nc2 D．如果mc2＝nc2，那么m＝n
【分析】根据等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；根据等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．
【解答】解：A、等式两边都加2b，故A正确；
B、等式两边都减k，故B正确；
C、两边都乘以c2，故C正确；
D、c＝0时，故D错误；
故选：D．
5．如图，a∥b，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
【分析】本题考查的是平行线的性质中的两直线平行，同位角相等．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
6．若方程ax﹣3x＝15的解为x＝5，则a等于（ ）
A．80 B．4 C．6 D．2
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把x＝5代入方程就得到关于a的方程，从而求出a的值．
【解答】解：把x＝5代入方程ax﹣3x＝15，
得：5a﹣15＝15，
解得：a＝6．
故选：C．
7．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能使AB∥CD的是（ ）
A．∠ABD＝∠CDB B．∠ADB＝∠CBD
C．∠C＝∠CDE D．∠C+∠ADC＝180°
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，故选项A符合题意；
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，故选项B不合题意；
∵∠C＝∠CDE，
∴AD∥BC，故选项C不合题意；
∵∠C+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，故选项D不合题意，
故选：A．
8．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．35° C．20° D．40°
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠EOC，然后根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，
∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°．
故选：B．
9．幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；若每人分4个，则差2个，问有多少个苹果？设有x个苹果，则可列方程为（ ）
A．3x+1＝4x﹣2 B． C． D．
【分析】设有x个苹果，根据小朋友的人数是一定的，列出方程即可．
【解答】解：设有x个苹果，
由题意得，＝．
故选：B．
10．下列命题中：
（1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）对顶角相等；
（5）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据点到直线的距离的概念、平行线的性质、垂直的概念、对顶角的性质、平行公理判断即可．
【解答】解：（1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，本小题说法是假命题；
（2）两平行线被第三条直线所截，同位角相等，本小题说法是假命题；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题；
（4）对顶角相等，本小题说法是真命题；
（5）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本小题说法是假命题；
故选：A．
二．填空题
11．已知关于x的方程5xm+2+3＝0是一元一次方程，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行解答即可．
【解答】解：由题意得：m+2＝1，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．如图，∠B的内错角是 ∠BAD ．
【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，从而得出答案．
【解答】解：∠B的内错角是∠BAD；
故答案为：∠BAD．
13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
14．如图，直线a、b相交，∠1＝36°，则∠2﹣∠3＝ 108° ．
【分析】根据对顶角、邻补角的性质及∠1＝36°可求出∠2和∠3的度数，进而能得出∠2﹣∠3的值．
【解答】解：∵直线a、b相交，∠1＝36°，
∴∠3＝∠1＝36°，∠2＝180°﹣∠1＝144°，
∴∠2﹣∠3＝144°﹣36°＝108°．
故答案为：108°．
15．已知，如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于O，∠COE＝50°，则∠BOD＝ 40° ．
【分析】运用对顶角、邻补角的定义求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝50°，
∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．
故答案为：40°．
16．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是 20岁 ．
【分析】本题等量关系为：5年前甲的年龄＝2×5年前乙的年龄．可设乙现在的年龄为x岁，则甲为（x+15）岁，根据等量关系列方程求解．
【解答】解：设乙现在x岁，则5年前甲为（x+15﹣5）岁，乙为（x﹣5）岁，
由题意得：x+15﹣5＝2（x﹣5），
解得：x＝20，即乙现在的年龄是20岁．
故答案为：20岁．
17．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为 35° ．
【分析】先根据∠1＝55°，AB⊥BC求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝55°，
∴∠3＝90°﹣55°＝35°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝35°．
故答案为：35°．
18．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是 60 千米．
【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根据求出的船在静水中的速度，再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：
（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，
解得：x＝27，
即：船在静水中的速度是27千米/小时，
（27+3）×2＝60（千米）；
答：两码头间的距离是60千米．
故答案是：60．
19．两个角的两边分别平行，一个角是50°，那么另一个角是 130°或50° ．
【分析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，又由一个角是50°，即可求得答案．
【解答】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角互补或相等，
∵一个角是50°，
∴另一个角是130°或50°．
故答案为：130°或50°．
20．如图，长为60，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A、B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，阴影A和阴影B的短边长分别为19和9．则x的值为 39 ．
【分析】分别设出形状、大小完全相同的小长方形的长为a，宽为b，依题意列出方程组，解方程组求出a，b，则x可求．
【解答】解：设形状、大小完全相同的小长方形的长为a，宽为b，依题意得：
．
解得：．
∴x＝a+9＝39．
故答案为39．
三．解答题（共7小题）
21．解方程
（1）8x＝﹣2（x+5）；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：8x＝﹣2x﹣10，
移项，合并同类项，可得：10x＝﹣10，
系数化为1，可得：x＝﹣1．
（2）去分母，可得：5（x﹣3）﹣2（4x+1）＝10，
去括号，可得：5x﹣15﹣8x﹣2＝10，
移项，合并同类项，可得：3x＝﹣27，
系数化为1，可得：x＝﹣9．
22．三角形ABC在正方形网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图．
（1）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形A'B'C'，画出三角形A'B'C'．
（2）连接AC'，BC'，则三角形ABC'的面积为 7.5 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）S△ABC′＝×5×3＝7.5，
故答案为：7.5．
23．完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠1＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）
【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．
【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠3 （两直线平行，内错角相等 ）．
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDF＝∠EFC＝90°．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；
同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．
【分析】根据角平分线的意义、平角、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可．
【解答】解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，
∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，
答：∠BOD的度数为32°．
25．据气象局预测2020年将迎来一个寒冬，某商店根据此商机购进一批优质手套，按进价提高40%后标价，为了增加销量，该商店决定打八折出售，即每副手套以28元售出．
（1）求这批手套的进价是每副多少元．
（2）该商店当售出这批手套一半数量后，正好赶上双十一活动，所以决定改变促销方式，该商店决定将剩下的手套以每3副80元的价格销售，很快全部售完，这批手套该商店共获利2800元，求该商店共购进多少副手套．
【分析】（1）设这批手套的进价是每副x元．进价×（1+40%）×八折＝售价；
（2）设该商店共购进2y副手套，根据“该商店决定将剩下的手套以每3副80元的价格销售，很快全部售完，这批手套该商店共获利2800元”列出方程并解答．
【解答】解：（1）设手套的进价是x元．
依题意得：（1+40%）x×0.8＝28，
解得x＝25．
答：这批手套的进价是25元；
（2）设该商店共购进2y副手套，
依题意得：（﹣25）y+（28﹣25）y＝2800，
解得y＝600．
则2y＝1200．
答：该超市共购进这批手套1200副．
26．2020年国庆前夕，德强中学七年级筹备篝火晚会时，使用如图8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米；
（1）请求出其中最大的正方形边长；
（2）展板的绘制任务由七年级美术小组的同学共同完成，小组中每名同学每小时能够绘制2平方米展板，绘制5小时后有4名同学离开，其余同学继续绘制4小时后完成展板绘制，求美术小组共有多少名同学．
【分析】（1）可设第二小的正方形的边长为x米，则五种正方形的边长从小到大依次为1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，再根据长方形展板上下两对边相等列出方程即可求出x，最大正方形边长也就是（x+4）米；
（2）根据（1）可求出展板的面积，设美术组同学为y名，根据题意列方程解方程即可．
【解答】解：（1）设第二小的正方形的边长为x米，则五种正方形的边长从小到大依次为1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，根据长方形展板上下两对边相等列方程得（x+3）+（x+4）＝（x+1）+x+x+x，
解得x＝3，
x+4＝7（米），
答：其中最大正方形的边长为7米；
（2）根据（1）得展板的长为（x+3）+（x+4）＝13（米），
展板的宽为（x+4）+x＝10（米），
∴展板的面积为13×10＝130（平方米），
设美术组共有y名同学，根据题意列方程得2×[5y+4（y﹣4）]＝130，
解得y＝9，
答：美术小组共9名同学．
27．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ECD＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
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