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江苏省南京市2020-2021学年下学期期中考试七年级数学试卷 （word版 含答案）
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这是一份江苏省南京市2020-2021学年下学期期中考试七年级数学试卷 （word版 含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
3．（2分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（2a+b）（2b﹣a）
C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（2a﹣1）（2a+1）
4．（2分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
5．（2分）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣3，b＝3 D．a＝3，b＝3
6．（2分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算（）0＝ ，2﹣1＝ ．
8．（2分）多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是 ．
9．（2分）新型冠状病毒的直径大约是0.0000007米，将0.0000007用科学记数法表示为 ．
10．（2分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 ．
11．（2分）若2m＝3，2n＝2，则2m﹣2n的值为 ．
12．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为 ．
13．（2分）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
14．（2分）公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝ ．
15．（2分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝ °．
16．（2分）如图，AB∥DE，∠C＝30°，∠CDE﹣∠B＝110°，则∠CDE＝ °．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）a6÷a2﹣2a3•a；
（2）2x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．
18．（6分）因式分解：
（1）3ab2+6ab+3a；
（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）．
19．（7分）先化简，再求值：（m﹣2n）（m+2n）﹣（m﹣2n）2+4n2，其中m＝﹣2，n＝．
20．（7分）解二元一次方程组．
（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③
将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5，
将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为．该同学解这个方程组的过程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ．
（2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
21．（5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EC∥FD，∠F＝∠E，求证：AE∥BF．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．
证明：∵EC∥FD，（已知）
∴∠F＝∠ ．（ ）
∵∠F＝∠E，（已知）
∴∠ ＝∠E，（ ）
∴AE∥BF．（ ）
22．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A、B、A1都在方格纸的格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，点B与点B1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是 ；
（3）四边形ABB1A1的面积是 ．
23．（6分）同底数幂的乘法公式为：am•an＝ （m、n是正整数）．
请写出这一公式的推导过程．
24．（6分）观察下列各式：
①32﹣12＝4×2；
②42﹣22＝4×3；
③52﹣32＝4×4；
…
（1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （用含n的字母表示）；
（2）若式子a2﹣b2＝2020满足以上规律，则a＝ ，b＝ ；
（3）计算：20+24+28+…+100．
25．（8分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．求证：BE∥DF．
26．（11分）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD， ．
求证： ．
证明：
（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
2020-2021学年江苏省南京市七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意；
B．∠1与∠2是同旁内角，不是同位角，故本选项不符合题意；
C．∠1与∠2是同位角，故本选项符合题意；
D．∠1与∠2不是同位角，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2分）计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6．
故选：D．
3．（2分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（2a+b）（2b﹣a）
C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（2a﹣1）（2a+1）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：A、（a+b）（b+a）中不存在互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
B、（2a+b）（2b﹣a）中不存在相同的项和互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
C、（a+1）（﹣a﹣1）中不存在相同的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
D、（2a﹣1）（2a+1）符合平方差公式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴BD∥AC，故本选项不合题意；
B、根据∠1＝∠2不能推出BD∥AC，故本选项符合题意；
C、∵∠D＝∠DCE，
∴BD∥AC，故本选项不合题意；
D、∵∠D+∠ACD＝180°，
∴BD∥AC，故本选项不合题意；
故选：B．
5．（2分）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣3，b＝3 D．a＝3，b＝3
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
【解答】解：A．∵a＝﹣2，b＝﹣2，
∴|a|＝|b|，a＝b，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
B．∵a＝﹣2，b＝3，
∴|a|≠|b|，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
C．∵a＝﹣3，b＝3，
∴|a|＝|b|，a≠b，∴能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项正确；
D．∵a＝3，b＝3，
∴|a|＝|b|，a＝b，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
故选：C．
6．（2分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
【分析】用a，b的代数式表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可．
【解答】解：由题意可得：阴影部分面积＝（a﹣b）•a+b2＝（a2+b2）﹣ab．
∵a+b＝10，ab＝22，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×22＝56，
∴阴影部分面积＝×56﹣×22＝28﹣11＝17．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算（）0＝ 1 ，2﹣1＝ ．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1，原式＝，
故答案为：1；
8．（2分）多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是 3a2b ．
【分析】根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数，再找同底数的幂：指数最低的；即可确定答案．
【解答】解：∵3a2b﹣6a3b＝3a2b（1﹣2a），
∴公因式为：3a2b．
故答案为：3a2b．
9．（2分）新型冠状病毒的直径大约是0.0000007米，将0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案是：7×10﹣7．
10．（2分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 ﹣1 ．
【分析】把代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把代入方程x+ky＝﹣1，
得2+3k＝﹣1，
解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
11．（2分）若2m＝3，2n＝2，则2m﹣2n的值为 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则，将原式变形计算即可．
【解答】解：∵2m＝3，2n＝2，
∴2m﹣2n＝2m÷22n
＝2m÷（2n）2
＝3÷22
＝．
故答案为：．
12．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为 1 ．
【分析】我们尝试两式相加或相减，看是否可以直接求出x+y的值．由两式相加可以得到2x+2y＝2，即2（x+y）＝2，从而直接求出x+y＝1．
【解答】解：
①+②得：2x+2y＝2，
2（x+y）＝2，
x+y＝1．
故答案为：1．
13．（2分）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 两条直线垂直于同一条直线 ，那么 这两条直线互相平行 ．
【分析】把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面．
【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，
故答案为：两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．
14．（2分）公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝ a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 ．
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再根据多项式乘以多项式法则进行计算即可．
【解答】解：（a﹣b）3
＝（a﹣b）2（a﹣b）
＝（a2﹣2ab+b2）（a﹣b）
＝a3﹣2a2b+ab2﹣a2b+2ab2﹣b3
＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，
故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3．
15．（2分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝ 56 °．
【分析】根据平行线的性质可得∠EFB＝62°，∠EFC＝118°，根据翻折的性质∠EFC′＝∠EFC＝118°，即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°，
∴∠EFC＝118°，
由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°，
∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°，
故答案为：56．
16．（2分）如图，AB∥DE，∠C＝30°，∠CDE﹣∠B＝110°，则∠CDE＝ 160 °．
【分析】延长ED交BC于F，由平角的定义得到∠1＝180°﹣∠CDE，由平行线的性质得到∠3＝∠B，根据三角形的外角的性质得到∠3＝∠C+∠1，等量代换得∠CDE+∠B＝210°，即可得到结论．
【解答】解：延长ED交BC于F，
∵AB∥DE，
∴∠3＝∠B，
∵∠1＝180°﹣∠CDE，∠3＝∠C+∠1，∠C＝30°，
∴∠CDE+∠B＝210°，
∵∠CDE﹣∠B＝110°，
∴∠CDE＝160°，
故答案为：160．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）a6÷a2﹣2a3•a；
（2）2x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据乘法公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a 4﹣2a 4
＝﹣a 4．
（2）原式＝2x2﹣4xy﹣（x2﹣2xy+y2）
＝2x2﹣4xy﹣x2+2xy﹣y2
＝x2﹣2xy﹣y2．
18．（6分）因式分解：
（1）3ab2+6ab+3a；
（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝3a（b2+2b+1）
＝3a（b+1）2；
（2）原式＝（a﹣b）（a 2﹣4）
＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
19．（7分）先化简，再求值：（m﹣2n）（m+2n）﹣（m﹣2n）2+4n2，其中m＝﹣2，n＝．
【分析】先根据乘法公式算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：原式＝m2﹣4n2﹣（m2﹣4mn+4n2）+4n2
＝m2﹣4n2﹣m2+4mn﹣4n2+4n2
＝﹣4n2+4mn，
把m＝﹣2，n＝ 代入上式，原式＝﹣4×（）2+4×（﹣2）×＝﹣1﹣4＝﹣5．
20．（7分）解二元一次方程组．
（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③
将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5，
将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为．该同学解这个方程组的过程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 一元一次方程 ．
（2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
【分析】（1）通过代入消元法，把含x，y的方程组转化成只含y的一元一次方程；
（2）把①乘以2，使y得系数变成2，而②中y的系数为﹣2，相加即可消去y，求得x的值，把x的值代入①中求得y的值即可得到方程组的解．
【解答】解：（1）原方程组中有两个未知数x，y，把③代入①后，得到一个关于y的一元一次方程．
故答案为：一元一次方程．
（2），
①×2得：6x+2y＝2③，
②+③得：7x＝14，
x＝2，
把x＝2代入①中得：
3×2+y＝1，
6+y＝1，
y＝1﹣6，
y＝﹣5．
∴方程组的解为．
21．（5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EC∥FD，∠F＝∠E，求证：AE∥BF．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．
证明：∵EC∥FD，（已知）
∴∠F＝∠ 1 ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠F＝∠E，（已知）
∴∠ 1 ＝∠E，（ 等量代换 ）
∴AE∥BF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成填空．
【解答】证明：∵EC∥FD，（已知）
∴∠F＝∠1．（同位角相等，两直线平行）
∵∠F＝∠E，（已知）
∴∠1＝∠E，（等量代换）
∴AE∥BF．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：1，同位角相等，两直线平行；1，等量代换；内错角相等，两直线平行．
22．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A、B、A1都在方格纸的格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，点B与点B1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是 平行且相等 ；
（3）四边形ABB1A1的面积是 11 ．
【分析】（1）将点B向右平移3格、再向下平移1格，得到其对应点，再与点A1连接即可；
（2）根据平移的性质可直接得出答案；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求．
（2）由平移的性质知AA1与BB1的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）四边形ABB1A1的面积是4×5﹣2××1×3﹣2××（1+5）×1＝11．
故答案为：11．
23．（6分）同底数幂的乘法公式为：am•an＝ am+n （m、n是正整数）．
请写出这一公式的推导过程．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：am•an＝am+n，
对于任意的底数a，当m、n是正整数时，
am•an＝•
＝
＝am+n．
故答案为：am+n．
24．（6分）观察下列各式：
①32﹣12＝4×2；
②42﹣22＝4×3；
③52﹣32＝4×4；
…
（1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （n+2）2﹣n2＝4（n+1） （用含n的字母表示）；
（2）若式子a2﹣b2＝2020满足以上规律，则a＝ 506 ，b＝ 504 ；
（3）计算：20+24+28+…+100．
【分析】（1）根据观察得出规律，进而解答即可；
（2）通过观察可知，得出含n的方程，解出即可．
（3）解题的关键在于，根据（1）（2）所给算式归结总结出一般规律，结合其规律将原式变形为4x5+4x6+4x7+...+4x25．
【解答】（1）（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；
（2）∵2020＝4x505＝4（n+1），
∴n＝504，
.a＝n+2＝506，
b＝n＝504，
故答案为：506，504．
506，504；
（3）解：原式＝4×5+4×6+4×7+……+4×24+4×25
＝62﹣42+72﹣52+82﹣62+……+252﹣232+262﹣242
＝﹣42﹣52+252+262
＝252﹣52+262﹣42
＝30×20+30×22
＝1260．
25．（8分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．求证：BE∥DF．
【分析】（1）根据平行线的性质即可证明结论；
（2）根据角平分线定义和平行线的性质可得∠EBC＝∠DFC，再根据同位角相等，两直线平行即可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠B＝∠D；
（2）证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠EBC＝∠ABC，∠EDF＝∠ADC，
由（1）知∠ABC＝∠ADC，
∴∠EBC＝∠EDF，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC，
∴∠EBC＝∠DFC，
∴BE∥DF．
26．（11分）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD， 直线MN分别交直线AB，CD于点E，F ．
求证： OE⊥OF ．
证明：
（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；
（2）延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，结合（1）的方法即可证明；
（3）延长EM、FN交CD于点Q，过点O作OP∥CD交ME于点P．结合（1）的方法可得∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，再根据角平分线定义即可求出结果．
【解答】（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F
求证：OE⊥OF；
证法1：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠OEF+∠OFE＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF；
证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P．
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
故答案为：直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE⊥OF；
（2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，
∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
∵EM∥FN，
∴∠CGE＝∠CFN．
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEM+∠CFN＝∠AEM+∠CGE＝90°，
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
（3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G．
∵EM∥PN，FN∥MP，
∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°，
由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO
＝∠AEM+∠CFN＝×102°＝51°．
2020-2021学年江苏省南京市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
3．（2分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（2a+b）（2b﹣a）
C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（2a﹣1）（2a+1）
4．（2分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
5．（2分）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣3，b＝3 D．a＝3，b＝3
6．（2分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算（）0＝ ，2﹣1＝ ．
8．（2分）多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是 ．
9．（2分）新型冠状病毒的直径大约是0.0000007米，将0.0000007用科学记数法表示为 ．
10．（2分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 ．
11．（2分）若2m＝3，2n＝2，则2m﹣2n的值为 ．
12．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为 ．
13．（2分）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
14．（2分）公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝ ．
15．（2分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝ °．
16．（2分）如图，AB∥DE，∠C＝30°，∠CDE﹣∠B＝110°，则∠CDE＝ °．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）a6÷a2﹣2a3•a；
（2）2x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．
18．（6分）因式分解：
（1）3ab2+6ab+3a；
（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）．
19．（7分）先化简，再求值：（m﹣2n）（m+2n）﹣（m﹣2n）2+4n2，其中m＝﹣2，n＝．
20．（7分）解二元一次方程组．
（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③
将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5，
将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为．该同学解这个方程组的过程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ．
（2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
21．（5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EC∥FD，∠F＝∠E，求证：AE∥BF．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．
证明：∵EC∥FD，（已知）
∴∠F＝∠ ．（ ）
∵∠F＝∠E，（已知）
∴∠ ＝∠E，（ ）
∴AE∥BF．（ ）
22．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A、B、A1都在方格纸的格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，点B与点B1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是 ；
（3）四边形ABB1A1的面积是 ．
23．（6分）同底数幂的乘法公式为：am•an＝ （m、n是正整数）．
请写出这一公式的推导过程．
24．（6分）观察下列各式：
①32﹣12＝4×2；
②42﹣22＝4×3；
③52﹣32＝4×4；
…
（1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （用含n的字母表示）；
（2）若式子a2﹣b2＝2020满足以上规律，则a＝ ，b＝ ；
（3）计算：20+24+28+…+100．
25．（8分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．求证：BE∥DF．
26．（11分）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD， ．
求证： ．
证明：
（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意；
B．∠1与∠2是同旁内角，不是同位角，故本选项不符合题意；
C．∠1与∠2是同位角，故本选项符合题意；
D．∠1与∠2不是同位角，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2分）计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6．
故选：D．
3．（2分）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（2a+b）（2b﹣a）
C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（2a﹣1）（2a+1）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：A、（a+b）（b+a）中不存在互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
B、（2a+b）（2b﹣a）中不存在相同的项和互为相反数的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
C、（a+1）（﹣a﹣1）中不存在相同的项，所以不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
D、（2a﹣1）（2a+1）符合平方差公式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AC（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴BD∥AC，故本选项不合题意；
B、根据∠1＝∠2不能推出BD∥AC，故本选项符合题意；
C、∵∠D＝∠DCE，
∴BD∥AC，故本选项不合题意；
D、∵∠D+∠ACD＝180°，
∴BD∥AC，故本选项不合题意；
故选：B．
5．（2分）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣3，b＝3 D．a＝3，b＝3
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
【解答】解：A．∵a＝﹣2，b＝﹣2，
∴|a|＝|b|，a＝b，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
B．∵a＝﹣2，b＝3，
∴|a|≠|b|，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
C．∵a＝﹣3，b＝3，
∴|a|＝|b|，a≠b，∴能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项正确；
D．∵a＝3，b＝3，
∴|a|＝|b|，a＝b，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
故选：C．
6．（2分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
【分析】用a，b的代数式表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可．
【解答】解：由题意可得：阴影部分面积＝（a﹣b）•a+b2＝（a2+b2）﹣ab．
∵a+b＝10，ab＝22，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×22＝56，
∴阴影部分面积＝×56﹣×22＝28﹣11＝17．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算（）0＝ 1 ，2﹣1＝ ．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1，原式＝，
故答案为：1；
8．（2分）多项式3a2b﹣6a3b各项的公因式是 3a2b ．
【分析】根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数，再找同底数的幂：指数最低的；即可确定答案．
【解答】解：∵3a2b﹣6a3b＝3a2b（1﹣2a），
∴公因式为：3a2b．
故答案为：3a2b．
9．（2分）新型冠状病毒的直径大约是0.0000007米，将0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案是：7×10﹣7．
10．（2分）已知是二元一次方程x+ky＝﹣1的一个解，那么k的值是 ﹣1 ．
【分析】把代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把代入方程x+ky＝﹣1，
得2+3k＝﹣1，
解得k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
11．（2分）若2m＝3，2n＝2，则2m﹣2n的值为 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则，将原式变形计算即可．
【解答】解：∵2m＝3，2n＝2，
∴2m﹣2n＝2m÷22n
＝2m÷（2n）2
＝3÷22
＝．
故答案为：．
12．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为 1 ．
【分析】我们尝试两式相加或相减，看是否可以直接求出x+y的值．由两式相加可以得到2x+2y＝2，即2（x+y）＝2，从而直接求出x+y＝1．
【解答】解：
①+②得：2x+2y＝2，
2（x+y）＝2，
x+y＝1．
故答案为：1．
13．（2分）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 两条直线垂直于同一条直线 ，那么 这两条直线互相平行 ．
【分析】把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面．
【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，
故答案为：两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行．
14．（2分）公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝ a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 ．
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再根据多项式乘以多项式法则进行计算即可．
【解答】解：（a﹣b）3
＝（a﹣b）2（a﹣b）
＝（a2﹣2ab+b2）（a﹣b）
＝a3﹣2a2b+ab2﹣a2b+2ab2﹣b3
＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，
故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3．
15．（2分）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝ 56 °．
【分析】根据平行线的性质可得∠EFB＝62°，∠EFC＝118°，根据翻折的性质∠EFC′＝∠EFC＝118°，即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°，
∴∠EFC＝118°，
由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°，
∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°，
故答案为：56．
16．（2分）如图，AB∥DE，∠C＝30°，∠CDE﹣∠B＝110°，则∠CDE＝ 160 °．
【分析】延长ED交BC于F，由平角的定义得到∠1＝180°﹣∠CDE，由平行线的性质得到∠3＝∠B，根据三角形的外角的性质得到∠3＝∠C+∠1，等量代换得∠CDE+∠B＝210°，即可得到结论．
【解答】解：延长ED交BC于F，
∵AB∥DE，
∴∠3＝∠B，
∵∠1＝180°﹣∠CDE，∠3＝∠C+∠1，∠C＝30°，
∴∠CDE+∠B＝210°，
∵∠CDE﹣∠B＝110°，
∴∠CDE＝160°，
故答案为：160．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）a6÷a2﹣2a3•a；
（2）2x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据乘法公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a 4﹣2a 4
＝﹣a 4．
（2）原式＝2x2﹣4xy﹣（x2﹣2xy+y2）
＝2x2﹣4xy﹣x2+2xy﹣y2
＝x2﹣2xy﹣y2．
18．（6分）因式分解：
（1）3ab2+6ab+3a；
（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝3a（b2+2b+1）
＝3a（b+1）2；
（2）原式＝（a﹣b）（a 2﹣4）
＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．
19．（7分）先化简，再求值：（m﹣2n）（m+2n）﹣（m﹣2n）2+4n2，其中m＝﹣2，n＝．
【分析】先根据乘法公式算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：原式＝m2﹣4n2﹣（m2﹣4mn+4n2）+4n2
＝m2﹣4n2﹣m2+4mn﹣4n2+4n2
＝﹣4n2+4mn，
把m＝﹣2，n＝ 代入上式，原式＝﹣4×（）2+4×（﹣2）×＝﹣1﹣4＝﹣5．
20．（7分）解二元一次方程组．
（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③
将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5，
将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为．该同学解这个方程组的过程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 一元一次方程 ．
（2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
【分析】（1）通过代入消元法，把含x，y的方程组转化成只含y的一元一次方程；
（2）把①乘以2，使y得系数变成2，而②中y的系数为﹣2，相加即可消去y，求得x的值，把x的值代入①中求得y的值即可得到方程组的解．
【解答】解：（1）原方程组中有两个未知数x，y，把③代入①后，得到一个关于y的一元一次方程．
故答案为：一元一次方程．
（2），
①×2得：6x+2y＝2③，
②+③得：7x＝14，
x＝2，
把x＝2代入①中得：
3×2+y＝1，
6+y＝1，
y＝1﹣6，
y＝﹣5．
∴方程组的解为．
21．（5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EC∥FD，∠F＝∠E，求证：AE∥BF．将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．
证明：∵EC∥FD，（已知）
∴∠F＝∠ 1 ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠F＝∠E，（已知）
∴∠ 1 ＝∠E，（ 等量代换 ）
∴AE∥BF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成填空．
【解答】证明：∵EC∥FD，（已知）
∴∠F＝∠1．（同位角相等，两直线平行）
∵∠F＝∠E，（已知）
∴∠1＝∠E，（等量代换）
∴AE∥BF．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：1，同位角相等，两直线平行；1，等量代换；内错角相等，两直线平行．
22．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A、B、A1都在方格纸的格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，点B与点B1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是 平行且相等 ；
（3）四边形ABB1A1的面积是 11 ．
【分析】（1）将点B向右平移3格、再向下平移1格，得到其对应点，再与点A1连接即可；
（2）根据平移的性质可直接得出答案；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求．
（2）由平移的性质知AA1与BB1的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）四边形ABB1A1的面积是4×5﹣2××1×3﹣2××（1+5）×1＝11．
故答案为：11．
23．（6分）同底数幂的乘法公式为：am•an＝ am+n （m、n是正整数）．
请写出这一公式的推导过程．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：am•an＝am+n，
对于任意的底数a，当m、n是正整数时，
am•an＝•
＝
＝am+n．
故答案为：am+n．
24．（6分）观察下列各式：
①32﹣12＝4×2；
②42﹣22＝4×3；
③52﹣32＝4×4；
…
（1）探索以上式子的规律，写出第n个等式 （n+2）2﹣n2＝4（n+1） （用含n的字母表示）；
（2）若式子a2﹣b2＝2020满足以上规律，则a＝ 506 ，b＝ 504 ；
（3）计算：20+24+28+…+100．
【分析】（1）根据观察得出规律，进而解答即可；
（2）通过观察可知，得出含n的方程，解出即可．
（3）解题的关键在于，根据（1）（2）所给算式归结总结出一般规律，结合其规律将原式变形为4x5+4x6+4x7+...+4x25．
【解答】（1）（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；
（2）∵2020＝4x505＝4（n+1），
∴n＝504，
.a＝n+2＝506，
b＝n＝504，
故答案为：506，504．
506，504；
（3）解：原式＝4×5+4×6+4×7+……+4×24+4×25
＝62﹣42+72﹣52+82﹣62+……+252﹣232+262﹣242
＝﹣42﹣52+252+262
＝252﹣52+262﹣42
＝30×20+30×22
＝1260．
25．（8分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC．求证：BE∥DF．
【分析】（1）根据平行线的性质即可证明结论；
（2）根据角平分线定义和平行线的性质可得∠EBC＝∠DFC，再根据同位角相等，两直线平行即可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠B＝∠D；
（2）证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠EBC＝∠ABC，∠EDF＝∠ADC，
由（1）知∠ABC＝∠ADC，
∴∠EBC＝∠EDF，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC，
∴∠EBC＝∠DFC，
∴BE∥DF．
26．（11分）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD， 直线MN分别交直线AB，CD于点E，F ．
求证： OE⊥OF ．
证明：
（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；
（2）延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，结合（1）的方法即可证明；
（3）延长EM、FN交CD于点Q，过点O作OP∥CD交ME于点P．结合（1）的方法可得∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，再根据角平分线定义即可求出结果．
【解答】（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F
求证：OE⊥OF；
证法1：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠OEF+∠OFE＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF；
证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P．
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
故答案为：直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE⊥OF；
（2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，
∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
∵EM∥FN，
∴∠CGE＝∠CFN．
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEM+∠CFN＝∠AEM+∠CGE＝90°，
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
（3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G．
∵EM∥PN，FN∥MP，
∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°，
由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO
＝∠AEM+∠CFN＝×102°＝51°．
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