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2021年辽宁省沈阳市铁西区九年级一模数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年辽宁省沈阳市铁西区九年级一模数学试题（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省沈阳市铁西区九年级一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一5的绝对值是（ ）
A．5 B． C． D．－5
2．据报道，我国自1981年开展全民义务植树运动以来，截至目前我国约有1643000万人次参与全民义务植树运动，人工林面积稳居全球第一．数据“1643000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查某城市居民2月份人均网上购物的次数 B．调查全国中学生的平均身高
C．检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量 D．检测某城市的空气质量
5．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，点是上一点，点是上一点，是的平分线，交直线于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球，3个绿球，1个白球，这些球除颜色外其它都相同．从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
10．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：_______．
12．甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选_______去．
甲
乙
丙
丁
平均分/分
86
90
90
85
方差
24
36
42
38
13．如图，在中，点分别是的中点，点是上一点，连接，且，若，则_______．
14．星期天小明步行从家去图书馆，中间要路过超市，小明以米/分钟的速度匀速到达超市，再以米/分钟的速度匀速到达图书馆，图中的折线反映了小明从家步行到图书馆所走的路程（米）与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，的值为_________．
15．如图，半径为6的扇形中，，点为上一点，，垂足分别为点．若，则图中阴影部分的面积为________．
16．如图1，在矩形中，点是边中点，点是对角线上一动点，连接，设关于的全部函数图象如图2所示，其中点是图象上的最低点，则点的纵坐标为_________．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，是正方形的对角线，点在内部，连接，求的度数．
19．在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖，其中甲为小明．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，请用树状图法或列表法求小明被选中进行主题演讲的概率．
20．某校即将举行校园艺术节活动，拟定了四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只能赞成种方案），将调査结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求抽取的学生总人数；
（2）抽取的学生中，赞成活动方案的人数为________人；扇形统计图中赞成活动方案所在扇形的圆心角的度数为_________°；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有学生1800人，估计赞成活动方案的学生共有多少人．
21．甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工___________天．
22．如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延长线上，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）将沿轴向左平移，平移后点的对应点为点，点的对应点为点，点的对称点为点，当点到达点时，停止平移，设平移的距离为．
①当点在直线上时，求的面积；
②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出的值．
24．为等边三角形，于点，点为线段上一点，．以为边作等边三角形，连接为的中点．
（1）如图1，当点和点在直线两侧时，与交于点，连接，
①求证：；
②求线段的长；
（2）将图1中的绕点逆时针旋转，旋转角为，点为线段的中点，连接，
①如图2，当时，请直接写出的值；
②连接，在绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的值．
25．如图，抛物线与轴交于点 ，与轴正半轴交于点，点 在线段 上，连接，过点作交 轴于点 ，点在线段上，且点在点 之间， ．点分别是线段上的动点，当点 从点匀速运动到点 时，点恰好从点匀速运动到点，设，已知 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求线段和的长；
（3）连接，当直线经过的一个顶点时，请直接写出直线与抛物线对称轴交点的纵坐标．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣5到原点的距离是5，所以﹣5的绝对值是5，故选A．
2．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：1643000=1.643×106．
故选：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．C
【分析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】
解：A、调查某城市居民2月份人均网上购物的次数，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查全国中学生的平均身高，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量，适合普查，故本选项符合题意；
D、检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．A
【分析】
运用加减消元法求解即可得到答案．
【详解】
解：，
①+②得：3x=6，
∴x=2，
∴将x=2代入①得：y=-2，
∴方程组的解为
故选：A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
6．B
【分析】
根据平行线的性质可求∠FED，再根据角平分线的性质可求∠GED，再根据平行线的性质可求∠EGF．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠GFE=66°，
∴∠FED=114°，
∵EG是∠FED的平分线，
∴∠GED=57°，
∴∠EGF=57°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
7．A
【分析】
用红色球的个数除以球的总个数即可．
【详解】
解：∵袋子中共有12个除颜色外其它都相同的球，其中红球有8个，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
8．A
【分析】
分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．
【详解】
解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一、二、三象限，反比例函数图象位于二、四象限，
当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
9．C
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-2）2-4k=0，然后解关于k的一次方程即可．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4k=0，
解得k=6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．B
【分析】
抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【详解】
解：∵原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，-2），
∴可设新抛物线的解析式为：，
∴代入得：，
∴所得图象的解析式为：，
则点在平移后的图象上的是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
11．
【分析】
首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：ab2-16a=a（b2-16）=a（b+4）（b-4）．
故答案为：a（b+4）（b-4）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．乙
【分析】
先用平均数筛选第一次，再用方差标准筛选即可．
【详解】
∵平均数最高的是乙，丙，
∴初选乙和丙，
∵乙的方差小于丙的方差，
∴最终选择乙．
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查了平均数，方差，明确平均数，方差的意义是解题的关键．
13．8
【分析】
先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求得DF的长，然后利用三角形中位线定理求解．
【详解】
解：∵点分别是的中点，
∴在Rt△ACF中，
∴
又∵点分别是的中点，
∴
故答案为：8．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角形中位线定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
14．
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，分别解得的值，即可解题．
【详解】
解：由图象可知OA段中，小明8分钟步行了960米，可得（米/分），
在AB段中，小明在分钟内步行了米，可得
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数函数的应用，利用数形结合的思想解等是解题关键．
15．
【分析】
连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝50°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】
解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，DE＝OC，
∵∠DEC＝40°，
∴∠DEO＝90°﹣∠DEC＝90°﹣40°＝50°，
在△DOE和△CEO中，
，
∴△DOE≌△CEO（SSS），
∴∠COB＝∠DEO＝50°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝5π，
∴图中阴影部分的面积＝5π，
故答案为5π．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．
16．
【分析】
根据函数图象求出矩形的各边长后得到∠ACD为30°，作点D关于AC对称点，连接交于点P，连接交AC于点F，作交的延长线于点G，此时PE+PD取最小值，最小值为的长度,对应N的纵坐标．通过构造的直角三角形及勾股定理可求的长度．
【详解】
解：由图象可知PC最大值为8，即点P与点A重合时，AC=8，
此时PE+PD=3PE=6，
∴AE=2，AD=4．
∴∠DCA=30°，∠CAD=60°．
作点D关于AC对称点，连接交AC于点P，连接交AC于点F，作 交的延长线于点G，此时PE+PD取最小值，最小值为的长度．
由对称可知垂直于AC，
∴DF⊥AC，
∴DF=AD•sin∠CAD=，
∴，
∵，
∴DG=•cos30°=6，•sin30°=，
∴EG=DG-DE=4．
∴．
所以的纵坐标为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数图象的应用，矩形的性质，锐角三角函数的应用，解题关键是掌握函数图象内关键点的信息，掌握将军饮马求最值的模型．
17．0
【分析】
先分别化简绝对值，代入特殊角三角函数，化简二次根式，零指数幂，然后再计算．
【详解】
解：
=
=
=．
【点睛】
本题考查特殊角三角函数，零指数幂及二次根式的计算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
18．
【分析】
根据正方形的性质可知，由可得，进而可得答案．
【详解】
解：四边形是正方形，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，掌握正方形的对角线平分对角线是解题的关键．
19．
【分析】
利用画树状图，确定所有的等可能性，确定指定事件的可能性，根据概率公式计算即可．
【详解】
画树状图如下：
一共有12种可能性，其中有甲的有6种等可能性，
∴小明被选中进行主题演讲的概率为=．
【点睛】
本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
20．（1）200人；（2）30，18 ；（3）见解析；（4）1044人
【分析】
（1）根据选择C的人数和所占的百分比，可以求得本次抽取的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中A所占的百分比，可以计算出选择A的人数，再根据选择D的人数，即可计算出扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据（2）中的结果，可知选择A的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出选择赞成B活动方案的学生共有多少人．
【详解】
解：（1）44÷22%＝200（人），
即抽取的学生一共有200人；
（2）抽取的学生中，赞成A活动方案的有200×15%＝30（人），
扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝18°，
故答案为：30，18；
（3）由（2）知，选择A的有30人，
补全的条形统计图如图所示；
（4）1800×＝1044 （人），
估计赞成B活动方案的学生共有1044人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（1）甲工程队每天修路，乙工程队每天修路；（2）32．
【分析】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工（36-0.5m）天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，
∴依题意得：，
解得：，
即：至少安排乙工程队施工32天，
故答案是：32．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接AE，由圆周角定理得∠AEB=90°，再由等腰三角形的性质结合已知条件证出∠ABF=90°，于是得到结论；
（2）先证CF=AF，再由勾股定理得BF=3，然后由三角形面积关系即可求解．
【详解】
解：（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵AB=AC，
∴2∠BAE=∠CAB，
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
即∠ABF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OA=CF=3，
∴AC=AB=2OA=6，AF=AC+CF=9，
∴CF=AF，
∵∠ABF=90°，
∴，
∴△BCF的面积=△ABF的面积=．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
23．（1）点的坐标为；（2）①；②1或
【分析】
（1）解方程，即可求D的坐标；
（2）①先求出O，B，C各点的坐标，然后根据点的平移t设G，F，E三点的坐标，根据点G在直线y＝2x+6上求出G点坐标，利用面积公式可求出△DCG的面积；
②首先计算△EFG的面积，判断当点G在直线y＝2x+6上时，E点的位置，及点F达到点A是，G点的位置．进而判断何时△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2，然后求解．
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣2x+3与直线y＝2x+6交于点D，
由，得
；
∴点D的坐标为（，）；
（2）当x＝0时，y＝2×0+6＝6，y＝﹣2×0+3＝3；
当y＝0时，2x+6＝0，﹣2x+3＝0；解得x＝﹣3，x；
点O（0，0），A（﹣3，0），B（，0），C（0，3）；
由平移的距离为t知，点E（，0），点F（﹣t，0），点G（﹣t，3）；
①当点G在直线y＝2x+6上时，得3＝2×（﹣t）+6，解得t；
∴点G坐标为（，3）；
∴GC；
S△DGC•（yD﹣yc）；
②；
当点G在直线y＝2x+6上时，
FE＝OBFD，
O，E重合，
△GFE完全在四边形AOCD内，
此时S△GFE＝S△COB；即重合部分面积为；
此时，t，
1°当t时，GE与y轴交于M，
此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形GFOM，面积为2．
即S△MOE+S四边形GFOM，
∴S△MOES四边形GFOM；
∵OM∥GF
∴△MOE∽△GFE
∴
∴OE；
即t＝BO﹣OE＝1；
2°当t时，GE与y＝2x+6交于N，GF与y＝2x+6交于N，
此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形QFEN，面积为2
此时；
设直线GE解析式：y＝﹣2x+b；
把E（，0）代入得y＝﹣2x+b，解得b＝3﹣2t；
直线GE解析式：y＝﹣2x+3﹣2t；
解方程得；
；
∴点N坐标为（，）；
把x＝﹣t代入y＝2x+6，得y＝﹣2t+6，
GQ＝3﹣（﹣2t+6）＝2t﹣3，
S△GNQGQ•|yG﹣yN|•（t）
解得t或t（舍去）；
∴t＝1，或t．
【点睛】
本题考查了一次函数的交点问题，已知一次函数求点的坐标及已知解析式及点在直线上求点的坐标，三角形相似等知识，考查了平移的相关知识，及不规则图形的面积问题．
24．（1）①见解析；②；（2）①；②
【分析】
（1）①利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
②求出EC，利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
（2）①如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．解直角三角形求出DM，BE，可得结论．
②如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．求出NT，BT，根据BN≤NT+BT，推出BN≤5，推出BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图4中）如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．解直角三角形求出NQ．AQ可得结论．
【详解】
解：（1）①如图1中，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD=CAB=30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠EAM=∠FAM=30°，
∴ME=MF．
②∵AE=AF，EM=MF，
∴AM⊥EF，
∵AM=AE•cos30°=2×=3，
∵等边三角形中AC=AB=8，
∴CM=AC-AM=5，
∵EM=MF=，
∴CE=，
∵CN=NE，
∴MN=EC=．
（2）①解：如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．
∵α=90°，
∴F，A，B共线，
∵△AEF，△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=8，AF=EF=2，∠F=∠ABC=60°，
∴∠R=60°，
∴△BFR是等边三角形，
∴FB=BR=FR=2+8，
∵AD⊥BC，
∴CD=DB=4，
∴CR=2，DR=2+4，
∵DJ⊥FR，
∴RJ=DR•cos60°=+2，DJ=RJ=3+2，
∵EM=FM=，
∴JM=RF-FM-RJ=6，
∴DM=，
∵EH⊥AF，
∴FH=AH=，EH=AH=3，
∴BE=，
∴．
②解：如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．
∵CN=NE，AT=CT，
∴NT=AE=，
∵△ABC是等边三角形，CT=AT，
∴BT⊥AC，
∴BT=AT=4，
∴BN≤NT+BT，
∴BN≤5，
∴BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图4中）
如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．
∵AD⊥BC，BT⊥AC，
∴AD，BT是△ABC的中线，
∴AR=BR=×4=，RT=，
∵NT=，
∴NR=NT+TR=，
∵∠NRQ=60°，
∴RQ=NR=，NQ=RQ=，
∵AQ=AR-RQ==，
∴tan∠NAD=．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（1）；（2）；；（3）或
【分析】
（1）利用待定系数法，将点的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式，从而得到抛物线的对称轴；
（2）由题意可得，当运动到点时，到达点，此时，即 ，从而可得出；接下来求的长，由图显然 ，利用相似比 ， 、均已知，现需求出与的长，由于 是抛物线与 轴的交点，可令，得出的值，从而得出的坐标，在中，利用勾股定理可得 的长，从而代入相似比即可得出的长；
（3）当直线经过的一个顶点时，显然直线不经过点，需要分别讨论当直线 经过点和点，两种情况；当直线经过点时，即点 和点重合时，可根据 和的关系，求出直线的解析式，再求出与对称轴的交点的纵坐标；当直线经过点 时，可分别用 和表示此时点和点的坐标，求出直线的表达式，并代入点 的坐标即可．
【详解】
解：（1）将，代入可得 ，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为．
（2）在点时，，，
令，代入，即 ．
的坐标为，
在中，，，
由勾股定理可知，
，
，
，
．
（3）当点和点重合时，，点在点处，
，
，即．
，
又，
，．
如图1，过点作轴于点，过点 作轴于点，
由（2）知，，
，，
，
，，
，，
， ，
，，， ，
①当点过点时，，点和点 重合，，，
则直线的表达式为：，
当时，；
②当过点时，如图2，过点作轴于点，过点 作轴于点，
，，
，
， ，
，
， ，
直线的表达式为：；
，
， ，
，
， ，
将点的坐标代入直线的表达式得，，
解得，
直线的表达式为：，
当时，．
综上，当直线经过的一个顶点时，直线与抛物线对称轴交点的纵坐标为 或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，两直线的交点，特殊直角三角形的三边关系等；会用待定系数法求解析式是解题关键．
2021年辽宁省沈阳市铁西区九年级一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一5的绝对值是（ ）
A．5 B． C． D．－5
2．据报道，我国自1981年开展全民义务植树运动以来，截至目前我国约有1643000万人次参与全民义务植树运动，人工林面积稳居全球第一．数据“1643000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查某城市居民2月份人均网上购物的次数 B．调查全国中学生的平均身高
C．检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量 D．检测某城市的空气质量
5．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，点是上一点，点是上一点，是的平分线，交直线于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球，3个绿球，1个白球，这些球除颜色外其它都相同．从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
10．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：_______．
12．甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选_______去．
甲
乙
丙
丁
平均分/分
86
90
90
85
方差
24
36
42
38
13．如图，在中，点分别是的中点，点是上一点，连接，且，若，则_______．
14．星期天小明步行从家去图书馆，中间要路过超市，小明以米/分钟的速度匀速到达超市，再以米/分钟的速度匀速到达图书馆，图中的折线反映了小明从家步行到图书馆所走的路程（米）与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，的值为_________．
15．如图，半径为6的扇形中，，点为上一点，，垂足分别为点．若，则图中阴影部分的面积为________．
16．如图1，在矩形中，点是边中点，点是对角线上一动点，连接，设关于的全部函数图象如图2所示，其中点是图象上的最低点，则点的纵坐标为_________．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，是正方形的对角线，点在内部，连接，求的度数．
19．在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖，其中甲为小明．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，请用树状图法或列表法求小明被选中进行主题演讲的概率．
20．某校即将举行校园艺术节活动，拟定了四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只能赞成种方案），将调査结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求抽取的学生总人数；
（2）抽取的学生中，赞成活动方案的人数为________人；扇形统计图中赞成活动方案所在扇形的圆心角的度数为_________°；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有学生1800人，估计赞成活动方案的学生共有多少人．
21．甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工___________天．
22．如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延长线上，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）将沿轴向左平移，平移后点的对应点为点，点的对应点为点，点的对称点为点，当点到达点时，停止平移，设平移的距离为．
①当点在直线上时，求的面积；
②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出的值．
24．为等边三角形，于点，点为线段上一点，．以为边作等边三角形，连接为的中点．
（1）如图1，当点和点在直线两侧时，与交于点，连接，
①求证：；
②求线段的长；
（2）将图1中的绕点逆时针旋转，旋转角为，点为线段的中点，连接，
①如图2，当时，请直接写出的值；
②连接，在绕点逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的值．
25．如图，抛物线与轴交于点 ，与轴正半轴交于点，点 在线段 上，连接，过点作交 轴于点 ，点在线段上，且点在点 之间， ．点分别是线段上的动点，当点 从点匀速运动到点 时，点恰好从点匀速运动到点，设，已知 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求线段和的长；
（3）连接，当直线经过的一个顶点时，请直接写出直线与抛物线对称轴交点的纵坐标．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣5到原点的距离是5，所以﹣5的绝对值是5，故选A．
2．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：1643000=1.643×106．
故选：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．C
【分析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】
解：A、调查某城市居民2月份人均网上购物的次数，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查全国中学生的平均身高，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量，适合普查，故本选项符合题意；
D、检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．A
【分析】
运用加减消元法求解即可得到答案．
【详解】
解：，
①+②得：3x=6，
∴x=2，
∴将x=2代入①得：y=-2，
∴方程组的解为
故选：A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
6．B
【分析】
根据平行线的性质可求∠FED，再根据角平分线的性质可求∠GED，再根据平行线的性质可求∠EGF．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠GFE=66°，
∴∠FED=114°，
∵EG是∠FED的平分线，
∴∠GED=57°，
∴∠EGF=57°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
7．A
【分析】
用红色球的个数除以球的总个数即可．
【详解】
解：∵袋子中共有12个除颜色外其它都相同的球，其中红球有8个，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
8．A
【分析】
分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．
【详解】
解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一、二、三象限，反比例函数图象位于二、四象限，
当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
9．C
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-2）2-4k=0，然后解关于k的一次方程即可．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4k=0，
解得k=6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10．B
【分析】
抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【详解】
解：∵原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，-2），
∴可设新抛物线的解析式为：，
∴代入得：，
∴所得图象的解析式为：，
则点在平移后的图象上的是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
11．
【分析】
首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：ab2-16a=a（b2-16）=a（b+4）（b-4）．
故答案为：a（b+4）（b-4）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．乙
【分析】
先用平均数筛选第一次，再用方差标准筛选即可．
【详解】
∵平均数最高的是乙，丙，
∴初选乙和丙，
∵乙的方差小于丙的方差，
∴最终选择乙．
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查了平均数，方差，明确平均数，方差的意义是解题的关键．
13．8
【分析】
先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求得DF的长，然后利用三角形中位线定理求解．
【详解】
解：∵点分别是的中点，
∴在Rt△ACF中，
∴
又∵点分别是的中点，
∴
故答案为：8．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角形中位线定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
14．
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，分别解得的值，即可解题．
【详解】
解：由图象可知OA段中，小明8分钟步行了960米，可得（米/分），
在AB段中，小明在分钟内步行了米，可得
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数函数的应用，利用数形结合的思想解等是解题关键．
15．
【分析】
连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝50°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】
解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，DE＝OC，
∵∠DEC＝40°，
∴∠DEO＝90°﹣∠DEC＝90°﹣40°＝50°，
在△DOE和△CEO中，
，
∴△DOE≌△CEO（SSS），
∴∠COB＝∠DEO＝50°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝5π，
∴图中阴影部分的面积＝5π，
故答案为5π．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．
16．
【分析】
根据函数图象求出矩形的各边长后得到∠ACD为30°，作点D关于AC对称点，连接交于点P，连接交AC于点F，作交的延长线于点G，此时PE+PD取最小值，最小值为的长度,对应N的纵坐标．通过构造的直角三角形及勾股定理可求的长度．
【详解】
解：由图象可知PC最大值为8，即点P与点A重合时，AC=8，
此时PE+PD=3PE=6，
∴AE=2，AD=4．
∴∠DCA=30°，∠CAD=60°．
作点D关于AC对称点，连接交AC于点P，连接交AC于点F，作 交的延长线于点G，此时PE+PD取最小值，最小值为的长度．
由对称可知垂直于AC，
∴DF⊥AC，
∴DF=AD•sin∠CAD=，
∴，
∵，
∴DG=•cos30°=6，•sin30°=，
∴EG=DG-DE=4．
∴．
所以的纵坐标为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数图象的应用，矩形的性质，锐角三角函数的应用，解题关键是掌握函数图象内关键点的信息，掌握将军饮马求最值的模型．
17．0
【分析】
先分别化简绝对值，代入特殊角三角函数，化简二次根式，零指数幂，然后再计算．
【详解】
解：
=
=
=．
【点睛】
本题考查特殊角三角函数，零指数幂及二次根式的计算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
18．
【分析】
根据正方形的性质可知，由可得，进而可得答案．
【详解】
解：四边形是正方形，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，掌握正方形的对角线平分对角线是解题的关键．
19．
【分析】
利用画树状图，确定所有的等可能性，确定指定事件的可能性，根据概率公式计算即可．
【详解】
画树状图如下：
一共有12种可能性，其中有甲的有6种等可能性，
∴小明被选中进行主题演讲的概率为=．
【点睛】
本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
20．（1）200人；（2）30，18 ；（3）见解析；（4）1044人
【分析】
（1）根据选择C的人数和所占的百分比，可以求得本次抽取的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中A所占的百分比，可以计算出选择A的人数，再根据选择D的人数，即可计算出扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据（2）中的结果，可知选择A的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出选择赞成B活动方案的学生共有多少人．
【详解】
解：（1）44÷22%＝200（人），
即抽取的学生一共有200人；
（2）抽取的学生中，赞成A活动方案的有200×15%＝30（人），
扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝18°，
故答案为：30，18；
（3）由（2）知，选择A的有30人，
补全的条形统计图如图所示；
（4）1800×＝1044 （人），
估计赞成B活动方案的学生共有1044人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（1）甲工程队每天修路，乙工程队每天修路；（2）32．
【分析】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工（36-0.5m）天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，
∴依题意得：，
解得：，
即：至少安排乙工程队施工32天，
故答案是：32．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接AE，由圆周角定理得∠AEB=90°，再由等腰三角形的性质结合已知条件证出∠ABF=90°，于是得到结论；
（2）先证CF=AF，再由勾股定理得BF=3，然后由三角形面积关系即可求解．
【详解】
解：（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵AB=AC，
∴2∠BAE=∠CAB，
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
即∠ABF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OA=CF=3，
∴AC=AB=2OA=6，AF=AC+CF=9，
∴CF=AF，
∵∠ABF=90°，
∴，
∴△BCF的面积=△ABF的面积=．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
23．（1）点的坐标为；（2）①；②1或
【分析】
（1）解方程，即可求D的坐标；
（2）①先求出O，B，C各点的坐标，然后根据点的平移t设G，F，E三点的坐标，根据点G在直线y＝2x+6上求出G点坐标，利用面积公式可求出△DCG的面积；
②首先计算△EFG的面积，判断当点G在直线y＝2x+6上时，E点的位置，及点F达到点A是，G点的位置．进而判断何时△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2，然后求解．
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣2x+3与直线y＝2x+6交于点D，
由，得
；
∴点D的坐标为（，）；
（2）当x＝0时，y＝2×0+6＝6，y＝﹣2×0+3＝3；
当y＝0时，2x+6＝0，﹣2x+3＝0；解得x＝﹣3，x；
点O（0，0），A（﹣3，0），B（，0），C（0，3）；
由平移的距离为t知，点E（，0），点F（﹣t，0），点G（﹣t，3）；
①当点G在直线y＝2x+6上时，得3＝2×（﹣t）+6，解得t；
∴点G坐标为（，3）；
∴GC；
S△DGC•（yD﹣yc）；
②；
当点G在直线y＝2x+6上时，
FE＝OBFD，
O，E重合，
△GFE完全在四边形AOCD内，
此时S△GFE＝S△COB；即重合部分面积为；
此时，t，
1°当t时，GE与y轴交于M，
此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形GFOM，面积为2．
即S△MOE+S四边形GFOM，
∴S△MOES四边形GFOM；
∵OM∥GF
∴△MOE∽△GFE
∴
∴OE；
即t＝BO﹣OE＝1；
2°当t时，GE与y＝2x+6交于N，GF与y＝2x+6交于N，
此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形QFEN，面积为2
此时；
设直线GE解析式：y＝﹣2x+b；
把E（，0）代入得y＝﹣2x+b，解得b＝3﹣2t；
直线GE解析式：y＝﹣2x+3﹣2t；
解方程得；
；
∴点N坐标为（，）；
把x＝﹣t代入y＝2x+6，得y＝﹣2t+6，
GQ＝3﹣（﹣2t+6）＝2t﹣3，
S△GNQGQ•|yG﹣yN|•（t）
解得t或t（舍去）；
∴t＝1，或t．
【点睛】
本题考查了一次函数的交点问题，已知一次函数求点的坐标及已知解析式及点在直线上求点的坐标，三角形相似等知识，考查了平移的相关知识，及不规则图形的面积问题．
24．（1）①见解析；②；（2）①；②
【分析】
（1）①利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
②求出EC，利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
（2）①如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．解直角三角形求出DM，BE，可得结论．
②如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．求出NT，BT，根据BN≤NT+BT，推出BN≤5，推出BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图4中）如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．解直角三角形求出NQ．AQ可得结论．
【详解】
解：（1）①如图1中，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD=CAB=30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠EAM=∠FAM=30°，
∴ME=MF．
②∵AE=AF，EM=MF，
∴AM⊥EF，
∵AM=AE•cos30°=2×=3，
∵等边三角形中AC=AB=8，
∴CM=AC-AM=5，
∵EM=MF=，
∴CE=，
∵CN=NE，
∴MN=EC=．
（2）①解：如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．
∵α=90°，
∴F，A，B共线，
∵△AEF，△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=8，AF=EF=2，∠F=∠ABC=60°，
∴∠R=60°，
∴△BFR是等边三角形，
∴FB=BR=FR=2+8，
∵AD⊥BC，
∴CD=DB=4，
∴CR=2，DR=2+4，
∵DJ⊥FR，
∴RJ=DR•cos60°=+2，DJ=RJ=3+2，
∵EM=FM=，
∴JM=RF-FM-RJ=6，
∴DM=，
∵EH⊥AF，
∴FH=AH=，EH=AH=3，
∴BE=，
∴．
②解：如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．
∵CN=NE，AT=CT，
∴NT=AE=，
∵△ABC是等边三角形，CT=AT，
∴BT⊥AC，
∴BT=AT=4，
∴BN≤NT+BT，
∴BN≤5，
∴BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图4中）
如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．
∵AD⊥BC，BT⊥AC，
∴AD，BT是△ABC的中线，
∴AR=BR=×4=，RT=，
∵NT=，
∴NR=NT+TR=，
∵∠NRQ=60°，
∴RQ=NR=，NQ=RQ=，
∵AQ=AR-RQ==，
∴tan∠NAD=．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（1）；（2）；；（3）或
【分析】
（1）利用待定系数法，将点的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式，从而得到抛物线的对称轴；
（2）由题意可得，当运动到点时，到达点，此时，即 ，从而可得出；接下来求的长，由图显然 ，利用相似比 ， 、均已知，现需求出与的长，由于 是抛物线与 轴的交点，可令，得出的值，从而得出的坐标，在中，利用勾股定理可得 的长，从而代入相似比即可得出的长；
（3）当直线经过的一个顶点时，显然直线不经过点，需要分别讨论当直线 经过点和点，两种情况；当直线经过点时，即点 和点重合时，可根据 和的关系，求出直线的解析式，再求出与对称轴的交点的纵坐标；当直线经过点 时，可分别用 和表示此时点和点的坐标，求出直线的表达式，并代入点 的坐标即可．
【详解】
解：（1）将，代入可得 ，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为．
（2）在点时，，，
令，代入，即 ．
的坐标为，
在中，，，
由勾股定理可知，
，
，
，
．
（3）当点和点重合时，，点在点处，
，
，即．
，
又，
，．
如图1，过点作轴于点，过点 作轴于点，
由（2）知，，
，，
，
，，
，，
， ，
，，， ，
①当点过点时，，点和点 重合，，，
则直线的表达式为：，
当时，；
②当过点时，如图2，过点作轴于点，过点 作轴于点，
，，
，
， ，
，
， ，
直线的表达式为：；
，
， ，
，
， ，
将点的坐标代入直线的表达式得，，
解得，
直线的表达式为：，
当时，．
综上，当直线经过的一个顶点时，直线与抛物线对称轴交点的纵坐标为 或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，两直线的交点，特殊直角三角形的三边关系等；会用待定系数法求解析式是解题关键．
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