中考复习专题：圆中切线的证明

中考专题：圆中切线的证明

考点速览：

考点1

直线与圆的位置关系

考点2

切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言

∵ OA⊥ l 于A， OA为半径

∴ l 为⊙O的切线

考点3

判断直线是圆的切线的方法：

①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）

考点4

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

    推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

    推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）

经典例题：

例1.如图，△ABC内接于⊙O， AB是 ⊙O的直径，∠CAD＝ ∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

例2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，⊙O的半径为5cm，AB与⊙O相切吗？为什么?

例3.如图,PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，C是⊙O上一点，若∠P＝40。，

求∠C的度数。

例4．如图所示，中，，以AC为直径作⊙O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是⊙O的切线．

例5．如图10，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．

   （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）

（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3分）

（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．（3分）

举一反三

1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB.

试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90。 ，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD= ∠A，

判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

3. 如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E。

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若sin∠BEC=，求DC的长。

4．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，

cos∠BFA＝，求△ACF的面积．

课堂速练

1．   判断

①垂直于半径的直线是圆的切线。………………………………（ ）

②过半径外端的直线是圆的切线。………………………………（ ）

③与圆有公共点的直线是圆的切线。……………………………（ ）

④圆的切线垂直于半径。…………………………………………（ ）

2． 如图，AC切⊙O于点A，∠BAC＝37。，则∠AOB的度数为（   ）

A. 64。   B. 74。   C.  83。  D. 84。

3.  如图，AB与⊙O相切于B，AO的延长线交⊙O于点C，

连接BC，若∠A＝36。．则∠C＝______

4． 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ABC=30。．过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D，则∠CAD＝_______

5．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，∠BAC＝50。，∠ACD=______

6．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O于点D，AD的延长线交BC于E，若∠C=25。．求∠A的度数．

7．如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， ⊙交轴于 两点，交轴于两点，且为弧AE的中点，交轴于点，若点的坐标为（－2，0），

(1)求点的坐标.                          

(2)连结，求证：∥

(3)如图10-2，过点作⊙的切线，交轴于点.动点在⊙的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

专题解析——切线证明

切线的性质定理:  圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１:  经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２:  经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理:  经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径(若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”)

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】　如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

【例5】   如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】　 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．求证：AC是⊙O的切线

【例7】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

【例8】 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线

【例9】 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

【例10】 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

【例11】 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线

【例12】 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.

【例13】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.