新高考数学复习专题54 排列组合以及二项式定理（解析版）

这是一份新高考数学复习专题54 排列组合以及二项式定理（解析版），共13页。试卷主要包含了题型选讲，二项式定理问题等内容，欢迎下载使用。

题型一 、排列组合问题
例1、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ）
A．18B．C．D．
【答案】CD
【解析】根据捆绑法得到共有，
先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有.
.
故选：.
例2、，，，，五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ACD
【解析】A.如果，必须相邻且在的右边，可将捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确.
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故不正确.
C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确.
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种,故正确.
故选：ACD.
例3、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( )
A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种
【答案】ACD
【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品,
则包括一件不合格品和两件合格品,
共有种结果，则选项A正确，B不正确；
根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况,
"有1件不合格品"的抽取方法有种,
"有2不合格次品"的抽取方法有种,
则共有种不同的抽取方法,选项C正确；
"至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，
"三件都是合格品"的抽取方法有种,
抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有，选项D正确；
故选：ACD.
题型二、二项式定理问题
例4、对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．对任意，展开式中有常数项B．存在，展开式中有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项D．存在，展开式中有x的一次项
【答案】BD
【解析】展开式的通项为：，
取，得到，故当是的倍数时，有常数项，故错误正确；
取，取，时成立，故错误正确；
故选：.
例5、对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项B．展开式中的常数项是-240
C．展开式中各项系数之和为1D．展开式中的二项式系数之和为64
【答案】CD
【解析】的展开式共有7项，故A错误；
的通项为，
令，展开式中的常数项为，故B错误；
令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；
的展开式中的二项式系数之和为，故D正确.
故选：.
例6、已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若为偶数，则展开式中和的系数相等
【答案】ACD
【解析】对于A，
令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
，故A正确；
对于B，
，
展开式的通项为，
当展开式是中常数项为：令,得
可得展开式中常数项为：，
当展开式是中常数项为：
令,得(舍去)
故的展开式中常数项为.故B错误；
对于C，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等
，令，可得：
展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；
对于D，
展开式的通项为，
当为偶数，保证展开式中和的系数相等
①和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
②和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
③和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
故D正确；
综上所在，正确的是：ACD
故选：ACD.
例7、对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项；
B．对任意，展开式中没有常数项；
C．对任意，展开式中没有的一次项；
D．存在，展开式中有的一次项.
【答案】AD
【解析】设二项式展开式的通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。
故答案选AD
例8、若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
因为，
令得，故A正确.
令得，故C正确.
故选:AC
二、达标训练
1、名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有( )种.
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选：BC.
2、(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为( )
A．a=2，n=5B．a=1，n=6C．a=－1，n=5D．a=1，n=5
【答案】CD
【解析】
(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)，每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成的每一项，
(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，
即，即，
结合四个选项则a，n的值可能为：a=－1，n=5，或a=1，n=5
故选：CD
3、已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
【答案】BCD
【解析】
由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,
又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,
所以二项式为,
则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；
由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；
由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,
故选: BCD
的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ）
A．B．展开式中含项的系数是-32
C．展开式中含项D．展开式中常数项为40
【答案】AD
【解析】
因为的展开式中各项系数的和为2，令得，，所以，故A正确.
此时，展开式中的通项为或，令或解得，所以含项的系数是32，故B错误.
令或，都无解，故展开式中不含项，故C错误.
令或，解得或 ，所以展开式中常数项为40.
故选：AD
5、关于的说法，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
【答案】ACD
【解析】
对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；
因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；
故选：ACD
6、在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为0
C．常数项为20
D．二项式系数最大的项为第3项
【答案】AB
【详解】
解：A. 所有项的二项式系数和为，故A正确，
B.令得所有项的系数和为，故B正确，
C.常数项为，故C错误，
D.展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D错误.
7、若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
【答案】ACD
【详解】：对于A，令，可得，
即，
即，①
令，得，即，②
由于的展开式中，所以，③
所以①-②-③得：，
而，
所以，解得：，故A正确；
对于B，由于，则，
所以展开式中二项式系数和为，故B错误；
对于C，由于，则的所有项系数为
，故C正确；
对于D，由于，则，
等式两边求导得：，
令，则，故D正确.