新高考数学复习专题55 函数部分（多选题）（解析版）

专题55  函数部分（多选题）

一、题型选讲

题型一 、函数的性质

例1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（    ）

A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称

C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数

【答案】ABC

【解析】因为，所以，即，故A正确；

因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；

又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；

因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.

故选：ABC.

例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（    ）

A．为奇函数

B．在上单调递增

C．恰有4个极大值点

D．有且仅有4个极值点

【答案】BD

【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，

，

当时，，则在上单调递增.

显然，令，得，

分别作出，在区间上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.

故选：BD.

例3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．

B． 在区间上是增函数

C．若方程恰有3个实根，则

D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是

【答案】BCD

【解析】函数的图象如图所示：

对A，，，所以，故A错误；

对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；

对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；

对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则

，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.

故选：BCD.

题型二、定义型函数的研究

例4、若在区间上有恒成立，则称为在区间上的下界，且下界的最大值称为在区间上的下确界，简记为．已知是上的奇函数，且，当时，有．若，，不等式恒成立，下列结论中正确的是（    ）

A．直线是函数图象的一条对称轴

B．若，则的最大值为4

C．当时，

D．若，则是不等式恒成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【解析】因为是上的奇函数，所以，

当时，有，所以时，有，

因为，所以，

所以的周期为16，且，所以关于对称，

图象如图，

对于A， 可知是函数的对称中心，直线不是对称轴，错误；

对于B， 若，，即，正确；

对于C，当时，函数经过，，设解析式为，

所以，解得，，

当时，函数经过，，设解析式为，

所以，解得，，

所以时，，因为周期为16，当时， ，正确；

D. 若，即恒成立，当时，故存在矛盾；当时，也存在矛盾；因此，k在上考虑，此时，所以，即在上的最小值大于等于-3，在上的范围为，所以，解得，

因为，所以是的充分不必要条件，正确.

题型三、利用导数探究函数的零点、单调性以及极值点问题

例5、设函数，且、、，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．存在，使得

C．若，则

D．对任意，总有，使得

【答案】BC

【解析】对于A选项，构造函数，其中，则，

所以，函数在上为减函数，当时，，

因为，则，则，即，

所以，，A选项错误；

对于B选项，当时，，，

所以，函数在上单调递增，当时，，

因为，则，则，即，

所以，，结合A选项可知，，

若，则，所以，，B选项正确；

对于C选项，由B选项可知，函数在上单调递增，

，则，即，则，

所以，，即，C选项正确；

对于D选项，取，，由AB选项可知，，

则，

若存在，则，此时，，D选项错误.

例6、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（    ）

A．2 B． C．0 D．1

【答案】ABC

【解析】∵只有一个零点，
∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，

 
结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.

综合得：或.
故选：ABC.

二、达标训练

1、设函数，且、、，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．存在，使得

C．若，则

D．对任意，总有，使得

【答案】BC

【解析】对于A选项，构造函数，其中，则，

所以，函数在上为减函数，当时，，

因为，则，则，即，

所以，，A选项错误；

对于B选项，当时，，，

所以，函数在上单调递增，当时，，

因为，则，则，即，

所以，，结合A选项可知，，

若，则，所以，，B选项正确；

对于C选项，由B选项可知，函数在上单调递增，

，则，即，则，

所以，，即，C选项正确；

对于D选项，取，，由AB选项可知，，

则，

若存在，则，此时，，D选项错误.

2、已知函数，则下列结论中正确的是（    ）.

A．是函数的一个单调减区间

B．的解集为

C．若，则，或

D．方程必有两个实数根

【答案】BC

【解析】对于A：当时，，是由与复合而成，而与都是减函数，

由复合函数的单调性法则可得在上是增函数，故A错误；

对于B：如图，当时，由 ，，，所以不成立；

当时，，也即 ，解得，所以的解集为，故B成立；

对于C，当时，，即，解得，

当时，，即，解得，故C正确；

对于D，方程的根是函数与交点的个数，

如图，函数与只有一个交点，故方程只有一个实数根，故D错误.

3、北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称

C．对任意，都有 D．函数的最小值为-3

【答案】BCD

【解析】A.因为的周期分别是，其最小公倍数为，所以函数函数的最小正周期为，故错误；

B.因为 ，故正确；

C. ，故正确；

D. ,故正确；

5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（    ）

A．1 B．e C．2e D．3e

【答案】CD

【解析】因为，可得，即为偶函数，

由题意可得时，有两个零点，

当时，，

即时，，

由，可得，

由相切，设切点为，

的导数为，可得切线的斜率为，

可得切线的方程为，

由切线经过点，可得，

解得：或（舍去），即有切线的斜率为，

故，

故选：CD.

6、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】函数,,

∵是函数的极值点，∴，即，
,
,

,即A选项正确,B选项不正确;
,即C正确,D不正确.
故答案为:AC.

7、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】令函数，因为，

，

为奇函数，

当时，，

在上单调递减，

在上单调递减．

存在，

得，，即，

；，

为函数的一个零点；

当时，，

函数在时单调递减，

由选项知，取，

又，要使在时有一个零点，

只需使，解得，

的取值范围为， 故选：．