新高考数学复习专题46 三角函数的图象与性质（多选题）（解析版）

专题46  三角函数的图象与性质（多选题）

一、题型选讲

题型一 、三角函数的基本概念

例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】由题意知，，.

选项A；

选项B，；

选项C，；

选项D，符号不确定.

故选：AB.

变式1、（2020·枣庄市第三中学高三月考）下列函数，最小正周期为的偶函数有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】对于A选项，函数为奇函数，不符合题意.

对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意.

对于C选项，函数的最小正周期为，不符合题意.

对于D选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意.

故选：BD

变式2、定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】：，，
对于A，可能成立，角可能与角“广义互余”，故A符合条件;
对于B，假设角与角“广义互余”，，故B不符合条件;
对于C，，即，又，故，若广义互余即，即C符合条件;
对于D，，即，又，故，若广义互余即，故D不符合条件
故选：

题型二、三角函数的性质的简单运用

例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质(    )

A．在上单调递增,为偶函数 B．最大值为1,图象关于直线对称

C．在上单调递增,为奇函数 D．周期为,图象关于点对称

【答案】ABD

【解析】

则，单调递增，为偶函数， 正确错误；

最大值为，当时，为对称轴，正确；

，取，当时满足，图像关于点对称，正确；

故选：

变式1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】AC

【解析】因为直线是的对称轴,

所以,则,

当时,,则,

对于选项A,,因为,所以为奇函数,故A正确；

对于选项B,,即,当时,在当单调递增,故B错误；

对于选项C,若,则最小为半个周期,即,故C正确；

对于选项D,函数的图象向右平移个单位长度,即,故D错误

故选：AC

变式2、（2020·山东日照·高三月考）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（    ）

A．是偶函数

B．的最小正周期为

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点对称

【答案】AD

【解析】函数的图象向左平移个单位后，

得到函数的图象，

为偶函数，故A正确；

的周期为，排除B；

因为，所以的图象不关于直线对称，排除C；，故D正确

故选：AD.

变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增

B．函数图象关于直线对称

C．函数在区间上单调递减

D．函数图象关于点对称

【答案】ABD

【解析】函数的图像向右平移个单位长度得到.

由于，故是的对称轴，B选项正确.

由于，故是的对称中心，D选项正确.

由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.

故选：ABD.

变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（   ）

A．

B．函数在上为增函数

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．是函数图象的一个对称中心

【答案】BD

【解析】，

，
，故A不正确；

当时， 是函数的单调递增区间，故B正确；

当时，，，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、

当时，，，所以是函数的一个对称中心，故D正确.

故选：BD

题型三、三角函数图像与性质的综合运用

例3、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数的描述正确的是（    ）

A．其图象可由的图象向左平移个单位得到

B．在单调递增

C．在有2个零点

D．在的最小值为

【答案】ACD

【解析】由题：，

由的图象向左平移个单位，

得到，所以选项A正确；

令，得其增区间为

在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；

解，得：，，

所以取，所以选项C正确；

，，

所以选项D正确.

故选：ACD

变式1、已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在[0,]上有2个零点

C．当x=时，函数取得最大值

D．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)

【答案】ABCD

【详解】，则A正确；

当[0，]时，，此时余弦函数只有两个零点，则可知B正确；

因为，所以当时，即x=时，函数取得最大值，则可知C正确；

函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得出的图象，则D正确；.

变式2、已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（    ）

A． B．若，则

C．的最小正周期为4 D．在上的零点个数最少为1010个

【答案】AC

【详解】对A，的区间中点为，

根据正弦曲线的对称性知，故A正确；

对B，若，

则 ，

在上有最大值，无最小值，

，则，

，故B错误；

对C，，

又在上有最大值，无最小值，

，(其中)，

解得：，

，故C正确；

对D，当时，

区间的长度恰好为个周期，

当时，即时，

在开区间上零点个数至多为个零点，故D错误.

变式3、（2020·山东高三开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数

B．

C．当时，在上有4个极值点

D．若在上单调递增，则的最大值为5

【答案】BCD

【解析】

∵

∴，且，

∴，即为奇数，

∴为偶函数，故A错.

由上得：为奇数，∴，故B对.

由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，

∵在上单调，所以,解得：，又∵，

∴的最大值为5，故D对

故选：BCD.

二、达标训练

1、已知函数，则（    ）

A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称

C．在上单调递减 D．的一个零点为

【答案】AD

【详解】根据函数知最小正周期为，正确.

当时，，由余弦函数的对称性知，错误；

函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；

，

，故正确.

2、已知函数的最小正周期为，其图象的一条对称轴为，则（    ）

A．

B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

C．函数在上的值域为

D．函数在区间上单调递减

【答案】BC

【详解】的最小正周期为，，

又为的对称轴，，，

；

对于A，，A错；

对于B，的图象向左平移个承位长度得到，

而，所以，B对；

对于C，，，则函数在上的值域为，C对；

对于D，，在单调递减，在单调递增，在上不是单调的，D错；

3、已知函数的最小正周期为，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象

D．的图象关于对称

【答案】BC

【详解】由已知，，A错；

，，，，又，∴．B正确；

∴，

将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，再将图象向右平移个单位长度，得图象的解析式为，C正确；

大中，令，，D错．

4、已知函数，则（    ）

A．是奇函数 B．是周期函数且最小正周期为

C．的值域是 D．当时

【答案】ABD

【详解】A.，故是奇函数，故A正确；B.因为的最小正周期是，的最小正周期为，二者的“最小公倍数”是，故是的最小正周期，故B正确；

C.分析的最大值，因为，，所以，等号成立的条件是和同时成立，而当即时，，故C错误；

D.展开整理可得，易知当时，，故D正确.

5、已知函数（其中）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，下列结论正确的是（    ）

A．

B．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象

C．当时，有且只有一个零点

D．在上单调递增

【答案】ACD

【详解】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，可得，

因为，则，解得，即，

解得，因为，所以，

即函数的解析式，所以A正确；

对于B中，函数的图象向右平移个单位，得到

的图象，所以B不正确；

对于C中，由，所以，当时，函数，

所以C正确；

对于D中，当时，，根据正弦函数的性质，可得函数在该区间上单调递增，所以D正确.

6、函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．直线是函数图像的一条对称轴

B．函数的图像关于点对称

C．函数的单调递增区间为

D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像

【答案】BC

【详解】由图知：，所以，

因为，，即，。

所以.

又因为，

所以，，.

又因为，所以，所以.

对选项A，，故A错误.

对选项B，令，解得，.

所以函数的对称中心为, ，故B正确.

对选项C，，，

解得，

所以函数的增区间为, ，故C正确.

对选项D，，故D错误.

故选：BC

7、若将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间[0，]上单调递减

C．x=是函数g(x)的对称轴 D．g(x)在[﹣，]上的最小值为﹣

【答案】AD

【详解】函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得，最小正周期为π，A正确；

为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为，故B错；

令，得，故C错；

[﹣，]，，，故 D对

8、已知函数，则下列关于该函数性质说法正确的有（    ）

A．的一个周期是 B．的值域是

C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减

【答案】AD

【详解】A：因为，

所以是函数的周期，故本选项说法正确；

B：因为，，

所以，

故本选项说法不正确；

C：因为，

所以的图象不关于点对称，

故本选项说法不正确；

D：因为，所以函数是单调递减函数，

因此有，而，所以在区间上单调递减，

故本选项说法正确.

9、函数(，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数

C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数

D．，若恒成立，则的最小值为

【答案】ACD

【详解】：对A，由题意知：

，

，

，

，

即，

（），

（），

又，，

，所以A正确 ；

对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

得到的函数，

，，

在上不单调递增，故错误；

对C，把的图像向左平移个单位，

则所得函数为：，是奇函数，故正确；

对D，对，恒成立，

即，恒成立，

令，，

则，

，，

，

，

的最小值为，故D正确.

10、（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（    ）

A． B．

C．上有且仅有4个极大值点 D．上单调递增

【答案】CD

【解析】为图象的一条对称轴，为的一个零点，

，且，，

，，

在上有且仅有7个零点，

，即，

，

，又，所以，

令，解得，

当解得，因为，所以

故上有且仅有4个极大值点，

由得，，

即在上单调递增，

在上单调递增，

综上，错误，正确，

故选：．

11、（2020·山东高三期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为；③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.其中正确的结论的编号是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】BC

【解析】因为，

所以，

令，得，所以不是对称轴①错误，②显然正确，

令，得，取，得，故关于点对称，③正确，

令，得，

取，得，取，得，所以④错误.

所以选项BC正确.

故选：BC

12、（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ）

A．f(x)的图象关于直线对称

B．f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点

C．f(x)在上单调递增

D．ω的取值范围是[)

【答案】CD

【解析】依题意得， ，如图：

对于，令，，得，，所以的图象关于直线对称，故不正确；

对于，根据图象可知，，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，

对于，因为，，所以，解得，所以正确；

对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；

故选：CD.