2021届高考数学二轮复习专题小题专练12计数原理、概率与统计(B)

这是一份2021届高考数学二轮复习专题小题专练12计数原理、概率与统计(B)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

小题专练12
计数原理、概率与统计(B)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:正态分布的应用,★)若随机变量ξ~N(1,σ2),且P(1<ξ<2)=0.4,则P(ξ<0)=( ).
A.0.2 B.0.4 C.0.1 D.0.3
2.(考点:分层抽样的应用,★)据统计,某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5∶2∶3,现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人,若青年旅客抽到60人,则( ).
A.老年旅客抽到150人
B.中年旅客抽到20人
C.n=200
D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200
3.(考点:条件概率的应用,★★)某袋中装有除颜色外完全相同的5个小球,其中有红色小球3个,黄色小球2个,如果不放回地依次摸出2个小球,那么在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是( ).
A.13 B.12 C.14 D.15
4.

(考点:茎叶图、中位数、平均数的应用,★★)2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加,将这12支队伍的积分制成茎叶图,如图所示,则这组数据的中位数和平均数分别为( ).
A.17.5和17 B.17.5和16
C.17和16.5 D.17.5和16.5
5.(考点:古典概型的应用,★★)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图所示的是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由3根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,则这两卦的6根线中恰好有4根阴线的概率为( ).

A.314 B.27 C.928 D.1928
6.(考点:回归直线方程的计算,★★)已知变量x,y的关系可以用模型y=cekx拟合,设z=ln y,其变换后得到一组数据如下表:
x
16
17
18
19
z
50
34
41
31
由上表可得线性回归方程z＾=-4x+a＾,则c=( ).
A.-4 B.e-4 C.109 D.e109
7.(考点:二项式定理的应用,★★)若设(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值为( ).
A.0 B.-1 C.1 D.(2-1)10
8.(考点:独立性检验的应用,★★)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、运动量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ).
成绩
性别
不
及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表1 表2 表3 表4
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
运动量
性别
较大
较小
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52







A.成绩 B.视力 C.智商 D.运动量
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.

(考点:频率分布直方图的应用,★★)某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,将所得数据分为4组:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],整理得频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的学生有60人,则下列说法正确的是( ).
A.样本中支出在[50,60]元的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2000名学生,则一定有600人的支出在[50,60]元
10.(考点:统计图表的应用,★★)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是( ).

A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13
B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C.2月2日至2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D.2月8日至2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率
11.(考点:相互独立事件和数学期望的应用,★★)某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览景点A的概率为23,游览景点B,C,D的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,则下列结论正确的是( ).
A.该游客至多游览一个景点的概率为16
B.P(X=2)=38
C.P(X=4)=124
D.E(X)=136
12.(考点:古典概型的应用,★★★)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:离散型随机变量的性质,★★)设随机变量X的分布列为P(X=k)=m23k,k=1,2,3,则m的值为 . 
14.(考点:相互独立事件的应用,★★)假设在长跑测试中,甲跑出优秀的概率为23,乙跑出优秀的概率为12,丙跑出优秀的概率为14,则甲、乙、丙三人同时参加长跑测试,刚好有两人跑出优秀的概率为 . 
15.(考点:古典概型和排列组合的综合应用,★★)某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科,每名志愿者至少辅导1门学科,每门学科由1名志愿者辅导,则数学学科恰好由甲辅导的概率为 . 
16.(考点:正态分布、二项式定理的应用,★★★)若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则a的值为 ,(x+a)2·ax-1x5展开式中x3的系数是 . 



答案解析：
1.(考点:正态分布的应用,★)若随机变量ξ~N(1,σ2),且P(1<ξ<2)=0.4,则P(ξ<0)=( ).
A.0.2 B.0.4 C.0.1 D.0.3
【解析】随机变量ξ~N(1,σ2),故P(ξ>1)=0.5,
所以P(ξ<0)=P(ξ>2)=P(ξ>1)-P(1<ξ<2)=0.1.
【答案】C
2.(考点:分层抽样的应用,★)据统计,某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5∶2∶3,现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人,若青年旅客抽到60人,则( ).
A.老年旅客抽到150人
B.中年旅客抽到20人
C.n=200
D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200
【解析】由题意得60n=35+2+3,解得n=200.
【答案】C
3.(考点:条件概率的应用,★★)某袋中装有除颜色外完全相同的5个小球,其中有红色小球3个,黄色小球2个,如果不放回地依次摸出2个小球,那么在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率是( ).
A.13 B.12 C.14 D.15
【解析】记事件A为“第一次摸出红球”,事件B为“第二次摸出红球”,
则P(A)=35,P(AB)=A32A52=310,
因此P(B|A)=P(AB)P(A)=12.
【答案】B
4.

(考点:茎叶图、中位数、平均数的应用,★★)2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加,将这12支队伍的积分制成茎叶图,如图所示,则这组数据的中位数和平均数分别为( ).
A.17.5和17 B.17.5和16
C.17和16.5 D.17.5和16.5
【解析】由茎叶图的概念可得这12个数据分别为2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32,
由中位数的概念可得中位数为17.5,
由平均数的概念可得平均数为112×(2+3+5+13+17+17+18+19+21+23+28+32)=16.5.
【答案】D
5.(考点:古典概型的应用,★★)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图所示的是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由3根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,则这两卦的6根线中恰好有4根阴线的概率为( ).

A.314 B.27 C.928 D.1928
【解析】从八卦中任取两卦共有C82=28种情况.
这两卦恰好有4根阴线的情况共有C31×C11+C32=6种.
故所求概率p=628=314.
【答案】A
6.(考点:回归直线方程的计算,★★)已知变量x,y的关系可以用模型y=cekx拟合,设z=ln y,其变换后得到一组数据如下表:
x
16
17
18
19
z
50
34
41
31

由上表可得线性回归方程z＾=-4x+a＾,则c=( ).
A.-4 B.e-4 C.109 D.e109
【解析】由题可得x-=16+17+18+194=17.5,z-=50+34+41+314=39,代入z＾=-4x+a＾得39=-4×17.5+a＾,解得a＾=109,所以z＾=-4x+109.由y=cekx,得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=ln c+kx,令z=ln y,则z=ln c+kx,所以ln c=109,则c=e109.
【答案】D
7.(考点:二项式定理的应用,★★)若设(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值为( ).
A.0 B.-1
C.1 D.(2-1)10
【解析】因为(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
所以令x=1,得(2-1)10=a0+a1+a2+a3+…+a10,
令x=-1,得(2+1)10=a0-a1+a2-a3+…+a10,
所以(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2
=(a0+a1+a2+a3+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)
=(2-1)10·(2+1)10
=(2-1)·(2+1)10=110=1.
【答案】C
8.(考点:独立性检验的应用,★★)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、运动量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ).
表1

成绩
性别
不
及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2

视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52

表3

智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4

运动量
性别
较大
较小
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52

A.成绩 B.视力 C.智商 D.运动量
【解析】表1:K2的观测值k1=52×(6×22-10×14)220×32×16×36,令5220×32×16×36=m,则k1=82m.
同理,表2:K2的观测值k2=m×(4×20-12×16)2=1122m;
表3:K2的观测值k3=m×(8×24-8×12)2=962m;
表4:K2的观测值k4=m×(14×30-6×2)2=4082m,.
∵k4>k2>k3>k1,
∴与性别有关联的可能性最大的变量是运动量,故选D.
【答案】D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.

(考点:频率分布直方图的应用,★★)某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,将所得数据分为4组:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],整理得频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的学生有60人,则下列说法正确的是( ).
A.样本中支出在[50,60]元的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2000名学生,则一定有600人的支出在[50,60]元
【解析】对于A选项,样本中支出在[50,60]元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;
对于B选项,样本中支出不少于40元的人数为0.0360.03×60+60=132,故B正确;
对于C选项,n=600.3=200,故C正确;
对于D选项,若该校有2000名学生,则可能有0.3×2000=600人的支出在[50,60]元,故D错误.
【答案】BC
10.(考点:统计图表的应用,★★)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是( ).

A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13
B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C.2月2日至2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D.2月8日至2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率
【解析】对于A选项,1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安市所占比例为3287>13,故A正确;
对于B选项,由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B正确;
对于C选项,2月2日至2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97例,故C正确;
对于D选项,2月8日至2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D错误.
【答案】ABC
11.(考点:相互独立事件和数学期望的应用,★★)某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览景点A的概率为23,游览景点B,C,D的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,则下列结论正确的是( ).
A.该游客至多游览一个景点的概率为16
B.P(X=2)=38
C.P(X=4)=124
D.E(X)=136
【解析】记“该游客游览i个景点”为事件Ai,i=0,1,
则P(A0)=1-23×1-123=124,P(A1)=23×1-123+1-23×C31×12×1-122=524,
所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)+P(A1)=124+524=14,故A错误;
随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=P(A0)=124,
P(X=1)=P(A1)=524,
P(X=2)=23×C31×12×1-122+1-23×C32×122×1-12=38,故B正确;
P(X=3)=23×C32×122×1-12+1-23×123=724,P(X=4)=23×123=112,故C错误;
数学期望E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+4×112=136,故D正确.
【答案】BD
12.(考点:古典概型的应用,★★★)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】由题意,点P(m,n)的所有可能情况为(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个基本事件,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中的(2,1),共1个基本事件,所以P(A3)=112;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中的(2,2),(3,1),共2个基本事件,所以P(A4)=16;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中的(2,3),(3,2),(4,1),共3个基本事件,所以P(A5)=14;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中的(2,4),(3,3),(4,2),共3个基本事件,所以P(A6)=14;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中的(3,4),(4,3),共2个基本事件,所以P(A7)=16;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中的(4,4),共1个基本事件,所以P(A8)=112.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=14.
【答案】BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:离散型随机变量的性质,★★)设随机变量X的分布列为P(X=k)=m23k,k=1,2,3,则m的值为 . 
【解析】由题意可得,P(X=1)=2m3,P(X=2)=4m9,P(X=3)=8m27,
由离散型随机变量的分布列的性质可知,
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,
即2m3+4m9+8m27=1,解得m=2738.
【答案】2738
14.(考点:相互独立事件的应用,★★)假设在长跑测试中,甲跑出优秀的概率为23,乙跑出优秀的概率为12,丙跑出优秀的概率为14,则甲、乙、丙三人同时参加长跑测试,刚好有两人跑出优秀的概率为 . 
【解析】刚好有两人跑出优秀有三种情况.其一是只有甲、乙两人跑出优秀,概率为23×12×1-14=14;其二是只有甲、丙两人跑出优秀,概率为23×1-12×14=112;其三是只有乙、丙两人跑出优秀,概率为1-23×12×14=124.所以刚好有两人跑出优秀的概率为14+112+124=38.
【答案】38
15.(考点:古典概型和排列组合的综合应用,★★)某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科,每名志愿者至少辅导1门学科,每门学科由1名志愿者辅导,则数学学科恰好由甲辅导的概率为 . 
【解析】由题意可知,共有C42A33=6×6=36种辅导情况,
若甲辅导数学,则有C32A22+C31A22=12种情况,
故数学学科恰好由甲辅导的概率为1236=13.
【答案】13
16.(考点:正态分布、二项式定理的应用,★★★)若随机变量X~N(2,32),且P(X≤1)=P(X≥a),则a的值为 ,(x+a)2·ax-1x5展开式中x3的系数是 . 
【解析】∵随机变量X~N(2,32),均值是2,且P(X≤1)=P(X≥a),∴a=3.
∴(x+a)2ax-1x5=(x+3)23x-1x5=(x2+6x+9)3x-1x5.
又3x-1x5展开式的通项公式为Tr+1=C5r·(3x)5-r·-1xr=(-1)r·35-r·C5r·x5-3r2.令5-3r2=1,解得r=83,不合题意,舍去;令5-3r2=2,解得r=2,对应x2的系数为(-1)2·33·C52=270;令5-3r2=3,解得r=43,不合题意,舍去.∴展开式中x3的系数是6×270=1620.
【答案】3 1620