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2021年河北省石家庄中考数学模拟试卷（一）（4月份） 解析版
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这是一份2021年河北省石家庄中考数学模拟试卷（一）（4月份） 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（一）（4月份）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．（3分）如图，从点C观测建筑物BD的仰角是（ ）
A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE
3．（3分）语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算结果等于a3的是（ ）
A．a6÷a2 B．a4﹣a C．a2+a D．a2⋅a
5．（3分）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠5 D．∠3+∠4＝180°
6．（3分）2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概率为，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣4 B．5×10﹣5 C．5×10﹣6 D．2×10﹣5
7．（3分）如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
8．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OD＝OC B．∠DAB＝90° C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD
9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝90° C．2α+β＝180° D．2α﹣β＝90°
10．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
11．（2分）如图，若x＝，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
12．（2分）已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．
小明的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．
小丽的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，
下列说法正确的是（ ）
A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对
C．两人都对 D．两人都不对
13．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
14．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2分）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分，19题每空2分．）
17．（3分）计算﹣的结果为 ．
18．（3分）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若＞k2x，则x的取值范围是 ．
19．（4分）如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．
（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝ ；
（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．
（1）求AC的长；（用含m的代数式表示）
（2）若AB＝5，求BC的长．
21．（8分）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．
（1）求x+y的值．
（2）若n＝30，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？
（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．
22．（10分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有 名学生，“优秀”所占圆心角的度数为 ．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
23．（8分）已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）当AC＝2时，求BF的长；
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．
24．（10分）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B电盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t（min），水箱A的水位高度为yA（dm），水箱B中的水位高度为yB（dm）根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）
（1）水箱A的容积为 ；
（2）分别写出yA、yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
25．（11分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P、Q分别是AB、BC的中点，点E是折线段PA﹣AD上一点．
（1）点C到直线EQ距离的最大值是 ．
（2）如图②，以EQ为直径，在EQ的右侧作半圆O．
①当半圆O经过点D时，求半圆O被边BC所在直线截得的弧长；（注：tan39°＝，sin53°＝）
②当半圆O与边AD相切时，设切点为M，求tan∠OAM的值；
（3）沿EQ所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为B'，若点B'恰好落在矩形的边AD上，直接写出AE的长．
26．（13分）已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）
（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；
（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为 ，顶点坐标为 ，点B （填“是”或“否”）在l上；
若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）
①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围：
②若1同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．
2021年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（一）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：的值是2．
故选：B．
2．（3分）如图，从点C观测建筑物BD的仰角是（ ）
A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE
【分析】根据俯角的定义即可求解．
【解答】解：从点C观测建筑物BD的仰角是∠DCE，
故选：D．
3．（3分）语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】x的即x，不超过3是小于或等于3的数，按语言叙述列出式子即可．
【解答】解：“x的与x的差不超过3”，用不等式表示为x﹣x≤3．
故选：B．
4．（3分）下列计算结果等于a3的是（ ）
A．a6÷a2 B．a4﹣a C．a2+a D．a2⋅a
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，可得答案．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、不是同底数幂的乘法，故B不符合题意；
C、不是同底数幂的乘法，故C不符合题意；
D、a2•a＝a3，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠5 D．∠3+∠4＝180°
【分析】直接用平行线的判定直接判断．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴a∥b，不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴a∥b，不符合题意；
C、∵∠1与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，
∴∠1＝∠5，不能得到a∥b，
∴符合题意；
D、∵∠3+∠4＝180°，∴a∥b，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概率为，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣4 B．5×10﹣5 C．5×10﹣6 D．2×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示5×10﹣6，
故选：C．
7．（3分）如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变．
故选：D．
8．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OD＝OC B．∠DAB＝90° C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
A、OD＝OC时，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝90° C．2α+β＝180° D．2α﹣β＝90°
【分析】根据圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后垂直的定义可得结果．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠COD＝2∠DBC＝2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+2α＝90°，
故选：B．
10．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
【分析】先根据方差的公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的样本容量为4，中位数为＝3，众数为3，平均数为＝3，
故选：D．
11．（2分）如图，若x＝，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝x﹣1，
当x＝时，
原式＝﹣1≈1.23，
故选：C．
12．（2分）已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．
小明的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．
小丽的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，
下列说法正确的是（ ）
A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对
C．两人都对 D．两人都不对
【分析】因为点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以点O是三边的垂直平分线的交点，由此即可判断．
【解答】解：∵点O到△ABC三个顶点的距离相等，
∴点O是三边的垂直平分线的交点，
∴两人的作法都是错误的，
故选：D．
13．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：D．
14．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得④正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴＝，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝（）2＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；
∴CF＝EC＝CD，故③错误；
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选：B．
16．（2分）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
【分析】求出两个正方形的面积，可得结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴AD＝2，EC＝，
∴AD为边的正方形的面积为4，EC为边的正方形的面积为3，
∴两个阴影部分的面积差a﹣b＝4﹣3＝1，
故选：C．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分，19题每空2分．）
17．（3分）计算﹣的结果为 ．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：﹣＝2﹣＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若＞k2x，则x的取值范围是 0＜x＜2或x＜﹣2 ．
【分析】根据两函数的交点A、B的横坐标和图象得出答案即可．
【解答】解：∵反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．
通过观察图象，当＞k2x时x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣2，
故答案为0＜x＜2或x＜﹣2．
19．（4分）如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．
（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝ 2 ；
（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为 2+ ．
【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，由等腰三角形的性质得出∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，得出∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，由三角形内角和定理和四边形内角和定理得出∠BPC'＝90°，由直角三角形的性质即可得出PD＝BC'＝2；
（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，证明△ADC'是等边三角形，得出AC'＝AD＝2，由等边三角形的性质得出AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，
∴∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，
∵∠B'AB+∠ABB'+∠AB'B＝180°，∠B'AB+∠BAC+∠ABB'+∠AC'C+∠BPC'＝360°，
∴∠BPC'＝90°，
∵D为B'C'中点，
∴PD＝BC'＝2；
故答案为：2；
（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，如图所示：
∵AB'C'＝∠ABC＝30°，
∴∠AC'B＝60°，
∵点D为B'C'中点，
∴AD＝BC'＝DC'，
∴△ADC'是等边三角形，
∴AC'＝AD＝2，
∵DE⊥AC'，
∴AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，
当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+；
故答案为：2+．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．
（1）求AC的长；（用含m的代数式表示）
（2）若AB＝5，求BC的长．
【分析】（1）由两点间的距离公式解答：
（2）根据已知条件求得m的值；代入求值．
【解答】解：（1）根据题意知：AC＝（m+1）﹣（9﹣4m）＝5m﹣8；
（2）根据题意知：AB＝2m﹣1，2m﹣1＝5，
解得m＝3．
所以BC＝3m﹣7＝3×3﹣7＝2，即BC＝2．
21．（8分）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．
（1）求x+y的值．
（2）若n＝30，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？
（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．
【分析】（1）根据任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等列方程为：5+2+3+4＝3+4+x+y，即可得到结论；
（2）根据每4个数为一组，从第五个开始循环，当n＝30时，为7组余2桶，由此计算这些小桶内所放置的小球数之和；
（3）先找出装有“3个球”的小桶序号，再找其中的规律，然后，依据规律表示装有“3个球”的小桶序号．
【解答】解：（1）∵任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等，
∴5+2+3+4＝3+4+x+y，
∴x+y＝7；
（2）∵5+2+3+4＝14，
每4个数一组和为14，
当n＝30时，30÷4＝7…2，
∴当n＝30时，这些小桶内所放置的小球数之和是14×7+5+2＝105；
（3）由图可知：装有“3个球”的小桶序号分别是：3，7，11，…，
∴装有“3个球”的小桶序号n＝4k﹣1（k为正整数）．
22．（10分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有 500 名学生，“优秀”所占圆心角的度数为 108° ．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
【分析】（1）由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由360°乘以“优秀”所占的比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；
（2）求出“一般”的人数，补全条形统计图即可；
（3）由15000乘以“不合格”所占的比例即可；
（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）该校八年级共有学生人数为200÷40%＝500（名）；“优秀”所占圆心角的度数为360°×＝108°；
故答案为：500，108°；
（2）“一般”的人数为500﹣150﹣200﹣50＝100（名），补全条形统计图如图1
（3）15000×＝1500（名），
即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种，
∴必有甲同学参加的概率为＝．
23．（8分）已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）当AC＝2时，求BF的长；
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．
【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，可证明CD＝CE；
（2）由（1）中的全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，可证明∠BFE＝∠BEF，可证明△BEF为等腰三角形；
（3）由外心的位置可知△CDE是钝角三角形，可得0°＜∠CDE＜45°，再利用三角形的内角和可得α的范围．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：
由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
即．
（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部，
∴△CDE是钝角三角形，
∵∠CDE＝∠CED，
∴0°＜∠CDE＜45°，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝∠BED，即∠ADE＝∠AFD，
∴∠ADE＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵△ADC内角和是180°，
∴α+∠ADC+∠CDE+25°＝180°，
即∠CDE＝65°﹣，
∴0°＜65°﹣＜45°，
解得：40°＜α＜130°．
24．（10分）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B电盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t（min），水箱A的水位高度为yA（dm），水箱B中的水位高度为yB（dm）根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）
（1）水箱A的容积为 36dm2 ；
（2）分别写出yA、yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．
（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水箱B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答．
【解答】解：（1）水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．
故答案为：36dm3．
（2）根据题意得：（0≤t≤6）；
（0≤t≤6）；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，，
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
当t＝5时，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．
25．（11分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P、Q分别是AB、BC的中点，点E是折线段PA﹣AD上一点．
（1）点C到直线EQ距离的最大值是 5 ．
（2）如图②，以EQ为直径，在EQ的右侧作半圆O．
①当半圆O经过点D时，求半圆O被边BC所在直线截得的弧长；（注：tan39°＝，sin53°＝）
②当半圆O与边AD相切时，设切点为M，求tan∠OAM的值；
（3）沿EQ所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为B'，若点B'恰好落在矩形的边AD上，直接写出AE的长．
【分析】（1）根据题意可知当CQ⊥EQ时，点C到直线EQ的距离最大，故可求解；
（2）①根据题意作图，求出此时∠DQC，再得到圆心角∠QOC的度数，利用弧长公式即可求解；
②根据题意分情况作图，利用矩形的性质、勾股定理解直角三角形的应用分别求解；
（3）分当点E在AP上时和当点E在AD边上时，利用勾股定理和等腰三角形与矩形的性质可求解．
【解答】解：（1）当CQ⊥EQ时，点C到直线EQ的距离最大，
∵点P、Q分别是AB、BC的中点，
∴此时点C到直线EQ距离为CQ＝BC＝5．
故答案为：5．
（2）①如图，当半圆O经过点D时，点E恰好再点D处，
∵∠DCQ＝90°，
∴点C在半圆O上，连接OC，
在Rt△DCQ中，DC＝4，CQ＝5，
∴，，
∴∠DQC＝39°，
∴∠QDC＝180°﹣2×39°＝102°，
∴CD弧长＝．
②或，
情况一：如图，当点E在线段PA上时，连接OM，延长MO交BC于点N，
∵AD与半圆相切于点M，
∴∠AMN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴MN∥AB，MN＝AB＝4，
∵OE＝OQ，
∴，
在Rt△NOQ中，设OQ＝r，
∵QO2＝ON2+NQ2，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
情况二：如图，当点E在边AD上时，点M与点E重合，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEQB是矩形，
∴AE＝BQ＝5，，
∴．
（3）或3，
情况一：如图当点E在AP上时，AB'＝2，
在Rt△AB'E中，（4﹣AE）2＝22+AE2，
解得．
情况二：如图，当点E在AD边上时，连接BE、BB'，
可得BE＝B'E，∠BEQ＝∠B'EQ，
∵AD∥BC，
∴∠B'EQ＝∠BQE，
∴∠BEQ＝∠BQE，
∴BE＝BQ＝5，
∵AB＝4，
∴AE＝3．
26．（13分）已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）
（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；
（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为 y＝﹣x2+2x+3 ，顶点坐标为 （1，4） ，点B 否 （填“是”或“否”）在l上；
若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）
①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围：
②若1同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）当k＝1时，该抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）；
（2）抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3k的对称轴直线x＝＝1，当k＞0时，x＝3时，y有最大值，y最大值＝9k﹣6k﹣3k＝0，当k＜0时，x＝1时，y有最大值，y最大值＝k﹣2k﹣3k＝﹣4k；
（3）当抛物线经过点C（0，3）时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4），A（﹣4，﹣1），将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣5≠﹣1，点B不在l上；
①设平移后B（﹣2，﹣1﹣2t），A（﹣4，﹣1﹣2t），当抛物线经过点B时，有y＝﹣5，当抛物线经过点A时，有y＝﹣21，l与线段AB总有公共点，则﹣21≤﹣1﹣2t≤﹣5，解得2≤t≤10；
②平移过程中，设C（0，3﹣3t），则抛物线的顶点（1，4﹣3t），于是，解得4≤t＜5．
【解答】解：（1）当k＝1时，该抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，
y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）；
（2）抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3k的对称轴直线x＝＝1，
∵k＜0，
∴x＝1时，y有最大值，y最大值＝k﹣2k﹣3k＝﹣4k；
（3）当抛物线经过点C（0，3）时，
﹣3k＝3，k＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4），
∵A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，
∴B（﹣2，﹣1），
将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣5≠﹣1，
∴点B不在l上，
故答案为y＝﹣x2+2x+3，（1，4），否；
①设平移后B（﹣2，﹣1﹣2t），A（﹣4，﹣1﹣2t），
当抛物线经过点B时，有y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
当抛物线经过点A时，有y＝﹣（﹣4）2+2×（﹣4）+3＝﹣21，
∵l与线段AB总有公共点，
∴﹣21≤﹣1﹣2t≤﹣5，
解得2≤t≤10；
②平移过程中，设C（0，3﹣3t），则抛物线的顶点（1，4﹣3t），
∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，
，
解得4≤t＜5．
2021年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（一）（4月份）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．（3分）如图，从点C观测建筑物BD的仰角是（ ）
A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE
3．（3分）语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算结果等于a3的是（ ）
A．a6÷a2 B．a4﹣a C．a2+a D．a2⋅a
5．（3分）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠5 D．∠3+∠4＝180°
6．（3分）2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概率为，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣4 B．5×10﹣5 C．5×10﹣6 D．2×10﹣5
7．（3分）如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
8．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OD＝OC B．∠DAB＝90° C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD
9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝90° C．2α+β＝180° D．2α﹣β＝90°
10．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
11．（2分）如图，若x＝，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
12．（2分）已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．
小明的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．
小丽的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，
下列说法正确的是（ ）
A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对
C．两人都对 D．两人都不对
13．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
14．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2分）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分，19题每空2分．）
17．（3分）计算﹣的结果为 ．
18．（3分）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若＞k2x，则x的取值范围是 ．
19．（4分）如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．
（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝ ；
（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．
（1）求AC的长；（用含m的代数式表示）
（2）若AB＝5，求BC的长．
21．（8分）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．
（1）求x+y的值．
（2）若n＝30，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？
（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．
22．（10分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有 名学生，“优秀”所占圆心角的度数为 ．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
23．（8分）已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）当AC＝2时，求BF的长；
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．
24．（10分）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B电盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t（min），水箱A的水位高度为yA（dm），水箱B中的水位高度为yB（dm）根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）
（1）水箱A的容积为 ；
（2）分别写出yA、yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
25．（11分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P、Q分别是AB、BC的中点，点E是折线段PA﹣AD上一点．
（1）点C到直线EQ距离的最大值是 ．
（2）如图②，以EQ为直径，在EQ的右侧作半圆O．
①当半圆O经过点D时，求半圆O被边BC所在直线截得的弧长；（注：tan39°＝，sin53°＝）
②当半圆O与边AD相切时，设切点为M，求tan∠OAM的值；
（3）沿EQ所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为B'，若点B'恰好落在矩形的边AD上，直接写出AE的长．
26．（13分）已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）
（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；
（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为 ，顶点坐标为 ，点B （填“是”或“否”）在l上；
若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）
①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围：
②若1同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．
2021年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（一）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：的值是2．
故选：B．
2．（3分）如图，从点C观测建筑物BD的仰角是（ ）
A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE
【分析】根据俯角的定义即可求解．
【解答】解：从点C观测建筑物BD的仰角是∠DCE，
故选：D．
3．（3分）语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】x的即x，不超过3是小于或等于3的数，按语言叙述列出式子即可．
【解答】解：“x的与x的差不超过3”，用不等式表示为x﹣x≤3．
故选：B．
4．（3分）下列计算结果等于a3的是（ ）
A．a6÷a2 B．a4﹣a C．a2+a D．a2⋅a
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，可得答案．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、不是同底数幂的乘法，故B不符合题意；
C、不是同底数幂的乘法，故C不符合题意；
D、a2•a＝a3，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠5 D．∠3+∠4＝180°
【分析】直接用平行线的判定直接判断．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴a∥b，不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴a∥b，不符合题意；
C、∵∠1与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，
∴∠1＝∠5，不能得到a∥b，
∴符合题意；
D、∵∠3+∠4＝180°，∴a∥b，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概率为，用科学记数法表示为（ ）
A．2×10﹣4 B．5×10﹣5 C．5×10﹣6 D．2×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示5×10﹣6，
故选：C．
7．（3分）如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变．
故选：D．
8．（3分）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OD＝OC B．∠DAB＝90° C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
A、OD＝OC时，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝90° C．2α+β＝180° D．2α﹣β＝90°
【分析】根据圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后垂直的定义可得结果．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠COD＝2∠DBC＝2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+2α＝90°，
故选：B．
10．（3分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
【分析】先根据方差的公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的样本容量为4，中位数为＝3，众数为3，平均数为＝3，
故选：D．
11．（2分）如图，若x＝，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝x﹣1，
当x＝时，
原式＝﹣1≈1.23，
故选：C．
12．（2分）已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．
小明的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．
小丽的作法是：
（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，
下列说法正确的是（ ）
A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对
C．两人都对 D．两人都不对
【分析】因为点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以点O是三边的垂直平分线的交点，由此即可判断．
【解答】解：∵点O到△ABC三个顶点的距离相等，
∴点O是三边的垂直平分线的交点，
∴两人的作法都是错误的，
故选：D．
13．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：D．
14．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得④正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴＝，
∵BE＝CE＝BC，
∴＝（）2＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；
∴CF＝EC＝CD，故③错误；
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选：B．
16．（2分）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
【分析】求出两个正方形的面积，可得结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴AD＝2，EC＝，
∴AD为边的正方形的面积为4，EC为边的正方形的面积为3，
∴两个阴影部分的面积差a﹣b＝4﹣3＝1，
故选：C．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分，19题每空2分．）
17．（3分）计算﹣的结果为 ．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：﹣＝2﹣＝．
故答案为：．
18．（3分）如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若＞k2x，则x的取值范围是 0＜x＜2或x＜﹣2 ．
【分析】根据两函数的交点A、B的横坐标和图象得出答案即可．
【解答】解：∵反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．
通过观察图象，当＞k2x时x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣2，
故答案为0＜x＜2或x＜﹣2．
19．（4分）如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．
（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝ 2 ；
（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为 2+ ．
【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，由等腰三角形的性质得出∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，得出∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，由三角形内角和定理和四边形内角和定理得出∠BPC'＝90°，由直角三角形的性质即可得出PD＝BC'＝2；
（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，证明△ADC'是等边三角形，得出AC'＝AD＝2，由等边三角形的性质得出AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，
∴∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，
∵∠B'AB+∠ABB'+∠AB'B＝180°，∠B'AB+∠BAC+∠ABB'+∠AC'C+∠BPC'＝360°，
∴∠BPC'＝90°，
∵D为B'C'中点，
∴PD＝BC'＝2；
故答案为：2；
（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，如图所示：
∵AB'C'＝∠ABC＝30°，
∴∠AC'B＝60°，
∵点D为B'C'中点，
∴AD＝BC'＝DC'，
∴△ADC'是等边三角形，
∴AC'＝AD＝2，
∵DE⊥AC'，
∴AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，
当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+；
故答案为：2+．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．
（1）求AC的长；（用含m的代数式表示）
（2）若AB＝5，求BC的长．
【分析】（1）由两点间的距离公式解答：
（2）根据已知条件求得m的值；代入求值．
【解答】解：（1）根据题意知：AC＝（m+1）﹣（9﹣4m）＝5m﹣8；
（2）根据题意知：AB＝2m﹣1，2m﹣1＝5，
解得m＝3．
所以BC＝3m﹣7＝3×3﹣7＝2，即BC＝2．
21．（8分）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．
（1）求x+y的值．
（2）若n＝30，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？
（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．
【分析】（1）根据任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等列方程为：5+2+3+4＝3+4+x+y，即可得到结论；
（2）根据每4个数为一组，从第五个开始循环，当n＝30时，为7组余2桶，由此计算这些小桶内所放置的小球数之和；
（3）先找出装有“3个球”的小桶序号，再找其中的规律，然后，依据规律表示装有“3个球”的小桶序号．
【解答】解：（1）∵任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等，
∴5+2+3+4＝3+4+x+y，
∴x+y＝7；
（2）∵5+2+3+4＝14，
每4个数一组和为14，
当n＝30时，30÷4＝7…2，
∴当n＝30时，这些小桶内所放置的小球数之和是14×7+5+2＝105；
（3）由图可知：装有“3个球”的小桶序号分别是：3，7，11，…，
∴装有“3个球”的小桶序号n＝4k﹣1（k为正整数）．
22．（10分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有 500 名学生，“优秀”所占圆心角的度数为 108° ．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
【分析】（1）由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由360°乘以“优秀”所占的比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；
（2）求出“一般”的人数，补全条形统计图即可；
（3）由15000乘以“不合格”所占的比例即可；
（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）该校八年级共有学生人数为200÷40%＝500（名）；“优秀”所占圆心角的度数为360°×＝108°；
故答案为：500，108°；
（2）“一般”的人数为500﹣150﹣200﹣50＝100（名），补全条形统计图如图1
（3）15000×＝1500（名），
即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种，
∴必有甲同学参加的概率为＝．
23．（8分）已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）当AC＝2时，求BF的长；
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．
【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，可证明CD＝CE；
（2）由（1）中的全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，可证明∠BFE＝∠BEF，可证明△BEF为等腰三角形；
（3）由外心的位置可知△CDE是钝角三角形，可得0°＜∠CDE＜45°，再利用三角形的内角和可得α的范围．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：
由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
即．
（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部，
∴△CDE是钝角三角形，
∵∠CDE＝∠CED，
∴0°＜∠CDE＜45°，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝∠BED，即∠ADE＝∠AFD，
∴∠ADE＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵△ADC内角和是180°，
∴α+∠ADC+∠CDE+25°＝180°，
即∠CDE＝65°﹣，
∴0°＜65°﹣＜45°，
解得：40°＜α＜130°．
24．（10分）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B电盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t（min），水箱A的水位高度为yA（dm），水箱B中的水位高度为yB（dm）根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）
（1）水箱A的容积为 36dm2 ；
（2）分别写出yA、yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．
（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水箱B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答．
【解答】解：（1）水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．
故答案为：36dm3．
（2）根据题意得：（0≤t≤6）；
（0≤t≤6）；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，，
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
当t＝5时，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．
25．（11分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P、Q分别是AB、BC的中点，点E是折线段PA﹣AD上一点．
（1）点C到直线EQ距离的最大值是 5 ．
（2）如图②，以EQ为直径，在EQ的右侧作半圆O．
①当半圆O经过点D时，求半圆O被边BC所在直线截得的弧长；（注：tan39°＝，sin53°＝）
②当半圆O与边AD相切时，设切点为M，求tan∠OAM的值；
（3）沿EQ所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为B'，若点B'恰好落在矩形的边AD上，直接写出AE的长．
【分析】（1）根据题意可知当CQ⊥EQ时，点C到直线EQ的距离最大，故可求解；
（2）①根据题意作图，求出此时∠DQC，再得到圆心角∠QOC的度数，利用弧长公式即可求解；
②根据题意分情况作图，利用矩形的性质、勾股定理解直角三角形的应用分别求解；
（3）分当点E在AP上时和当点E在AD边上时，利用勾股定理和等腰三角形与矩形的性质可求解．
【解答】解：（1）当CQ⊥EQ时，点C到直线EQ的距离最大，
∵点P、Q分别是AB、BC的中点，
∴此时点C到直线EQ距离为CQ＝BC＝5．
故答案为：5．
（2）①如图，当半圆O经过点D时，点E恰好再点D处，
∵∠DCQ＝90°，
∴点C在半圆O上，连接OC，
在Rt△DCQ中，DC＝4，CQ＝5，
∴，，
∴∠DQC＝39°，
∴∠QDC＝180°﹣2×39°＝102°，
∴CD弧长＝．
②或，
情况一：如图，当点E在线段PA上时，连接OM，延长MO交BC于点N，
∵AD与半圆相切于点M，
∴∠AMN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴MN∥AB，MN＝AB＝4，
∵OE＝OQ，
∴，
在Rt△NOQ中，设OQ＝r，
∵QO2＝ON2+NQ2，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
情况二：如图，当点E在边AD上时，点M与点E重合，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEQB是矩形，
∴AE＝BQ＝5，，
∴．
（3）或3，
情况一：如图当点E在AP上时，AB'＝2，
在Rt△AB'E中，（4﹣AE）2＝22+AE2，
解得．
情况二：如图，当点E在AD边上时，连接BE、BB'，
可得BE＝B'E，∠BEQ＝∠B'EQ，
∵AD∥BC，
∴∠B'EQ＝∠BQE，
∴∠BEQ＝∠BQE，
∴BE＝BQ＝5，
∵AB＝4，
∴AE＝3．
26．（13分）已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）
（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；
（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为 y＝﹣x2+2x+3 ，顶点坐标为 （1，4） ，点B 否 （填“是”或“否”）在l上；
若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）
①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围：
②若1同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）当k＝1时，该抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）；
（2）抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3k的对称轴直线x＝＝1，当k＞0时，x＝3时，y有最大值，y最大值＝9k﹣6k﹣3k＝0，当k＜0时，x＝1时，y有最大值，y最大值＝k﹣2k﹣3k＝﹣4k；
（3）当抛物线经过点C（0，3）时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4），A（﹣4，﹣1），将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣5≠﹣1，点B不在l上；
①设平移后B（﹣2，﹣1﹣2t），A（﹣4，﹣1﹣2t），当抛物线经过点B时，有y＝﹣5，当抛物线经过点A时，有y＝﹣21，l与线段AB总有公共点，则﹣21≤﹣1﹣2t≤﹣5，解得2≤t≤10；
②平移过程中，设C（0，3﹣3t），则抛物线的顶点（1，4﹣3t），于是，解得4≤t＜5．
【解答】解：（1）当k＝1时，该抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，
y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）；
（2）抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3k的对称轴直线x＝＝1，
∵k＜0，
∴x＝1时，y有最大值，y最大值＝k﹣2k﹣3k＝﹣4k；
（3）当抛物线经过点C（0，3）时，
﹣3k＝3，k＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4），
∵A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，
∴B（﹣2，﹣1），
将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣5≠﹣1，
∴点B不在l上，
故答案为y＝﹣x2+2x+3，（1，4），否；
①设平移后B（﹣2，﹣1﹣2t），A（﹣4，﹣1﹣2t），
当抛物线经过点B时，有y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
当抛物线经过点A时，有y＝﹣（﹣4）2+2×（﹣4）+3＝﹣21，
∵l与线段AB总有公共点，
∴﹣21≤﹣1﹣2t≤﹣5，
解得2≤t≤10；
②平移过程中，设C（0，3﹣3t），则抛物线的顶点（1，4﹣3t），
∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，
，
解得4≤t＜5．
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