2021年湖北省武汉市九年级上学期元月调考数学模拟试卷（word版 含答案）

这是一份2021年湖北省武汉市九年级上学期元月调考数学模拟试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．将方程化为一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．，6B．，C．2，6D．2，
2．下面四个图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．两实数根的和为2
C．两实数根的差为D．两实数根的积为﹣4
4．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛掷2次必有1次正面朝上
B．连续抛掷10次不可能都正面朝上
C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次
D．通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
5．如图，为的直径，为的弦，于E，下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相交或相切
7．如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A．B．4C．D．5
8．若m，n为方程的两根，则多项式的值为（ ）
A．B．C．9D．10
9．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．2D．2
10．若方程在范围内有实数根，则t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若是方程的一个根，则的值为__________．
12．把抛物线y=2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______.
13．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________°．
14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是_____．
15．二次函数为常数，中的与的部分对应值如下表：
当时，下列结论中一定正确的是________（填序号即可）
①；②当时，的值随值的增大而增大；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，．
16．如图，为的直径，为上一动点，将绕点逆时针旋转得，若，则的最大值为__．
三、解答题
17．已知关于的方程，当为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．
18．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
19．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
20．如图，在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如、、都是格点．
（1）直接写出的形状；
（2）要求在上图中仅用无刻度的直尺作图：将绕点逆时针旋转得到，旋转角，请你完成作图；
（3）在网格中找一个格点，使得，并直接写出点坐标．
21．如图，是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.
22．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
23．如图，在中，，为边上的点，将绕逆时针旋转得到．
（1）如图1，若．
①求证：；
②直接写出与的数量关系为 ；
（2）如图2，为边上任意一点，线段、、是否满足（1）中②的关系，请给出结论并证明．
24．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且，求N点坐标．
x
－1
0
3
y
n
－3
－3
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
参考答案
1．B
【分析】
先把一元二次方程化为一般形式，再判断各项系数，从而可得答案．
【详解】
解： ，

一次项系数为： 常数项为：
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的各项系数，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．D
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义，准确判断是解题的关键．
3．B
【分析】
根据根与系数的关系和根的判别式进行解答．
【详解】
解：、△，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意．
、设方程的两个跟为，，则，故本选项符合题意．
、设方程的两个为，，
则，
故本选项不符合题意．
、设方程的两个根为，，则，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．
4．D
【分析】
概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的．故选：D．
【点睛】
此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
5．C
【分析】
根据垂径定理解题.
【详解】
为的弦，于E，
，，
故选项A、B、D正确，
无法判断，故选项C错误，
故选：C
【点睛】
本题考查垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
6．D
【分析】
比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.
【详解】
圆的直径是13cm，故半径为6.5cm. 圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.故选D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm.
7．C
【分析】
先根据勾股定理求出AB=5，再根据旋转的性质可得=AC=4，=BC=3，从而求出=2，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：在中，
∵，
∴．
∵将绕点B逆时针旋转得，
∴A’C’=AC=4，BC’=BC=3．
∴AC’=AB-BC’=5-3=2，∠A’C’B=∠C=90°，
∵∠A’C’B+∠A’C’A=180°，
∴∠A’C’A=90°，
∴ =
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
8．D
【分析】
利用根与系数的关系及方程的解的概念求解即可．
【详解】
由韦达定理可知：，则，
又m为方程的根，
则，
将代入得：，
整理得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数得关系及方程的解的定义，灵活运用概念进行求解是解题关键．
9．D
【详解】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
10．D
【分析】
先求出抛物线的坐标（1，-1），再求出x=-1与x=4时的y的值，结合函数图像，利用抛物线与直线y=t在范围内有有公共点确定t的范围即可
【详解】
解：设二次函数和动直线，
，
抛物线的顶点坐标为（1，-1），
当x=-1时，，当x=4时，，
∵方程在范围内有实数根，
∴二次函数和动直线在范围内有有公共点，
∴．
故选择：D．
【点睛】
本题考查抛物线与一元二次方程，把解关于x的一元二次方程转化为二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质和函数值的求法是解题关键．
11．
【分析】
根据方程的解的概念将x=2代入方程x2-c=0，据此可得关于c的方程，解之可得答案．
【详解】
解：根据题意，将x=2代入方程x2-c=0，得：4-c=0，
解得c=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．y＝2（x＋2）2﹣1
【分析】
直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“左加右减”的原则可知,二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2−1，
由“上加下减”的原则可知,将二次函数y＝2x2−1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2(x＋2)2−1，
故答案是：y＝2(x＋2)2−1.
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握规律是解题的关键.
13．140
【分析】
结合圆的内接四边形性质及圆周角定理求解即可．
【详解】
因为四边形内接于，，
则，
由圆周角定理可知：，
故答案为：140．
【点睛】
本题考查了圆的内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握基本定理是解题关键．
14．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的有3种情况，
∴任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法求概率．
15．①②④
【分析】
①根据表格数据得到对称轴为，c＝－3﹤0，又n﹥0知a﹥0，即可得出答案；
②根据二次函数的性质即可解答；
③根据二次函数的性质，结合图象即可解答；
④利用待定系数法求出a、b、c，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】
由表格数据知，二次函数的对称轴为，且c＝－3﹤0，
∵n﹥0，∴a﹥0，
∵对称轴﹥0，
∴b﹤0即 bc﹥0，故①正确；
∵a﹥0，对称轴为，
∴当x﹥时，的值随值的增大而增大，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故②正确；
③由对称轴得：b＝－3a，
∴
∵当x＝－1时，y＝n，
∴n＝a＋3a－3＝4a－3，
∴n﹤4a，故③错误；
④当n＝1时，将(－1，1)，(0，－3)，(3，－3)代入函数解析式中，得：
，
解得，
∴关于x的一元二次方程为，解得，，
故④正确，
故答案是：①②④
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质及应用，结合函数图象，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
16．
【分析】
将绕点顺时针旋转，则与重合，是定点，的最大值即的最大值，根据圆的性质，可知：三点共线时，最大，根据勾股定理可得结论．
【详解】
解：如图，将绕点顺时针旋转，则与重合，是定点，的最大值即的最大值，即三点共线时，最大，过作于点，
由题意得：，
∴，
中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直径是圆中最大的弦，勾股定理，旋转，线段最短原理，灵活运用旋转构造出最大值位置，运用勾股定理准确求解是解题的关键．
17．m=-2；
【分析】
先由两根互为相反数得出两根之和为0，即，据此可得的值，代入方程，求变形方程的根即可．
【详解】
解：∵关于的方程两根相互为相反数，
∴，
解得 ，
∴方程变形为，
解得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系定理，一元二次方程的解法，熟练掌握根与系数关系定理，灵活选择方法求方程的根是解题的关键．
18．见解析
【分析】
根据AB＝CD得到，推出，得到，由此得到结论．
【详解】
证明：∵AB＝CD，
∴，
∴,
即，
∴，
∴CE＝BE．
【点睛】
此题考查同圆中弦、弧的关系，圆周角的性质，等角对等边的判定，正确推导出是解题的关键．
19．（1）；（2）图表见解析，
【分析】
（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．
【详解】
解：（1）从黑2，红3，梅4，方5这4张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中和大于7的有4种，
所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为＝．
【点睛】
本题考查用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法要不重复不遗漏所有可能的结果，概率=所求情况与总情况数之比.
20．（1）直角三角形；（2）见解析；（3）见解析，
【分析】
（1）根据勾股定理分别求得，，，根据勾股定理的逆定理判断；
（2）在点B所在直线的右侧取格点，使得B=5,利用全等证明旋转角满足条件，取格点，使得=CA即可；
（3）过点作D⊥y轴，垂足为D，则D=4，OD=6，将点D向下平移3个单位到点G，此时点G（0，3），连接G即可．
【详解】
解：（1）根据勾股定理,得=，=，=，
∴=+，
∴的形状为直角三角形；
（2）如图所示，在点B所在直线的右侧取格点，使得B=5，连接C，则=，
∴=+，
∴∠BC=90°，
∴A，C，三点共线，
∴△ABC≌△BC，
∴∠ABC=∠BC ，
∴∠BA=2∠ABC，
取格点，使得=CA，
连接B即可．
；
（3）如图，过点作D⊥y轴，垂足为D，则D=4，OD=6，将点D向下平移3个单位到点G，此时点G（0，3），连接G，则G==5，
∴DG=OA=3，D=OB=4，G=AB=5，
∴△OAB≌△D G，
∴∠OBA=∠D G，
∵∠DG+∠D G=90°，
∴∠DG+∠OBA =90°，
∴，
故点G的坐标为（0，3）．
【点睛】
本题考查了网格上计算，勾股定理及其逆定理，三角形的全等，直角三角形的两个锐角互余，旋转，熟练掌握勾股定理及其逆定理，活用三角形的全等是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）AI=2
【分析】
（1）连接IB，只需证明∠IBE=∠BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点,以及圆周角定理的推论即可证明.
（2）由（1）可得△BDE∽△ABE，即：DE=，再由同弦所对的圆周角相等可得：△ADC∽△ABE，即：AB·AC=AD·AE，列出等式求解即可．
【详解】
解：（1）连BI.如图，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CBE，
∴∠BIE=∠ABI+∠BAE，∠IBE=∠CBI+∠CBE，
∴∠IBE=∠BIE，
∴EB＝EI．
（2）设AI=x，由（1）可知：∠BAE=∠CBE，且∠E=∠E.
∴△BDE∽△ABE，

BE2=ED·EA，即： DE=.
又∵∠E=∠C(同弦的圆周角相等)，∠BAE=∠CAE，
∴△ADC∽△ABE，

AB·AC=AD·AE，
,
解得x=2，（负根舍去）
经检验：是原方程的根且符合题意，
AI=2.
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质、三角形的内心、圆周角定理、相似三角形，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）y＝－x＋120；（2）1600元；（3）a=70．
【分析】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法解题；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，利用总利润=单利销售量列函数关系式，化为顶点解析式，根据二次函数的增减性解题即可；
（3）当w最大＝1500时，解得x的值，再由x的取值范围分两种情况讨论①a＜80或②a≥80时，根据二次函数的增减性解题即可．
【详解】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得
，
故y与x的关系式为y＝－x＋120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x－20）y＝（x－20）（－x＋120）＝－（x－70）2＋2500，
∵x－20≥0，－x＋120≥0，x－20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵－1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）
当w最大＝1500时，＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵x－2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．
∴有两种情况，①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
综上所述，a＝70．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）①见解析；②；（2）满足，见解析
【分析】
（1）①证明△BDE≌△BDA，可得结论．
②利用全等三角形的性质,30°所对直角边等于斜边的一半以及勾股定理即可解决问题．
（2）能满足（1）中的结论．将绕点顺时针旋转得到，使与重合，连接，，，设交于点．利用直角三角形30度角的性质以及勾股定理解决问题即可．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）能满足（1）中的结论．
理由：将绕点顺时针旋转得到，使与重合，连接，，，设交于点．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同法可证，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，30°角所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，旋转，三角形的相似，三角形的全等，特殊角的三角函数，灵活运用旋转，证明三角形的相似，用好勾股定理是解题的关键．
24．（1）；（2）m有最大值是3，此时；（3）
【分析】
（1）利用直线经过、两点，先求出点、的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据表达式，设出点坐标 ，，用含 的代数式分别表达出线段、，转化成关于的二次函数，再求的最大值及 点坐标；
（3）根据条件，且，利用三角形的全等去确定满足条件的 、点，再根据函数解析式求它们的坐标．
【详解】
解：（1）当时，；
当时，，；
，，
点，在抛物线上，
，解得： ，
；
（2）如图1，连接，延长交轴于，
轴，
轴，
设，，
，
，且 ，，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值是3，
此时；
（3）过作交于点，过 点作，交的延长线于点，则，
，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
的解析式为：，
，
解得：，，
，
设，
，
，
解得：，
．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，还考查了用二次函数求最值，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，合理运用二次函数的性质是解决本题的关键．