2021年浙江省杭州市中考数学模拟卷

这是一份2021年浙江省杭州市中考数学模拟卷，共14页。试卷主要包含了π2是一个，下列式子中，计算正确的是，某次知识竞赛共有20道题，规定，如图，将直角三角形纸片ABC等内容，欢迎下载使用。

1．π2是一个（ ）
A．整数B．分数
C．无理数D．既是分数又是无理数
2．下列式子中，计算正确的是（ ）
A．-3.6=-0.6B．(-13)2=-13
C．36=±6D．-9=-3
3．二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．5B．4C．6D．7
4．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得﹣3分，不答的题得﹣1分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则（ ）
A．5x﹣3y＝72B．5x+3y＝72C．6x﹣2y＝92D．6x+2y＝92
5．如图，点A、B、C、D四个点都在⊙O上，∠AOD＝80°，AO∥DC，则∠B为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
6．某影院昨天甲，乙两种电影票共售出203张，甲票售出x张，每张35元，乙票每张20元，票房总额y，则（ ）
A．15x﹣y+4060＝0B．x﹣15y+4060＝0
C．15x+y+4060＝0D．x﹣15y﹣4060＝0
7．如图是墙壁上在l1，l2两条平行线间边长为a的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为a，则两条平行线间的距离为（ ）
A．asinαB．asinα+acsα
C．2acsαD．asinα﹣acsα
8．如图，将直角三角形纸片ABC（∠A＝90°，AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上折痕为AD，展开纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF（如图2）．若AC＝6，AB＝8，则折痕EF的长为（ ）
A．2472B．245C．32D．5
9．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+32=0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根
10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（ ）
A．8510B．4510C．32D．7213
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：a2﹣4b2＝ ．
12．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为
13．函数y=x-1x-3的自变量x的取值范围 ．
14．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验的部分结果．
则下列推断：
①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95；
②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，所以此种小麦种子发芽的概率是0.952；
③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951；其中合理的是 ．（填序号）
15．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 ．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，延长BC至E点，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则FG的长是 ．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）已知，反比例函数y=kx（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b，3）．
（1）若b＝4，求y关于x的函数；
（2）若点B（3b，3b）也在该反比例函数图象上，求b的值．
18．（8分）在推进杭州市城乡生活垃圾分类的行动中，某校为了考查该校初中生掌握垃圾分类知识的情况，进行了一次测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩进行整理，绘制了如图所示不完整的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）和扇形统计图．
（1）求样本容量，并补充完整频数直方图．
（2）在抽取的这些学生中，玲玲的测试成绩为85分，你认为85分定是这些学生成绩的中位数吗？请简要说明理由．
（3）若成绩在80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1400名学生中成绩优秀的人数．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC．
（1）求∠B的度数．
（2）求tan∠BAC（结果保留根号）．
20．（10分）设函数y1=kx，y2=-kx（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设CEEB=λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（1r，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
23．（12分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：π2是无理数．
故选：C．
2．【解答】解：A 0.62＝0.36，故A错误；
B(-13)2=169=13，故B错误；
C36=6，故C错误；
D-9=-3，故D正确．
故选：D．
3．【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
当x﹣1＝0，即x＝1时，函数有最大值为5．
故选：A．
4．【解答】解：设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则：
5x﹣3y﹣（20﹣x﹣y）＝72，
整理得：6x﹣2y＝92．
故选：C．
5．【解答】解：连接AD，
∵∠AOD＝80°，OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝50°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝80°，
∴∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝50°，
故选：C．
6．【解答】解：依题意，得：y＝35x+20（203﹣x），
整理，得：15x﹣y+4060＝0．
故选：A．
7．【解答】解：如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE≌△CFB（AAS），
∴BE＝CF，
在Rt△BCF中，BF＝a•sinα，CF＝a•csα，
∴BE＝a•csα，
∴EF＝BE+BF＝asinα+acsα，
即两条平行线间的距离为asinα+acsα，
故选：B．
8．【解答】解：如图，连接DE，DF，
由折叠的性质可得：∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝45°，AE＝DE，AF＝DF，AD⊥EF，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∠FAD＝∠FDA＝45°，
∴∠AED＝∠AFD＝90°＝∠BAC，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵AD⊥EF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴AE＝AF＝DE＝DF，EF=2DE，
∵S△ABC=12AB×AC=12×AB×DE+12AC×DF，
∴6×8＝14DE，
∴DE=247，
∴EF=2472，
故选：A．
9．【解答】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移32个单位得到y′＝ax2+bx+c+32，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+32=-12，
故y′＝ax2+bx+c+32与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+32=0有两个同号不相等的实数根，
故选：D．
10．【解答】解：连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作DN⊥GH于点N，连接EH，过H作HK⊥AD，与AD的延长线交于点K，
∵∠ABC＝∠PEF＝90°，M是PF的中点，
∴BM＝EM，
∴无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，
∴M点在GH上，
当M与N点重合时，DM＝DN的值最小，
设EH＝x，
∵GH是BE的垂直平分线，
∴BH＝EH＝x，
∴∠EHG＝∠BHG，
∵GD∥BH，
∴∠EHG＝∠BHG＝∠G，
∴EG＝EH＝x，
∵∠ABH＝∠BAK＝∠K＝90°，
∴四边形ABHK为矩形，
∴AK＝BH＝x，AB＝KH＝6，
∵AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3，
∴AE＝2，ED＝6，
∴EK＝AK﹣AE＝x﹣2，
∵EH2﹣EK2＝KH2，
∴x2﹣（x﹣2）2＝62，
解得，x＝10，
∴GE＝x＝10，
GD＝EG+DE＝x+6＝10+6＝16，
∵OE∥DN，
∴△GEO∽△GDN，
∴EODN=GEGD=1016=58，
∴DN=85EO，
∵BE=AB2+AE2=36+4=210，
∴EO=12BE=10，
∴DN=8510，
即线段DM长的最小值为8105，
解法二：建立如图坐标系，过点F作FJ⊥AD于J．则D（8，6），E（2，6），设P（0，a），
由△PAE∽△EJF，可得AJ＝18﹣3a，
∴F（20﹣3a，0），
∵PM＝MF，
∴M（10﹣0.5a，0.5a），
∴DM=(10-0.5a-8)2+(0.5a-6)2=52a2-12a+40，
∴当a=--122×52=125时，DM的值最小，此时DM=8105．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
12．【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，
∴4+1+7+x+55=4，
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故答案为：4．
13．【解答】解：根据题意得：x-1≥0x-3≠0
解得x≥1且x≠3，
即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．
14．【解答】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，
此推断正确；
②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，但概率不是0.952，此推断错误；
③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误；
其中合理的是①；
故答案为：①．
15．【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
16．【解答】解：如图，过点C作CP∥BG，交DE于点P．
∵BC＝CE＝2，
∴CP是△BEG的中位线，
∴P为EG的中点．
又∵AD＝CE＝2，AD∥CE，
在△ADF和△ECF中，
∠AFD=∠EFC∠ADC=∠FCEAD=CE，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴CF＝DF，又CP∥FG，
∴FG是△DCP的中位线，
∴G为DP的中点．
∵CD＝CE＝2，
∴DE＝22，
因此DG＝GP＝PE=13DE=223．
连接BD，
易知∠BDC＝∠EDC＝45°，
所以∠BDE＝90°．
又∵BD＝22，
∴BG=BD2+DG2=8+89=453．
∴FG=12CP=14BG=53，
故答案为：53．
三．解答题（共7小题）
17．【解答】解：（1）∵b＝4，
∴A（4，3），
把A（4，3）代入反比例函数y=kx中，得k＝12，
∴y关于x的函数为：y=12x；
（2）把点B（3b，3b）代入y=kx中，得9b2＝k，
∵反比例函数y=kx（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b，3），
∴3b＝k
解得b=13．
18．【解答】解：（1）样本容量是：10÷20%＝50；
70≤a＜80的频数是50﹣4﹣8﹣16﹣10＝12（人），
补全图形如下：
（2）不一定是这些学生成绩的中位数，
理由：将50名学生知识测试成绩从小到大排列，第25、26名的成绩都在分数段80≤a≤90中，他们的平均数不一定是85分，因为25、26的成绩的平均数才是整组数据的中位数．
（3）全校1400名学生中成绩优秀的人数为：1400×16+1050=728（人）．
19．【解答】解：（1）连接AD．
∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵BD＝2AC，
∴AD＝2AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，
∴∠B＝15°．
（2）设AC＝a，则AD＝BD＝2a，CD=3a，BC＝2a+3a，
∴tan∠BAC=BCAC=2a+3aa=2+3．
20．【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为k2=a，①；
当x＝2时，y2最小值为-k2=a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1=km0＜0，
当x＝m0+1时，q＝y1=km0+1＞0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
21．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE=AB2+BE2=5，
∴EF=5，
∴CF＝EF﹣EC=5-1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
∠D=∠GCF∠AGD=∠FGCAG=FG，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴ECGC=GCFC，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴GCFC=12，
∴ECGC=12，
∴EC=12a，BE＝BC﹣EC＝2a-12a=32a，
∴λ=CEEB=12a32a=13．
22．【解答】解：（1）由题意，得到-b2=3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或a＝3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1+br+ar2=0，
即a（1r）2+b•1r+1＝0，
∴1r是方程ax2+bx+1＝0的根，
即函数y2的图象经过点（1r，0）．
（3）由题意a＞0，∴m=4a-b24，n=4a-b24a，
∵m+n＝0，
∴4a-b24+4a-b24a=0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
23．【解答】解：（1）如图1中，
由折叠可知∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．
（2）①设 AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴AEDG=ABDE，
∴xDG=35-x，
∴DG=5x-x23=-13（x-52）2+2512，
∵-13＜0，（0＜x＜5），
∴x=52时，DG有最大值，最大值为2512．
②如图2中，连接DH．
由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝3，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝5，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝5﹣EF＝5﹣AE，
∴CF=BC2-BF2=52-32=4，
∴AE＝EF＝5﹣4＝1，
∴DG=5×1-123=43，
∴EG=DE2+DG2=42+(43)2=4310，
由折叠可知EG垂直平分线段DH，
∴DH＝2×DE⋅DGEG=2×4×434310=4510．
试验种子数n（粒）
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
…
发芽频数m
0
4
45
92
188
476
951
1900
2850
…
发芽频率mn
0
0.8
0.9
0.92
0.94
0.952
0.951
0.95
0.95
…