2021年山东省济南市槐荫区中考数学一模试题（word版 含答案）

这是一份2021年山东省济南市槐荫区中考数学一模试题（word版 含答案），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市槐荫区中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30 成功定点于距离地球36 000公里的地球同步轨道．将36 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
3．下图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（　　　）

A． B．
C． D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．小红连续天的体温数据如下（单位相）：，，，，．关于这组数据下列说法正确的是（ ）
A．中位数是 B．众数是 C．平均数是 D．极差是
7．化简的结果是
A．+1 B． C． D．
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
C．EO＝FO
D．四边形EFGH是平行四边形
10．若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣3，0） D．（3，0）
11．如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（　　）

A．sinα＝ B．cosα＝ C．sinα＝ D．tanα＝
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；
④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
13．分解因式：4a2-4a+1=______．
14．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是_____．

15．如图，直线，，，则的度数是___度．

16．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是图象上两点，若y1＞y2，则x1_____x2．（填“＞”或“＜”）

17．如图，菱形的边长为4，，分别以、为直径作两个半圆，则这个菱形与两个半圆所形成的阴影部分的面积为___．

18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，BE平分∠ABC，点F在线段BE上．BF＝3．过点F作FG⊥DF交BC边于点G，交BD边于点H，则GH＝_____．


三、解答题
19．计算：
20．解不等式组：
21．如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．

22．为庆祝中国共产党成立100周年，让红色基因、革命薪火代代传承，某校开展以学习“四史”（党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了如下统计图表：
主题
频数
频率
党史
6
0.12
新中国史
20

改革开放史

0.18
社会主义发展史


合计
50
1

请结合上述信息完成下列问题：
（1）________，________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“新中国史”主题作品份数对应的圆心角是________度；
（4）若该校共上交书画作品1800份，根据抽样调查结果，请估计以“党史”为主题的作品份数．
23．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是边BC的中点，点O是边AB上的点，以O为圆心，OA为半径的⊙O交AB，BC，AD于点F，E，G，且点E是弧GF的中点，连接OE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE=8，BF=4，求⊙O的半径．

24．某商场1月购进、两款毛衣，用10000元购进的款毛衣的数量是用5000元购进的款毛衣数量的2.5倍，已知每件款毛衣进价比每件款毛衣进价少50元．
（1）每件款毛衣的进价是多少元？
（2）若每件款毛衣售价为300元，要使两款毛衣全部售完后利润率不低于44%（不考虑其他因素），那么款毛衣的售价至少是多少元？
25．已知：如图，双曲线与直线交于、两点，将直线向下平移个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点，点是轴上一动点．
（1）求双曲线和直线的函数表达式；
（2）连接，当点是线段中点时，求的值；
（3）若点是双曲线上任意一点，当是以为斜边的直角三角形，且时，求点的坐标．

26．（1）①如图1，、都是等腰直角三角形，点在线段上，．求证：；
②如图2，当，时，求线段的长；
（2）如图3，，，，，求的长．

27．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点是该抛物线的对称轴（轴上方部分）上的一个动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点的坐标；
（3）如图3，点是该抛物线的顶点，点是一象限内该抛物线上的一个点，分别连接、、，当时，求的值．


参考答案
1．B
【详解】
试题分析：当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，所以﹣3的绝对值是3．故选B．
考点：绝对值．
2．C
【分析】
利用科学记数法表示数的方法求解即可．
【详解】
解：36 000用科学记数法表示为：3.6×104，
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键．
3．C
【分析】
根据简单几何体的主视图的画法，利用“长对正”，从正面看到的图形．
【详解】
解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查简单几何体的三视图的画法，画三视图时要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
4．D
【分析】
根据合并同类项、去括号法则可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、2x与3y不是同类项，所以不能合并，故错误，不符合题意；
B、与-不是同类项，所以不能合并，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查合并同类项及去括号法则，熟练掌握合并同类项、去括号法则是解题的关键．
5．A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
6．B
【分析】
根据众数、中位数的概念求得众数和中位数，根据平均数和方差、极差公式计算平均数和极差即可得出答案．
【详解】
A．将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，
则中位数为36.3，故此选项错误
B．36.2出现了两次，故众数是36.2，故此选项正确；
C．平均数为()，故此选项错误；
D．极差为36.6-36.2=0.4()，故此选项错误，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中位数、众数、平均数和极差，熟练掌握它们的计算方法是解答的关键．
7．D
【详解】
试题分析：．故选D．
8．B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由关于的一元二次方程有实数根，可得：
，解得：；
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
9．D
【分析】
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、相似三角形的性质定理判断即可．
【详解】
解：∵点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴EF、FG、GH、HE分别是△OAB、△OBC、△OCD、△OAD的中位线，
∴EH＝AD＝2，HG＝CD＝1，EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD，
∴EH≠HG，A选项错误，不符合题意；
∵EF∥AB，EF＝AB，
∴△EFO∽△ABO，且相似比为
∴△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，B选项错误，不符合题意；
∵∠ABC不一定为90°，
∴AC与BD不一定相等，
∴EO＝FO不一定成立，C选项错误，不符合题意；
∵EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD，AB∥CD，
∴四边形EFGH是平行四边形，D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．
10．D
【分析】
根据对称的性质得出点（0，3）关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．
【详解】
解：设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l1经过点（0，3），l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，点（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3）在直线l2上，
把（0，﹣3）和（5，2）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
故直线l2的解析式为：y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝3，
即l1与l2的交点坐标为（3，0）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
11．A
【分析】
作CF⊥AB于点F，利用杆长和影长求得CF的长，然后利用三角函数求得结论．
【详解】
解：作CF⊥AB于点F，

由题意得：，
∵AD＝1米，AC＝4.5米，
∴，
解得：CF＝2.7米，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，实际问题中构造直角三角形是解题的关键．
12．B
【分析】
由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由得出x1，x2关于对称轴x＝2对称，则可对④进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＞0，所以①不正确；
②∵顶点M（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，所以②不正确；
③∵抛物线的顶点M的坐标为（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
又∵4a+b＝0，
∴b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，
∵关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4a（c﹣t）＞0，即c2﹣c（c﹣t）＞0，
得ct＞0，
∵c＞0，
∴t＞0，所以③正确；
④∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
则，
∵当x＝x1与x＝x2时，y值相同，
∴x1，x2关于对称轴x＝2对称，
则，即x1+x2＝4，所以④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图像与系数的关系以及图象的性质，熟练掌握二次函数图象与各式子之间的关系，灵活对所求式子进行变形处理是解题关键．
13．
【分析】
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【详解】
解：．
故答案为．
【点睛】
本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
14．
【分析】
直接利用概率公式求解．
【详解】
解：蚂蚁获得食物的概率＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．90
【分析】
如图，根据题意易得，进而根据三角形内角和可进行求解．
【详解】
解：如图，

∵，，
∴，
∵，，
∴；
故答案为90．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键．
16．＜
【分析】
先根据一次函数的图像判断出此函数的增减性，再根y1>y2即可得出x1与x2的大小关系.
【详解】
解：由图像可知函数中y随x的增大而减小，
∵y1＞y2，
∴x1＜x2．
故答案为＜．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象和性质是解答此题的关键.
17．
【分析】
连接AC，取CD的中点O，则半圆O与AC、AD交于E、F两点，连接OE、OF，由题意易得AD=CD=4，进而可得△ACD是等边三角形，△COE、△FOD都为等边三角形，然后可得，，最后问题可求解．
【详解】
解：连接AC，取CD的中点O，则半圆O与AC、AD交于E、F两点，连接OE、OF，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，边长为4，
∴AD=CD=4，AC⊥BD
∵，
∴△ACD是等边三角形，
∴，
∵OE=OF=OD=OC=2，
∴△COE、△FOD都为等边三角形，
∴，
∴根据等边三角形面积公式可得：，
∴，
由菱形的对称性可得：
；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题的关键．
18．
【分析】
作辅助线，构建相似三角形和全等三角形，先根据△BFM是等腰直角三角形求BM和FM的长，证明△DNF≌△FMG，得DN=FM=3，NF=MG=1；再利用AD∥BC和平行线分线段成比例定理依次列比例式，求QN和QF的长，设GH=x，列方程可求得GH的长．
【详解】
解：如图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，

∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=6，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴△MBF、△ABE、△EFN是等腰直角三角形，
∵BF=3，BE=4，
∴EF=BE-BF=，
∴EN=NF=1，
∴DE=2，DN=3，
∴AN=BM=FM=DN=3，
∵∠DFG=∠DNF=90°，
∴∠FDN=∠GFM，
在△FDN和△GFM中，
，
∴△FDN≌△GFM（ASA），
∴NF=MG=1，
由勾股定理得：FG=FD=，
∵QN∥BC，
∴，
∴，
∴FQ=，QN=，
设GH=x，则FH=，
∵QD∥BG，
∴，
∴．
解得，
经检验，是原方程的解，
即GH=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形、平行线分线段成比例定理，此题应用得知识点较多，恰当地作辅助线是本题的关键，根据构建的平行线列比例式求线段的长，本题还利用了勾股定理求线段的长，从而使问题得以解决．
19．
【分析】
根据特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
本题主要考查特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
20．2 【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式5x−1>3(x+1)，得：x>2，
解不等式 x−1⩽7−x，得：x⩽4，
则不等式组的解集为2 【点睛】
此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.
21．见解析
【分析】
先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
,
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
22．（1）0.40，0.30；（2）见详解；（3）144；（4）以“党史”为主题的作品份数为216份．
【分析】
（1）根据题意及统计图可得，进而问题可求解；
（2）根据题意可得“改革开放”为主题的份数为0.18×50=9份，进而直接进行作图；
（3）由统计图可得“新中国史”主题作品份数所占百分比，然后再进行求解即可；
（4）由题意可直接进行求解
【详解】
解：（1）由题意及统计图可得：
，，
故答案为0.40，0.30；
（2）由（1）及统计图可得：“改革开放”为主题的份数为0.18×50=9份，“社会主义发展史”为主题的份数为0.30×50=15（分），则频数分布直方图如图所示：

（3）由（1）可得：
；
故答案为144；
（4）由题意可得：
1800×0.12=216（份）；
答：以“党史”为主题的作品份数为216份．
【点睛】
本题主要考查频数分布直方图及扇形统计图，熟练掌握频数分布直方图及扇形统计图是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）连接GF交OE于点M，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，由圆周角定理及垂径定理得出∠DGM=∠GME=90°，得出四边形GMED是矩形，则可得出答案；
（2）设OE=OF=x，则OB=x+4，由勾股定理可求出答案．
【详解】
（1）证明：连接GF交OE于点M，

∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
又∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠AGF=∠DGF=90°，
∵点E是弧GF的中点，
∴GF⊥OE，
∴四边形GMED是矩形，
∴∠MED=90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设OE=OF=x，则OB=x+4，
∵∠OEB=90°，
∴OE2+BE2=OB2，
∴x2+82=(x+4)2，
解得x=6，
∴⊙O的半径为6．
【点睛】
本题考查了切线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
24．（1）每件A款毛衣的进价为200元；（2）B款毛衣的售价至少为330元
【分析】
（1）设每件A款毛衣的进价为x元，则B款毛衣的进价为（x+50）元，然后根据题意可列方程求解；
（2）设B款毛衣的售价为y元，然后根据题意可得，进而求解即可．
【详解】
解：（1）设每件A款毛衣的进价为x元，则B款毛衣的进价为（x+50）元，由题意得：
，
解得：，
经检验是方程的解，
答：每件A款毛衣的进价为200元．
（2）设B款毛衣的售价为y元，由（1）及题意得：
每件B款毛衣的进价为200+50=250（元），
A款毛衣的购进数量为10000÷200=50（件），B款毛衣的购进数量为5000÷250=20（件），
∴，
解得：；
答：B款毛衣的售价至少为330元．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式的应用及分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系与不等关系是解题的关键．
25．（1）双曲线的表达式为，直线AB的解析式为；（2）；（3）点的坐标为或．
【分析】
（1）利用待定系数法将分别代入求解即可；
（2）点D在x轴上，设点D（m，0），过点A作AM⊥x轴交x轴于点M，过C作CN⊥x轴交x轴于点N，借助△AMD∽△CND，可表示C点坐标，代入反比例函数解析式求解，再利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）分点E再第一象限和第三象限的函数图象上两种情况讨论，借助相似表示点E坐标，代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】
解：（1）双曲线与直线交于、两点，
∴，解得，
，解得，
∴双曲线的表达式为，直线AB的解析式为；
（2）将直线AB向下平移n个单位，得直线，
点D在x轴上，设点D（m，0），

点D在x轴上，设点D（m，0），
直线与双曲线交于点C，
过点A作AM⊥x轴交x轴于点M，过C作CN⊥x轴交x轴于点N，
∴AM//CN，
∴△AMD∽△CND，
∵C为AD的中点，
∴，
即N为MD的中点，，
∴， ，
将代入得，，
解得，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
即，
将代入得，
解得；
（3）当点E在第一象限时，如下图，
过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，过点E作EP⊥x轴交x轴于点P，

∵，
∴，AH=3，
∵是以为斜边的直角三角形，且，
∴，∠ADH+∠EDP=90°，
∵AH⊥x轴，EP⊥x轴，
∴∠ADH+∠HAD=90°，∠AHD=∠EPD=90°，
∴∠EDP=∠HAD，
∴△AHD∽△DPE，
∴，
设点D(m，0)，则，
∴，
∴
∴，解得或（舍去），
∴，
当点E在第三象限时，如下图，
同理可证△AHD∽△DPE，
∴，

设点D(m，0)，则，
∴，
∴ ，
∴，解得（舍去）或，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】
本题考查反比例函数综合，反比例函数与一次函数综合．涉及的知识点有相似三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等．能正确构造相似三角形，借助相似表示点的坐标是解题关键．
26．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用角的和差和同角的余角相等证明∠BCE=∠ACF，再根据SAS即可证明全等；
（2）过E作AC垂线，垂足为K，借助等腰直角三角形的性质和（1）中的全等求出相应线段的长度，再根据△CFG∽△CAF可求；
（3）如下图，分别过点C和点A作AC和AD的垂线，交于M，通过依次证明△CAM∽△CBD和△ACB∽△MCD，借助含30°角的直角三角形和勾股定理求得相应线段的长度或者比值，即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵、都是等腰直角三角形，．
∴BC=AC,CE=CF，
∵∠BCE+∠ECA=90°，∠ECA+∠ACF=90°，
∴∠BCE=∠ACF，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴AC=BC=4，
由（1）知，△ACF≌△BCE，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴∠CAF=∠CBE=45°，
过E作AC垂线，垂足为K，

∴∠EAK=45°，
∴△EAK为等腰直角三角形，
∴，
∴KC=AC-AK=3，
∴，
又∵∠FCG=∠ACF，∠CFG=∠CAF=45°，
∴△CFG∽△CAF，
∴，
∴；
（3）如下图，分别过点C和点A作AC和AD的垂线，交于M，

∴∠ACM=∠MAD=90°，
∵∠CAD=30°，
∴∠MAC=60°，
又∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴∠CBD=60°，
∵∠ACM=∠ACM=90°，∠CBD=∠MAC=60°，
∴△CAM∽△CBD，
∴，
又∵∠ACB=∠ACM+∠BCM，∠MCD=∠BCD+∠BCM，
∴∠ACB=∠MCD，
∵，
∴△ACB∽△MCD，
∴，
∵∠AMC=30°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）把点A、C的坐标代入抛物线进行求解即可；
（2）如图，由（1）可得抛物线的对称轴为，则有AB=4，AE=2，由翻折的性质可得，进而可得，设点，然后根据三角函数值可进行求解；
（3）连接CD，由（1）可得，根据两点距离公式可得AD、CD、AC的长，然后可得△ACD是直角三角形，进而可得，当时，则可作∠PAB的角平分线，交过点F作x轴的垂线PH于点G，过点G作GM⊥AP于点M，则可得GH=GM，最后根据三角函数及勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）把点、代入抛物线得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，

由（1）可得抛物线的解析式为，，则对称轴为直线，
∴当y=0时，则，解得：，
∴，
∴AB=4，AE=2，，
由翻折的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点，
∴EF=a，
∴，
∴；
（2）连接CD，如图所示：

由（1）可得：抛物线的解析式为，则对称轴为直线，
∴，
∵点、，
∴，
∴，
∴△ACD是直角三角形，
∴，
当时，则可作∠PAB的角平分线，交过点F作x轴的垂线PH于点G，过点G作GM⊥AP于点M，如图所示：

∴，GH=GM，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，∠APH=∠APH，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在Rt△PMG中，，
∴，整理得：，①
∵点P在抛物线上，
∴，②
联立①②式可得：，
解得：，
∵点是一象限内该抛物线上的一个点，
∴．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．