宁夏中卫市2021届高三下学期第二次优秀生联考（5月）数学（理）试题+答案

这是一份宁夏中卫市2021届高三下学期第二次优秀生联考（5月）数学（理）试题+答案，共11页。试卷主要包含了23题为选考题，其他题为必考题，保持卡面清洁，不折叠，不破损等内容，欢迎下载使用。

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅱ卷第22、23题为选考题，其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）
1.已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，
则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.设复数（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（ ）
A.8 B. 12 C. 16 D. 20
4.已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），
则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，
，°，则此直三棱柱的高是（ ）
A． B． C． D.
9.设抛物线（）的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线
于点，（点位于轴上方），是坐标原点，记△和△的面积分
别为，，则 （ ）
A. B. C. D.
10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为
A. B. C. D.
11.已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上有极小值
C. 方程在上只有一个实根
D. 方程在上有两个实根
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为 .
15.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为. 连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 .
16.钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
数列的前项和为，，对任意的有，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列，，，求数列的通项公式.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，⊥平面，∥，，，.
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）设为棱上一点，且∥平面，求二面角的大小.
（本小题满分12分）
某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由，两个系统组成，其中系统由3个电子元件组成，系统由5个电子元件组成. 各个电子元件能够正常工作的概率均为()，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.
（Ⅰ）当时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；
（Ⅱ）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品，两个系统进行检测.从，两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？
20．（本题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）求证：().
21．（本小题满分12分）
已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点，.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点(异于点)，证明：是一个定值，并求出这个定值.
选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（Ⅱ）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，，，且．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求证：．
答案：
1.已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】C
2.设复数（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【解析】，.故选B.
3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（ ）
A.8 B. 12 C. 16 D. 20
【解析】可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有（种）．根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．故选 C.
4.已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】画出线性约束区域，所以当直线经过点时，目标函数有最大值， 最大值为3.故选D.
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，得.
因为，所以，即，所以，故选A.
6. 已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，结合单调性进行比较可得选项.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，
因为时，单调递增，所以时，单调递减；
因为，
所以.
故选：A.
7.已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】、为直线与圆的交点,设，联立可得：，
即，
，解得：.
则，
则,
解得：或.
综上：
故选：B.
8.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，
，°，则此直三棱柱的高是（ ）
A． B． C． D.
解析：设 因为°，所以
于是是外接圆的半径），
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为 所以球的表面积为解得
于是直三棱柱的高是故选D.
9.设抛物线（）的焦点为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于点，（点位于轴上方），是坐标原点，记△和△的面积分别为，，则 （ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意可知，直线的方程为，代入，整理得.设点、的坐标分别为，，因为点位于轴上方，所以，，所以，故选C.
10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体积公式为，其中分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为（ ）
B. C. D.
【解析】设“方亭”的上底面边长为,下底面边长为,高为h，则，
∴．故选A．
11.已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法1：取，则点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为，由图可知，取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且.故的取值范围是.选D.
解法2：不妨设，，. 因为，所以，设，，，，
所以，
由于，故. 故选D.

12. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上有极小值
C. 方程在上只有一个实根
D. 方程在上有两个实根
【答案】C
【详解】由题意，函数，可得，
当，即，所以，
所以，解得，
当时，；当时，，
当，即，所以，
所以，解得，
当时，；当时，，
所以当时，单调递减，所以A正确；
又因为当时，，当时，，
所以在出取得极小值，所以B正确；
因为，所以在上不只有一个实数根，所以C不正确；
因为方程，即，
即，所以，
正切函数在为单调递增函数，
又由函数，可得，
当和时，，当时，，
且当时，，作出两函数的大致图象，如图所示，
由图象可得，当，函数与图象有两个交点，
所以D正确.
已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
【解析】因为，，，所以切线方程为.
某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为 .
【解析】由题意，，则，由，可得，故累计时长超过50小时的人数大约有人.
已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为. 连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 .
【解析】已知焦点，的坐标分别为，，其中.根据对称性，不妨设点在渐近线上，则直线的方程为，与联立，得，所以，由，
得，化简得，故.
16.钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则 .
【解析】由，得，若角为锐角，则，此时，即，由于，则为锐角三角形，不符合题意.故为钝角，此时，，故.在中，由正弦定理得，同理，在中，，而在中，，由于，故，由于,故，所以，所以.
17.数列的前项和为，，对任意的有，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，，，求数列的通项公式.
【解析】（1），
-得到，
所以
因为所以
所以数列为等差数列，又因为所以
（2）因为
所以
所以

所以④.
所以④-得到
=
18.
如图，在四棱锥中，⊥平面，∥，，，.
(1)求证：⊥；
(2)设为棱上一点，且∥平面，求二面角的大小.
(1)证明：∵∥，⊥平面，∴⊥平面.
又∵平面，∴⊥.
在中，由，得，.
又∵，⊥，∴.
在中，，解得.
∴，即.
而，∴⊥平面.
又∵平面，∴⊥.…………………………5分
(2)解：连接交于点，连接.
∵∥平面，平面平面，
∴∥，∴.
在直角梯形中，，∴，∴.
如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则
(0，0，0)，(0，0，6)，(4，0，2).
又∵()，∴，∴，
∴，.
令平面的一个法向量为，由得
取，得.
同理，平面的一个法向量为，
∴，即二面角的大小为 ………………………12分
19.
某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由，两个系统组成，其中系统由3个电子元件组成，系统由5个电子元件组成. 各个电子元件能够正常工作的概率均为()，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修.
(1)当时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；
(2)当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品，两个系统进行检测.从，两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系统？
解：(1)系统需要维修的概率为，
系统需要维修的概率为，
设为该电子产品需要维修的系统个数，则，.
，
∴的分布列为



∴. …………………………6分
(2)系统3个元件至少有2个正常工作的概率为，系统5个元件至少有3个正常工作的概率为，则
.
∵.令，解得.
所以，当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；
当时，系统比系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测系统；
当时，系统与系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，，系统检测不分次序.
……………………………12分
20.已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)求证：().
解：(1)，则.
①当时，，在上单调递增.
∵，∴当时，，不符合题意，舍去；
②当时，，由得，；由得，.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∵，∴当时，，不符合题意，舍去；
③当时，，由得，；由得，.
∴在上单调递增，在上单调递减.
又∵，∴成立.
④当时，，由得，；由得，.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∵，∴当时，，不符合题意，舍去；
综上得，. …………………………6分
(2)由(1)知，当时，在上成立，即.
令()，则，
∴
，
即，
∴().…………………………12分
21.已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点，.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点(异于点)，证明：是一个定值，并求出这个定值.
解：(1)由题意知，且，
根据椭圆的定义知，交点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，
∴，
∴曲线的方程为. …………………………4分
(2)∵曲线与曲线相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线经过点，，
∴可设曲线的方程为().
将点的坐标代入上式得，，
∴曲线的方程为.
设()，()，().
①当切线的斜率不存在时，切线的方程为，代入得，此时，()与曲线相切，为的中点，为的中点，所以是一个定值；
同理可求，当切线的斜率不存在时，也是一个定值.
②当切线和的斜率都存在时，设切线的方程为，分别代入和，化简得 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②.
由题意知，方程 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①有两个相等的实数根；方程 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②有两个不相等的实数根，
∴，∴，
∴,
此时，为的中点.
同理可证，为的中点，是一个定值.
综上可知，是一个定值.…………………………12分
22.选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．
曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为，整理得，
转换为参数方程为为参数）．
（2）曲线与曲线在第二象限的交点为，，
所以当时，的周长的最大值为．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，，，且．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
解：（1），，且，
，，
，
，
的取值范围为．
（2），，，
，
，
当且仅当时等号成立，
又，．