专题1.2 极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

专题02：极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；

（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏）      左慢右快（极值点右偏）

左快右慢（极值点左偏）     左慢右快（极值点右偏）

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数的极值点；

（2）构造一元差函数；

（3）确定函数的单调性；

（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.

（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；

假设此处在上单调递减，在上单调递增.

（2）构造；

     注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.

（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；[来源:Z.xx.k.Com]

假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.

（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；

接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.

（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.[来源:学。科。网]

【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来源:学_科_网Z_X_X_K]

三、新题展示

【2019湖南郴州二中月考】已知函数，，．

(1)若，，求函数的单调区间；

(2)设．

(i)若函数有极值，求实数的取值范围；

(ii)若()，求证：．

【2019江西赣州十四县（市)期中联考】已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．

四、对点详析，利器显锋芒

★已知函数.

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)若，且，证明：.

★函数与直线交于、两点.

证明：.

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

★已知函数，若，且，证明：.

[来源:Z.xx.k.Com]

★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.

五、招式演练

★已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若，证明：当，且时， .

[来源:学科网]

★已知函数，其中[来源:学科网ZXXK]

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；[来源:Zxxk.Com]

（2）若函数有极大值为，且方程的两根为，且，证明： .