专题1.5 极值点偏移第三招——含对数式的极值点偏移问题-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

专题05：极值点偏移第三招——含对数式的极值点偏移问题

前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与 ，比较与的大小，即比较与的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。

本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解．

★例. 已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）设，证明：当时，；

（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.

【问题的进一步探究】

对数平均不等式的介绍与证明

两个正数和的对数平均定义：

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

（此式记为对数平均不等式）[来源:学科网ZXXK][来源:Z+xx+k.Com]

取等条件：当且仅当时，等号成立.

只证：当时，.不失一般性，可设.

证明如下：[来源:学_科_网]

（I）先证：……

不等式

构造函数，则.

因为时，，所以函数在上单调递减，

故，从而不等式成立；

（II）再证：……

不等式

构造函数，则.[来源:学|科|网Z|X|X|K]

因为时，，所以函数在上单调递增，

故，从而不等式成立；

综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，

当且仅当时，等号成立.[来源:Z§xx§k.Com]

例题第（3）问另解：由

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

[来源:学+科+网]

故要证

.

根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证.

★已知函数与直线交于两点.

求证：

【招式演练】

★已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）试比较与的大小，并说明理由；

（2）若函数有两个不同的零点，证明： .

★已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；

（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：

[来源:学科网ZXXK]

★已知函数，，其中

（1）若，讨论的单调区间；

（2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明：.

★已知函数.

（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递增区间；

（2）若方程有两个不相等的实数解，证明： .

[来源:Z&xx&k.Com]

【新题试炼】[来源:Zxxk.Com]

【2019四川自贡一诊】已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若有极值，对任意的，当，存在使，证明：.

【2018广东江门调研】已知函数，是常数且.

（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；

（2）若（是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点满足.