专题2.13 交点零点有没有，极最符号异与否-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

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【题型综述】
导数研究函数图象交点及零点问题 
利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

【典例指引】
例1．已知函数，．
（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；
（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
【思路引导】
（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负， ，故只有一个公共点．
当时，，在（）单调递减；
当时，，在（0，1）单调递增．学科*网
又，所以在（0，1）（）恒负
因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）．
例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)
（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）
【思路引导】
（Ⅰ）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；
（Ⅱ）由不等式对恒成立，即对恒成立， 令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.

当且仅当故实数的取值范围为

∴存在，使得，即，则，………9分
∴当时， 单调递减；
当时， 单调递增，
则取到最小值 ，
∴，即在区间内单调递增
，
∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.学科*网
例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数的零点个数．
【思路引导】
（1）根据是二次函数，且关于的不等式的解集为，设出函数解析式，利用函数的最小值为，可求函数的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当时， ，，结合单调性由此可得结论．
(2)∵，
∴，令，得， ．
当变化时，，的取值变化情况如下：


1

3


＋
0
－
0
＋

递增
极大值
递减
极小值
递增
当时， ，
，又因为在上单调递增，因而在上只有1个零点，故在上仅有1个零点．学科*网
点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数．
例4．已知函数，．
（Ⅰ）求证：当时，；
（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．
【思路引导】
（Ⅰ）求导，得，分析单调性得当时，即得证；（Ⅱ） 对t进行讨论①，在[1，+∞)上是增函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，②若， 在[1，+∞)上是减函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，③若0