专题3.15 探究向量关系式,几何意义先分析-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(解析版)
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【题型综述】
探究向量关系问题解题策略:(1)“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在,用向量的坐标运算,转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式,利用设而不求思想,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则向量关系存在存在;否则,向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
【典例指引】
类型一 探究向量式是否为定值
例1 【2015高考四川,文20】如图,椭圆E:(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ,使得为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
类型二 探究向量式是否成立
例2. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.
是,联立直线与椭圆可得
,因为直线与椭圆只有一个交点,
所以,化简可得,因此
,
于是,即,所以,
综上不存在符合题目条件的直线.学&科网
类型三 探究向量式成立的条件
例3【2013年高考,天津卷理】设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点,且, 若存在,求k的值,不存在,说明理由..
=,
由已知得=8,解得.学&科网
类型四 利用向量探究曲线过定点
例4. (2012福建理19)如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为8。
(Ⅰ)求椭圆的方程。
(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:
在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
(法3) 由得,
∵动直线与椭圆有且只要一个交点,∴且△=0,
即,化简得 ①
此时==,==,∴(,),
由得(4,).学&科网
假设平面内存在定点满足条件,由图形对称性知,点必在轴上,
【扩展链接】
1. 设圆锥曲线C的焦点F在x轴上,过焦点F且斜率为的直线交曲线于两点,若,则.
2. 在圆锥曲线中,过焦点F不垂直于坐标轴的弦为,其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于,则.
3.已知椭圆的两个焦点分别为和(),过点的直线与椭圆相交于两点,若,则直线一定过或.
4.如果平面内有三点不共线,设.
【新题展示】
1.【2019湖北恩施2月质检】已知抛物线:的焦点为,其准线:与轴的交点为,过点的直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)点关于轴的对称点为,证明:存在实数,使得.
【思路引导】
(1)根据抛物线的准线为直线:,可求出,进而可得抛物线方程;
(2)先设直线的方程为,,,联立直线与抛物线方程,由韦达定理,求出直线恒过定点,进而可证明结论成立.
【解析】
(1)因为抛物线:的准线为直线:,
所以,解得.
所以抛物线的方程为.
(2)易知点的坐标为,据此可设直线的方程为,,.
联立整理得,故
因为点关于轴的对称点为,,所以.
则直线的方程为,
得,
得,
即.
令,得,
得.
所以直线恒过定点.
所以点在直线上,所以不妨令.
因为,
所以,
所以,
所以.
所以存在实数,使得,命题得证.
2.【2019黑龙江齐齐哈尔一模】已知为坐标原点,椭圆:的左、右焦点分别为,.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3,直线与椭圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线:与椭圆相交于两点,使得?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由!
【思路引导】
(1)由题意列出关于a,b的关系式,解得a,b即可.
(2)将直线与椭圆联立,将向量数量积的运算用坐标形式表示,利用根与系数之间的关系确定k的取值范围.
【解析】
(1)在中,令,得,解得.
由垂径长(即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长)为3,
得,
所以.①
因为直线:与椭圆相切,则.②
将②代入①,得.
故椭圆的标准方程为.
(2)设点,.
由(1)知,则直线的方程为.
联立得,[来源:学科网]
则恒成立.
所以,,
.
因为,
所以.即.
即 ,
得,得,
即,
解得;
∴直线存在,且的取值范围是.
3.【2019安徽江南十校3月检测】设是坐标原点,圆:,椭圆的焦点在轴上,左、右顶点分别为,,离心率为,短轴长为4.平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为,,直线与轴交于点,直线与轴交于点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当时,求的取值范围.
【思路引导】
(1)根据椭圆的几何性质,得到关于的方程,求得结果;(2)解法一:假设方程和坐标,利用得到和的坐标,从而将转化为关于的式子,求得范围;解法二:假设方程和坐标,与椭圆方程联立解出点坐标,进一步推导出坐标,将转化为关于的式子,求得范围.
【解析】
(1)设椭圆的标准方程为
由题意得,解得
椭圆的标准方程为
(2)解法一:设且,,,,
设,共线,
得,同理得
解法二:设,,
联立得:
,
,令得
又由,令得
又轴 [来源:Zxxk.Com]
4.【2019河北衡水中学摸底】已知点是抛物线的焦点,若点在抛物线上,且
求抛物线的方程;
动直线与抛物线相交于两点,问:在轴上是否存在定点其中,使得向量与向量共线其中为坐标原点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路引导】
求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得的坐标,代入抛物线方程,解得,进而得到抛物线的方程;在轴上假设存在定点其中,使得与向量共线,可得轴平分,设,,联立和,根据恒成立,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简整理可得的方程,求得,可得结论.
【解析】
抛物线C:的焦点为,
准线方程为,
即有,即,
则,解得,
则抛物线的方程为;
在x轴上假设存在定点其中,
使得与向量共线,
由,均为单位向量,且它们的和向量与共线,
可得x轴平分,
设,,
联立和,
得,
恒成立.
,
设直线DA、DB的斜率分别为,,
则由得,
,
,
联立,得,
故存在满足题意,[来源:学科网ZXXK]
综上,在x轴上存在一点,使得x轴平分,
即与向量共线.
【同步训练】
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上下两个焦点分别为F1,F2,过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,△MNF2的面积为,椭圆C的离心率为
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点,若存在实数λ,使得+λ=4,求m的取值范围.
【思路点拨】(1)根据已知设椭圆的焦距2c,当y=c时,|MN|=|x1﹣x2|=,由题意得,△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=,又∵,解得a、b即可.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,y0),分类讨论:当m=0时,利用椭圆的对称性即可得出;m≠0时,直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△>0及根与系数的关系,再利用向量相等,代入计算即可得出.
(2)当m=0时,则P(0,0),由椭圆的对称性得,
∴m=0时,存在实数λ,使得+λ=4,
当m≠0时,由+λ=4,得,
∵A、B、p三点共线,∴1+λ=4,⇒λ=3⇒
设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(k2+4)x2+2mkx+m2﹣4=0,
由已知得△=4m2k2﹣4(k2+4)(m2﹣4)>0,即k2﹣m2+4>0,且x1+x2=,x1x2=.
由得x1=﹣3x2学&科网[来源:Z§xx§k.Com]
3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴,⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0,
显然m2=1不成立,∴
∵k2﹣m2+4>0,∴,即.
解得﹣2<m<﹣1或1<m<2.学&科网
综上所述,m的取值范围为(﹣2,﹣1)∪(1,2)∪{0}
2.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P(1,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F2,且与椭圆C交于A、B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得•=﹣恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=c,把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a,b得出椭圆方程;
(2)设Q(m,0),讨论直线l的斜率,求出A,B坐标,列方程解出m.
3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(﹣,0),M(1,y)(y>0)为椭圆上的一点,△MOF1的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点T在圆x2+y2=1上,是否存在过点 A(2,0)的直线l交椭圆C于点 B,使=(+)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)由已知列式c=,,∴,得a2,b2即可;
(2)设直线l的方程为:y=k(x﹣2),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(1+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0,x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)﹣4k=,
=(+)=,得T()代入 圆C1,可得化为176k4﹣24k2﹣5=0可求得k.
4.已知椭圆的两个焦点为,是椭圆上一点,若,.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l过右焦点(不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A,B,在x轴上是否存在一个定点P(x0,0),使得的值为定值?若存在,写出P点的坐标(不必求出定值);若不存在,说明理由.
【思路点拨】(1)根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3,c=,b2=a2﹣c2=4,即可求得椭圆方程;
(2)方法一:设直线l:x=my+,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,•=t 则(4x02﹣36)m2+9x02﹣18x0+29=t(4m2+9),比较系数,即可求得x0=,在x轴上存在一个定点P(,0),使得•的值为定值(﹣);
方法二:分类讨论,当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x﹣),代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,令•=t 则(9x02﹣18x0+29)k2+4x02﹣36=t(4+9k2),9x02﹣18x0+29=9 t且4x02﹣36=4t,即可求得x0=,此时t的值为﹣.
解法二:当直线与x轴不垂直时,设直线l方程为:y=k(x﹣),代入椭圆方程并消元整理得:
(9k2+4)x2﹣18k2x+45k2﹣36=0…①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则是方程①的两个解,由韦达定理得:
x1+x2=,x1x2=,
y1y2=k2(x1﹣)(x2﹣)=k2( x1x2﹣(x1+x2)+5)=﹣,
•=(x1﹣x0,y1)•(x2﹣x0,y2)=( x1﹣x0)( x2﹣x0)+y1y2=x1x2﹣x0(x1+x2)+x02+y1y2,
=,学&科网
令•=t 则(9x02﹣18x0+29)k2+4x02﹣36=t(4+9k2),
9x02﹣18x0+29=9 t且 4x02﹣36=4t,
解得:x0=,此时t的值为﹣,
当直线l与x轴垂直时,l的方程为:x=,代入椭圆方程解得:A(,﹣),B(,),
•=(﹣,﹣)•(﹣,)=﹣=﹣,
∴当直线l与x轴垂直时,•也为定值﹣,
综上,在x轴上存在一个定点P(,0),使得•的值为定值(﹣).
5.如图已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求•的最小值,并求此时圆T的方程.
【思路点拨】(1)运用椭圆的离心率公式和顶点坐标,结合a,b,c的关系,可得椭圆方程;
(2)设M(m,n),由对称性可得N(m,﹣n),代入椭圆方程,再由向量数量积的坐标表示,转化为关于m的二次函数,配方,结合椭圆的范围,可得最小值,进而得到M的坐标,可得圆的方程.
6.已知椭圆的离心率,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y﹣2=0相切.[来源:Zxxk.Com]
(1)求椭圆的标准方程;
(2)对于直线l:y=x+m和点Q(0,3),椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线l对称,且3•=32,若存在实数m的值,若不存在,说明理由.
【思路点拨】(1)由椭圆的离心率,得b=c,写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程,再由点到直线的距离列式求得b,c的值,结合隐含条件求得a,则椭圆方程可求;
(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为:y=﹣x+n.联立消y整理可得:3x2﹣4nx+2n2﹣2=0,由△>0解得n的范围.再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标,代入直线AB,再由点P在直线l上求得m的范围,最后由3•=32求得m的值.
(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为:y=﹣x+n.
联立消y整理可得:3x2﹣4nx+2n2﹣2=0,
由△=(﹣4n)2﹣12(2n2﹣2)=24﹣8n2>0,解得.
,,学&科网
设直线AB之中点为P(x0,y0),则,
由点P在直线AB上得:,
又点P在直线l上,∴,则…①.
又,,
∴
=,
解得:或m=﹣1…②学&科网
综合①②,知m的值为.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA、TB的斜率之积为﹣.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P、Q两点,求•+•的取值范围.
【思路点拨】(1)求得直线TA,TB的斜率,由•=﹣,即可求得椭圆C的方程;
(2)设直线PQ方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标,求函数的单调性,即可求得•+•的取值范围.
==﹣20+.…(8分)
﹣20<•+•≤﹣,…(10分)学&科网
当直线PQ斜率不存在时•+•的值为﹣20,
综上所述•+•的取值范围为[﹣20,﹣].…(12分)
8.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点.
(1)若点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值;
(2)过A,B分别作抛物线E的切线l1,l2,若l1与l2交于点P,求的值.
【思路点拨】(1)由题意设直线AB的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理及弦长公式,根据函数的单调性即可求得四边形OACB面积的最小值;
(2)求导,利用点斜式方程,求得求得切线l1,l2的方程,联立求得P点坐标,根据向量的坐标运算,即可求得的值.
9.已知点P(4,4),圆C:(x﹣m)2+y2=5(m<3)与椭圆E:+=1(a>b>0)有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.
(1)求m的值与椭圆E的方程;
(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求•的取值范围.
【思路点拨】(1)先利用点A在圆上求出m,再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c,再利用点A在椭圆上求出2a,即可求出椭圆E的方程;
(2)先把用点Q的坐标表示出来,再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围.
(2),设Q(x,y),
,.
∵,即x2+(3y)2=18,而x2+(3y)2≥2|x|•|3y|,
∴﹣18≤6xy≤18.学&科网
则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36].
∴x+3y的取值范围是[﹣6,6]
∴x+3y﹣6的范围只:[﹣12,0].
即的取值范围是[﹣12,0].
10.若椭圆E1:与椭圆E2:满足,则称这两个椭圆相似,m叫相似比.若椭圆M1与椭圆相似且过点.
(1)求椭圆M1的标准方程;
(2)过点P(﹣2,0)作斜率不为零的直线l与椭圆M1交于不同两点A、B,F为椭圆M1的右焦点,直线AF、BF分别交椭圆M1于点G、H,设,,求λ1+λ2的取值范围.
【思路点拨】(1)根据题意,设椭圆M1的标准方程为,由“椭圆相似”的性质思路引导可得,,解可得a2、b2的值,代入椭圆的方程即可得答案;
(2)设直线l的斜率为k,以及A、B、G、H的坐标,可以表示、的坐标,分“AG与x轴不垂直”和“AG与x轴垂直”两种情况,求出直线AG的方程,联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系的思路引导可得λ1+λ2范围,即可得答案.
得,∴λ1=3﹣2x1,
当AG与x轴垂直时,点A的横坐标为1,λ1=1,λ2=3﹣2x1成立,
同理可得λ2=3﹣2x2,
设直线l的方程为y=k(x+2),
代入椭圆方程,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣2=0,
则,
得,,,
,
由得,
即λ1+λ2范围为(6,10).学&科网
11.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为圆F1、F2,M是C上一点,|MF1|=2,且||||=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时,线段AB上取点Q,且Q满足||||=||||,证明点Q总在某定直线上,并求出该定直线的方程.
【思路点拨】(1)由已知得a=2c,且∠F1MF2=60°,由余弦定理求出c=1,即可求得a,结合隐含条件求得b,则椭圆C的方程可求;
(2)设直线l的方程为y=kx+(1﹣4k),代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+(8k﹣32k2)x+64k2﹣32k﹣8=0,利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点Q总在某定直线上,并求出该定直线方程.
证明:(2)由题意可得直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣4),即y=kx+(1﹣4k),
代入椭圆方程,整理得(3+4k2)x2+(8k﹣32k2)x+64k2﹣32k﹣8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,.
设Q(x0,y0),由||||=||||,得:
(4﹣x1)(x0﹣x2)=(x1﹣x0)(4﹣x2)(考虑线段在x轴上的射影即可),
∴8x0=(4+x0)(x1+x2)﹣2x1x2,学&科网
于是,
整理得3x0﹣2=(4﹣x0)k,①
又k=,代入①式得3x0+y0﹣3=0,
∴点Q总在直线3x+y﹣3=0上.
12.如图,椭圆E:,点P(0,1)在短轴CD上,且
(1) 求椭圆E的方程及离心率;
(2) 设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)由已知可得点C,D的坐标分别为(0,﹣b),(0,b).结合•=﹣2列式求得b,则椭圆方程可求,进一步求出c可得椭圆的离心率;
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系可得A,B横坐标的和与积•+λ•,可知当λ=2时,•+λ•=﹣7为定值.当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD,仍有•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7,故存在常数λ=2,使得•+λ•为定值﹣7.
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