专题3.6 定值计算并不难，构建函数再消元-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

这是一份专题3.6 定值计算并不难，构建函数再消元-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版），共21页。
专题6  定值计算并不难，构建函数再消元【题型综述】　　在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．　　探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值．【典例指引】例1．已知圆与坐标轴交于（如图）．（1）点是圆上除外的任意点（如图1），与直线交于不同的两点，求的最小值；（2）点是圆上除外的任意点（如图2），直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值．[来源:学#科#网]【思路引导】（1）设出， 的直线方程，联立直线，分别得出M,N的坐标，表示出，求其最值即可；（2）分别写出E,F的坐标，写出斜率，即可证明为定值．试题解析：（1）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为由，解得；由，解得．所以，直线与直线的交点，直线与直线的交点，所以．当时， ，等号成立的条件是．当时， ，等号成立的条件是．故线段长的最小值是．（2）由题意可知，的斜率为直线的方程为，由，得，则直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，由，解得，的斜率（定值）．例2．已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆C的标准方程；⑵已知点A、B为动直线与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（Ⅰ）由e=，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使为定值，定点为（）．试题解析：（Ⅰ）由e=，得=，即c=a，①以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，此圆与直线2x﹣+6=0相切，∴a==，代入①得c=2，（4分）∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的方程为． （Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2==（k2+1）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即m=，此时=为定值，定点为（）．点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．例3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点．（1）求椭圆的方程；  （2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．【答案】（1）（2）【思路引导】（1）由已知得 由此能求出椭圆的方程．
（2）当直线 轴时， ．当直线 与轴不垂直时，设直线 直线与与圆 的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线与圆相切，得 ，联立 ，得（ ，由此能证明 为定值．试题解析：（1）由题意得         （2）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为   当时，得M、N两点坐标分别为， 当时，同理；    当与轴不垂直时，设，由,, 联立得 ，， =        综上， （定值）【点评】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等．解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．例4．已知是圆上任意一点，点的坐标为，直线分别与线段交于两点，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相交于两点，设为坐标原点，，判断的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）（定值）【思路引导】（1）化简向量关系式可得，所以是线段的垂直平分线，所以，转化为椭圆定义，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出，再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值．试题解析：（1）由可知是线段的中点，将两边平方可得， 得：，即，所以是线段的垂直平分线，所以，所以，∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，所求椭圆方程为： ．（2）设，由得，由得，且有，且有因为，得，即 化简得：满足， ，点到直线的距离，所以（定值）[来源:学科网]【扩展链接】2015全国新课标II理20题深度分析已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．高考试题落实运算求解能力考查的方式：1．考查分析运算条件：平行四边形的判定定理选择，为何不选有关平行与长度的定理来判定平行四边形，而要选择对角线相互平分来判定平行四边形，这种处理方式的优点在于弦中点的运算量更小（需要平时训练有这种认识）2．考查遇障碍而调整：若第1小问使用点差法，如何求中点坐标，需有目标分析及方程思想来指导，利用中点在直线上这个条件列出另一个方程．3．考查确定运算程序：相交求坐标，中点关系构建斜率方程这种程序；中点关系求坐标，点在椭圆上构建斜率方程这种程序如何选择？实际上运算难度大体相当．4．考查据算理正确的变形与运算：无论选择何种运算程序都具有过硬的运算技能，需要发现特殊代数结构的能力，在运算中要有求简的意识．运算求解过程中，大体会涉及到以下代数式运算与化简：（1）中点坐标：①韦达定理：或②解方程组；（2）点坐标：解方程组；（3）解斜率方程：①；或②，特别是如何正确解出第2个方程；特别要注意到相约，，9及公因式，然后约因式才会得到二次方程：4．解法的几何变换化简析：设，则椭圆变为圆：，，同理可得：，在圆中易知，则可得：，在圆中易知为菱形，且，则易得：5．问题一般化设直线与椭圆相交于点，且线段的中点为，直线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，则参数满足，易知中点满足，点在椭圆上，则，这就是说，这种形式的平行四边形法则对任何椭圆均存在附命题人的分析及参考答案：【解题思路】（1）思路1  将的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得点的坐标，计算可得常数（其中为直线的斜率），完成证明．思路2  将点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减，可得到的关系式，通过适当变形，即可完成证明．（2）思路1  利用直线过点，将参数用表示，然后将直线的方程代入椭圆方程中，得到点的横坐标，根据第（1）问的结论，可设直线的方程为，将它代入椭圆方程，得到点的横坐标，因为“四边形为平行四边形”的充分必要条件是“线段与线段互相平分”，因此有，由此得到关于的方程．若此方程有解，则四边形可以为平行四边形，且此时方程的解即为使得四边形为平行四边形时的斜率；若此方程无解，则说明四边形不能构成平行四边形．思路2 由点既在椭圆上，也在直线上，可以联立椭圆与的方程，解得，再将直线的方程与方程联立，可解得，于是有关于的方程，后同思路1．思路3 与思路1类似，将参数用参数和表示，联立与直线的方程，可解得点的坐标，根据向量加法的平行四边形法则知，将的坐标代入椭圆方程，可得关于和的方程，后同思路1．【答案】（1）证法1 如下图所示，设直线，，将代入，得，故，于是直线的斜率，即，所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．证法2  设直线，，将的坐标代入椭圆方程，有  ①，   ②，①-②，整理可得，即，故直线的斜率，即，所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（2）解法1四边形能为平行四边形（见下图）因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是．由（1）得的方程为，设点的横坐标为，由，得，则，将点的坐标代入的方程得，然后将的方程代入椭圆方程，可得，四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，于是，解得因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．解法2  四边形能为平行四边形，设，由（1）得，因为在椭圆上，所以有，解得  ①，由四边形为平行四边形，可知，解得：  ②据①②有，即，解得，以下同解法1．解法3 四边形能为平行四边形（见下图）将点的坐标代入的方程得，即的方程为，由（1）得直线的方程为，因为既在上，也在上，所以有，解得，设点的坐标为，则 “四边形为平行四边形 ”的充要条件是，将点的坐标代入椭圆方程有，化简可得，解得，以下同解法1． 【新题展示】1．【2019闽粤赣三省十校联考】已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，．（1）求椭圆的方程；（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数．【思路引导】（1）利用椭圆的离心率和椭圆上的点，构造关于的方程，求解得到椭圆方程；（2）假设三点坐标和直线方程，代入椭圆后利用韦达定理表示出，从而可用，表示出；再利用，表示出，根据，可将与作和整理得到结果．2．【2019广东江门一模】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，，椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）、是椭圆上另外两点，若△的重心是坐标原点，试证明△的面积为定值．（参考公式：若坐标原点是△的重心，则）【思路引导】(1)根据题意得到，得，，进而得到方程；（2）设出直线AB的方程，联立直线和椭圆方程，求得弦长AB，再由点到直线的距离得到，根据点P在曲线上得到参数k和m的等量关系，得证．3．【2019湖南怀化3月一模】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值．【思路引导】（1）根据椭圆的焦点位置及抛物线的焦点坐标，设出其方程，利用顶点和离心率确定其中的参数，即可求解其标准方程；（2）写出椭圆的右焦点，然后，设出直线的方程和点的坐标，联立方程组，结合向量的坐标运算，即可求解．4．【2019湘赣十四校联考】椭圆：的左焦点为且离心率为，为椭圆上任意一点，的取值范围为，．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设圆是圆心在椭圆上且半径为的动圆，过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于，两点．是否存在使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【思路引导】（1）利用离心率得到的关系；然后表示出，通过的范围得到，由得到，从而求得方程；（2）假设圆的方程，利用直线与圆相切，得到关于的方程，从而得到的表达式，从而得到当时，为定值，求得结果．5．【2019江西重点中学盟校联考】已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．【思路引导】（Ⅰ）由题意得到的方程组，求出的值，即可得出椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，易求出四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立直线与椭圆方程，结合判别式和韦达定理，可表示出弦长，再求出点到直线的距离，根据和点在曲线上，求出的关系式，最后根据，即可得出结果．[来源:学.科.网]6．【2019四川泸州二诊】已知，椭圆过点，两个焦点为，，是椭圆上的两个动点，直线的斜率与的斜率互为相反数．求椭圆的方程；求证：直线的斜率为定值．【思路引导】由焦点坐标求得，可设椭圆方程为，可得，解方程即可；设，，设直线的方程为，代入，求出点的坐标，再将换为，求出的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果．7．【2019广东广州天河区综合测试】如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且．求椭圆的离心率；四边形ABCD内接于椭圆，记直线AD，BC的斜率分别为、，求证：为定值．【思路引导】[来源:学。科。网]，，线段AB的中点从而，由，求出，由此能求出椭圆的离心率；椭圆的标准方程为，，，直线BC的方程为，联立直线BC和椭圆方程得到点C坐标，联立直线AD和椭圆方程，得，，代入点坐标化简，由此能证明为定值．8．【2019河北五个一名校联盟一诊】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且，都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为，求证为定值．【思路引导】（1）设动圆圆心坐标为C(x，y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入9．【2019辽宁葫芦岛调研】已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，其离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由．【思路引导】（1）由离心率及2ab＝4，结合a2＝b2+c2，解得a、b，即可求得椭圆C的方程；（2）由题意可设直线l：x＝my，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，将•用m与x0表示，利用对应系数成比例，即可求得x0，代入得•为定值；10．【2019福建漳州一模】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率为． （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．【思路引导】(1)先由题意设椭圆的方程，再结合条件列出方程，从而可求出椭圆的方程；(2)先设直线的方程，由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出，以及，化简之后作商，即可证明结论．11．【2019福建泉州1月质检】已知中，，，，点在上，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）若，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记，，的斜率分别为，求证：为定值．【思路引导】（1）结合题意，证明到，发现轨迹是椭圆，结合椭圆性质，即可。（2）设出直线MN的方程，代入椭圆方程，设出M，N坐标，利用坐标，计算，代入，即可。12．【2019陕西榆林一模】已知椭圆的离心率，左顶点到直线的距离，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：到直线的距离为定值．【思路引导】（1）结合离心率，计算出a，b，c之间的关系，利用点到直线距离，计算a，b值，即可。（2）分直线AB斜率存在与不存在讨论，结合直线方程和椭圆方程，并利用，计算O到直线距离，即可．【同步训练】1．如图，点是抛物线： （）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点， 是抛物线上的动点，直线， 斜率分别为， ．（1）求抛物线的方程；（2）若，点是抛物线在点， 处切线的交点，记的面积为，证明为定值．2．已知常数，在矩形ABCD中， ， ，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．3．已知是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过原点的直线交椭圆于两点，若四边形的面积最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于且，求证：原点到直线的距离为定值．4．已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，圆的圆心在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线．（1）求椭圆的标准方程；（2）试问： 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．5．已知椭圆： 的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点，当时， 恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．6．已知动圆经过点，并且与圆相切．（1）求点的轨迹的方程；[来源:学_科_网Z_X_X_K]（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？ 是与无关的定值，并求出该值定值．7．已知椭圆的焦距为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值．8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．（1）求椭圆C的标准方程．（2）已知点在椭圆C上，点A、B是椭圆C上不同于P、Q的两个动点，且满足： ．试问：直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．9．在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以为圆心的圆与圆交于两点．（1）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，当线段长最小时，求直线的方程；（2）设是圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．10．在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值．11．已知点是直线与椭圆的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为．（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点， 是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．12．椭圆（）的左、右焦点分别为， 在椭圆上， 的周长为，面积的最大值为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线（）与椭圆交于，连接， 并延长交椭圆于，连接，探索与的斜率之比是否为定值并说明理由．