专题7.1 与数学文化相关的数学考题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

这是一份专题7.1 与数学文化相关的数学考题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版），共22页。



【方法综述】
关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.
【解答策略】
类型一、取材数学游戏
游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念.
例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .
【答案】
【解析】由题意可知：
将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，44，233，377，610，987，……
该数列的一个规律是，第4，8，12，16，……4n项是3的倍数；
甲同学报数的序数是1，6，11，16，……，5m-4；
甲同学报的数为3的倍数，依次为第15，35，55，75，95位数，共5个，所以，甲同学拍手的总次数是5次.
【指点迷津】以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏.例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识.本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力.
【举一反三】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
（Ⅰ）4位回文数有______个；
（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个.
【答案】 位回文数与位回文数个数相等，均为个.
类型二、取材数学名著
如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养.
例2、我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】

【指点迷津】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*科网
【举一反三】【辽宁省丹东市2019届高三测试（一)】我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（ ）
A．0.9升 B．1升 C．1.1升 D．2.1升
【答案】B
【解析】
依题意得，故，即 ，解得，故升.故选B.
类型三、取材数学名题
数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.
例3、【江西省南昌市2019届高三第一次模】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )

A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
【答案】A
【解析】
解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则Tn，
可得当n＝10，所有项的个数和为55，
则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，
则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，
故选：A．
【指点迷津】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
【举一反三】【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三3月调研】2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由时，，
可得 ，
时，，可得,排除，
由，可排除,故选C.
类型四、取材数学推理
数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法.
例4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
【答案】C
【指点迷津】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).

【举一反三】【湖北省恩施州2019届高三2月检测】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（ ）
A．9 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】
根据题意设每天派出的人数组成数列，
分析可得数列是首项，公差的等差数列，
该问题中的1864人全部派遣到位的天数为，则，
依次将选项中的值代入检验得，满足方程，故选B.
类型五、取材数学图形
例5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形.
【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形较小的锐角为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
大正方形的面积为，小正方形的面积为，
大正方形的边长为，小正方形边长为.
设四个全等的直角三角形的长直角边为，则短直角边为
由勾股定理得，解得
为直角三角形较小的锐角，所以
所以
【举一反三】
1.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取，立方寸=升，则商鞅铜方升的容积约为（ ）

A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【解析】
由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）
故其体积 （立方寸）， （升），
故选:B

2.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三二模】牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足应用上述方法，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
，切线斜率，切线方程，令，得
，切线斜率，切线方程，令，得
，切线斜率，切线方程，令，得，故选D项
类型六、取材数学文化与现代科学：
数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息.

　例6、【福建省2019届高考适应（三)】习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为，则山高约为______米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.

【答案】
【解析】
过C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,设BM=h,则CM=,解得h=20(),∴BD=h+20
【指点迷津】　1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.
2.注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.
【举一反三】【河北省沧州市2019年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，
由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：
，
当且仅当，即时等号成立.
综上可得，输出的中最大的一个数为.
本题选择D选项.
【强化训练】
一、选择题
1．【河南省八市重点高中2019届高三第二次测评】《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗，则下列判断正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【解析】
由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，
则，解得，
由等比数列的性质可得．
故选：B．
2．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )

A．23 B．32 C．35 D．38
【答案】C
【解析】
由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，
即，解得，故选C.
3．【陕西省宝鸡中学2019届高三一模】我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是　　
A．24里 B．36里 C．48里 D．60里
【答案】B
【解析】
记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
．
所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．
4．【河北省沧州市2019年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，
由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：
，
当且仅当，即时等号成立.
综上可得，输出的中最大的一个数为.
本题选择D选项.
5．【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，
，
两式相减得
，
则,
解得，
故选D.
6．【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设是中点，连接，由于分别是中点，是三角形的中位线，故，所以是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故选C.

7．【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设为第等人的得金数，则为等差数列，
由题设可知，，故，
而，故选C．
8.【北师大实验中学2019届高三二模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，p＝10，
S8，
∴此三角形面积的最大值为8．
故选：C．
9．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设，因此，又由题意可得，
所以，
因此；
延长交于，
记，，
则，所以；
又由题意易知，则，
在三角形中，由正弦定理可得，
即，因此，
，
所以，
因为，所以，即，
整理得，
所以.
故选D

10．【山东省济南市2019届高三3月模拟】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：


① ② ③ ④
图①是底面直径和高均为的圆锥；
图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图③是底面边长和高均为的正四棱锥；
图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】
几何体是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，
且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的横坐标为
，
切线为，即，
横截面面积
图①中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线绕轴旋转得到
横截面的面积为.
所以几何体和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，
故选A项.
11．【山西省吕梁市2019年高考模拟】孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的体积分别为，则（　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：由题意可知几何体是正四棱柱去掉部分棱柱的几何体，
由题意可知V1＝32﹣8＝24；
V2＝32﹣10＝22；
V3＝32﹣6＝26，这3根木条的体积分别为V1，V2，V3，满足V2＜V1＜V3．
故选：C．



二、填空题
12.【福建省2019届高三模拟】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积，进而求得圆柱的体积.
【详解】
表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是，所以区域的面积为，所以圆柱的体积.
13．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三第一学期期中】九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．
【答案】
【解析】
设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.
由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，
则，
解得，
则，
羊的主人应赔偿斗粟；
牛主人比羊主人多赔偿斗粟．
故答案为：；．
14．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．
【答案】120
【解析】
因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.
根据题意可知，，
法一：
，
，
.
法二：，
解得所以
15．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三一模】太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.

【答案】
【解析】
如图，作出直线：，

当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，
此时圆心到直线的距离等于半径1，即： .
解得：
16．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米__________斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率）
【答案】
【解析】,圆柱形容器体积为 ,所以此容器能装斛米．
17．【江苏省南通市通州区2019届高三下期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．
【答案】
【解析】
设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，
由题意知，
则，
则三角形的面积，
，
，
则三角形的面积，当且仅当a=b=取等
即这个直角三角形面积的最大值等于，
故答案为：．