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2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟试卷（4月份）
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这是一份2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟试卷（4月份），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a5÷a3＝a2
3．（4分）据报道，2020年宁波GDP总量和增量双双创新高，以11985亿元的地区生产总值跃居中国内地城市第12位，其中数11985亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.1985×104元 B．0.11985×105元
C．1.1985×1011元 D．1.1985×1012元
4．（4分）如图几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）
A．第一周体温的中位数为37.1℃
B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温
D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
6．（4分）要使分式有有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
7．（4分）已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（ ）
A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°
8．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，若HJ：JK：KF＝2：1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB：AD＝2：3 B．EH：HG＝2：3 C．BC：FH＝2：3 D．AH：HD＝2：3
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线∁n：y＝（x﹣n）2+n2（n为正整数），若C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，则该条抛物线对应的n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A．S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）计算：的值是 ．
12．（5分）分解因式：3x2﹣12＝ ．
13．（5分）在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
14．（5分）如图将母线长为9的圆锥侧面展开后得到扇形的圆心角为120°，若将该扇形剪成两个同样的扇形再围成2个同样的圆锥，则新圆锥的底面半径是 ．
15．（5分）如图，以平行四边形ABCD的对角线AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与BC相切于点B，与AD相交于点E．若AE＝2DE，BC＝6，则⊙O的半径为 ．
16．（5分）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为 ，a+b的值为 ．
三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+2）2﹣x（x+2）；
（2）解不等式组：．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影请在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形．
（1）在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
19．（8分）如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆AB和可转动灯杆BC和光源CD组成，当灯杆BC绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中AB⊥AE，CD∥AE，灯杆AB＝16cm，BC＝36cm．
（1）当灯杆AB与BC的夹角∠ABC为150°时，求光源CD到桌面AE的距离；
（2）若光源CD到AE的距离h与圆形照明区域半径r的关系是h＝r，要使圆形区域半径达到51cm，求灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数．
20．（10分）某学校开展应急救护知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分x均为不小于50的整数，且无满分）．现将测试成绩分为五个等级：不合格（50≤x＜60），基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x＜100），制作了统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求参加测试的总人数并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果80分以上为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数．
21．（10分）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．
（1）求线段AB与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．
22．（10分）有A、B、C三个港口在同一条直线上，甲船从A港出发匀速行驶，到B港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达C港；乙船从B港出发匀速行驶到达C港．设甲船行驶x（h）后，甲船与B港的距离为y1（km），乙船与B港的距离为y2（km），下表记录某些时刻y1（km）与x（h）的对应值，y2（km）与x（h）的关系如图所示．
x（h）
0
0.5
1
2
3
4
4.5
…
y1（km）
60
45
30
0
0
30
45
…
（1）甲船的行驶速度是 ，乙船的行驶速度是 ；
（2）在图中画出y1（km）与x（h）的图象；
（3）当甲船与乙船到港口B的距离相等时，求乙船行驶的时间．
23．（12分）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．
（1）如图1，近似菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝AD＝4，BC＝2，AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，求CD的长；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若∠CDB＝3∠ADB，AB＝1，求CD的长．
24．（14分）【提出问题】
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
【特殊位置探究】
（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；
【一般规律探究】
（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，＝y．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式；
【解决问题】
（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）
2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a5÷a3＝a2
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C、a5与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、a5÷a3＝a2，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）据报道，2020年宁波GDP总量和增量双双创新高，以11985亿元的地区生产总值跃居中国内地城市第12位，其中数11985亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.1985×104元 B．0.11985×105元
C．1.1985×1011元 D．1.1985×1012元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：11985亿元＝1198500000000元＝1.1985×1012元．
故选：D．
4．（4分）如图几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义得出该几何体的主视图即可．
【解答】解：从正面看该几何体，是一个正方形，正方形的内部的右上角是一个小正方形．
故选：B．
5．（4分）疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）
A．第一周体温的中位数为37.1℃
B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温
D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
【分析】根据统计图和中位数、众数、平均数的定义分别进行解答，即可求出答案．
【解答】解：A、第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项符合题意；
B、这两周体温36.6℃出现的次数最多，是5次，所以，众数是36.6℃，信息正确，故本选项不符合题意；
C、第一周平均体温是×（36.7+37.1+36.6+37.1+37.0+36.6+36.9）≈36.9，第二周平均体温×（36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8）≈36.7，信息正确，故本选项不符合题意；
D、根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，信息正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．（4分）要使分式有有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
7．（4分）已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（ ）
A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°
【分析】要说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题，则两个角的和为180°，且这两个角不是一个是锐角，另一个是钝角，然后根据此分别对四个选项进行判断．
【解答】解：∵90°+90°＝180°，
而这两个角都是直角，
所以D选项可能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题．
故选：C．
8．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，若HJ：JK：KF＝2：1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB：AD＝2：3 B．EH：HG＝2：3 C．BC：FH＝2：3 D．AH：HD＝2：3
【分析】设HJ＝2x，JK＝x，KF＝2x，由折叠的性质得出对应线段的长，求出比值即可判断．
【解答】解：∵HJ：JK：KF＝2：1：2，
∴设HJ＝2x，JK＝x，KF＝2x，
由折叠的性质得：AH＝HJ＝2x，DH＝HK＝3x，AE＝EJ＝BE，
∴FH＝5x，
∴AH：HD＝2：3，
故D说法正确；
故选：D．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线∁n：y＝（x﹣n）2+n2（n为正整数），若C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，则该条抛物线对应的n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设C1和∁n的顶点的连线为y＝10x+b，将n＝1时顶点代入求出解析式，然后再将n＝n时顶点代入求n．
【解答】解：设C1和∁n的顶点所在直线解析式为y＝kx+b，
∵C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，
∴k＝10，y＝10x+b，
抛物线y＝（x﹣n）2+n2的顶点坐标为（n，n2），
当n＝1时，顶点为（1，1），
将（1，1）代入y＝10x+b，
解得b＝﹣9，
∴y＝10x﹣9，
将（n，n2）带入解析时可得：n2＝10n﹣9，
解得n＝1或n＝9，
∴n＝9．
故选：B．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A．S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
【分析】设AC＝a，BC＝b，由勾股定理分别求出AE、EC、CF、BF、AD、BD、ED、DC的值，再根据三角形面积逐项判断即可．
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，
∴S△ABC＝ab，
AB＝＝，
在等腰直角三角形中，
AE＝EC＝，
CF＝BF＝，
AD＝BD＝＝，
在Rt△AED中，
ED＝＝b，
DC＝EC﹣ED＝（a﹣b），
A：S4＝AE•ED＝•b•a＝ab＝•ab＝•S△ABC，
已知Rt△ABC的面积，可知S4，
故S4能求出确切值；
B：设AC与BD交于点M，
则S3+S△ADM＝S△ADC＝•CD•AE＝×（a﹣b）×a＝，
又∵S1+S△ADM＝S△ADB＝•AD2＝•＝，
∴（S1+S△ADM）﹣（S3+S△ADM）＝S1﹣S3＝﹣＝＝+S△ABC，
则S1﹣S3与b有关，
∴求不出确切值：
C：设AC交BD于点M，则S△BFD＝FD•BF＝•a•b＝，
∴S△ADM+S3＝•（a+b）•a＝（a2﹣ab），
S△BCM+S3＝S△BCD＝•CD•BF＝•（a﹣b）•b＝（ab﹣b2），
S△ADM+S1＝S△ADB＝（a2+b2），
S△BCM+S1＝S△ABC，
S2＝BF2＝•＝，
此时S2与b有关，而S3与AB有关，
∴无法确定S2+S3的值；
D：由B选项过程得S1﹣S3＝，
又∵S2＝•b2，
得到：S1+S2﹣S3＝b2+ab＝b2+S△ABC，
此时S1+S2﹣S3与b有关，无法求出确切值．
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）计算：的值是 ﹣3 ．
【分析】利用算术平方根的定义即可解答．
【解答】解：因为＝3，
所以﹣＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（5分）分解因式：3x2﹣12＝ 3（x﹣2）（x+2） ．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
13．（5分）在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
【分析】用红球的个数除以球的总数即可求得答案．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．
故答案为：．
14．（5分）如图将母线长为9的圆锥侧面展开后得到扇形的圆心角为120°，若将该扇形剪成两个同样的扇形再围成2个同样的圆锥，则新圆锥的底面半径是 ．
【分析】首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：∵将该扇形剪成两个同样的扇形，大扇形的圆心角为120°，
∴新扇形的圆心角为60°，
∵扇形的母线长为9，
∴扇形的弧长是：＝3π，
设底面半径是r，则2πr＝3π，
解得：r＝．
故答案为．
15．（5分）如图，以平行四边形ABCD的对角线AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与BC相切于点B，与AD相交于点E．若AE＝2DE，BC＝6，则⊙O的半径为 ．
【分析】连接OB，EF，易得△BCO∽△EFA，再利用边的比例借助勾股定理可得圆的半径．
【解答】解：如图：连接OB，EF，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠AEF＝90°，
∵▱ABCD中，∠BCA＝∠EAF，
∴△BCO∽△EFA，
即，
∵AD＝为：BC＝6，AE＝2DE，
∴AE＝4，DE＝2，
设半径是r，即，
∴OC＝3r，
在Rt△OBC中，r2+62＝（3r）2，
解得r＝．
所以半径是．
故答案为：．
16．（5分）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为 ，a+b的值为 ．
【分析】由△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，即可求解．
【解答】解：∵OA＝OB，AC＝3BC，故点C是OB的中点，
设点B的坐标为（m，），则点A（﹣m，﹣），
则点C的坐标为（m，），则b＝m•＝a，即，
则点E、D坐标分别为（m，）、（m，），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝+，
设直线AE交y轴于点H，令y＝+＝0，解得x＝﹣m，令x＝0，则y＝，
故点G、H的坐标分别为（﹣m，0）、（0，），
同理可得，点F的坐标为（0，﹣），
则△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，
解得a＝，
而b＝a，
∴a+b＝；
故答案为，
三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+2）2﹣x（x+2）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用提公因式方法化简即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）（x+2）2﹣x（x+2）
＝（x+2）（x+2﹣x）
＝2（x+2）
＝2x+4；
（2）解不等式组：
由①得，x≥1；
由②得，，
解得x＜3，
∴原不等式组的解集为1≤x＜3．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影请在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形．
（1）在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图1，在①②③④四个位置任选其一；
（2）如图2，在①②两个位置任选其一．
19．（8分）如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆AB和可转动灯杆BC和光源CD组成，当灯杆BC绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中AB⊥AE，CD∥AE，灯杆AB＝16cm，BC＝36cm．
（1）当灯杆AB与BC的夹角∠ABC为150°时，求光源CD到桌面AE的距离；
（2）若光源CD到AE的距离h与圆形照明区域半径r的关系是h＝r，要使圆形区域半径达到51cm，求灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数．
【分析】（1）通过作垂线，转化为矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可得出答案；
（2）求出h的值，再利用直角三角形的边角关系可求出答案．
【解答】解：（1）如图，过点C作CG⊥AE，垂足为G，过点B作BF⊥CG，垂足为F，
∵AB⊥AE，CG⊥AE，BF⊥CG，
∴四边形BAGF为矩形．
∵AB＝16cm，
∴GF＝AB＝16cm，
∵∠ABC＝150°，∠ABF＝90°，
∴∠FBC＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝BC•sin60°＝36×＝18（cm），
∴CG＝CF+FG＝（16+18）cm，
答：光源CD到桌面AE的距离为（16+18）cm；
（2）∵r＝51cm，
∴h＝r＝×51＝34（cm），
在Rt△BCF中，CF＝CG﹣FG＝34﹣16＝18（cm），
∵sin∠CBF＝＝＝，
∴∠CBF＝30°，
∴∠ABC＝90°+30°＝120°，
答：灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数为120°．
20．（10分）某学校开展应急救护知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分x均为不小于50的整数，且无满分）．现将测试成绩分为五个等级：不合格（50≤x＜60），基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x＜100），制作了统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求参加测试的总人数并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果80分以上为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数．
【分析】（1）根据基本合格人数和已知百分比求出总人数，再用总人数减去其它成绩段的人数求出良好的人数，从而补全统计图；
（2）用360°×“优秀”的人数所占的百分比即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）参加测试的总人数：15÷10%＝150（人），
良好的人数有：150﹣5﹣15﹣35﹣40＝55（人），补全统计图如下：
（2）“优秀”所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝96°；
（3）1200×＝760（人），
答：1200名学生中达标人数为760人．
21．（10分）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．
（1）求线段AB与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）先设出AB所在的直线函数解析式，然后用待定系数法求出解析式，再令x＝0，求出y即可；
（2）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）先联立抛物线和直线解析式组成方程组，解方程组，得到关于x的一元二次方程，直线和抛物线有两个交点即△＞0，再根据方程得根﹣1≤x≤2即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的函数解析式为：y＝kx+b （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），
∵A（﹣1，2），B（2，5），
∴，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝x+3 （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），
当x＝0时，y＝3，
∴线段AB与y轴的交点为（0，3）；
（2）∵抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+1；
（3）∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴联立方程，
得x+3＝x2+mx+3，
整理得：x2+（m﹣1）x＝0，
∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴方程x2+（m﹣1）x＝0有两个不同的实数解，
即△＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2＞0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴当m≠1时△＞0，
解方程x2+（m﹣1）x＝0得：x1＝0，x2＝1﹣m，
∵线段AB的取值范围为：﹣1≤x≤2，
∴①﹣1≤1﹣m＜0时，得1＜m≤2，
②0＜1﹣m≤2时，得﹣1≤m＜1，
综上所述m的取值范围为﹣1≤m≤2且m≠1．
22．（10分）有A、B、C三个港口在同一条直线上，甲船从A港出发匀速行驶，到B港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达C港；乙船从B港出发匀速行驶到达C港．设甲船行驶x（h）后，甲船与B港的距离为y1（km），乙船与B港的距离为y2（km），下表记录某些时刻y1（km）与x（h）的对应值，y2（km）与x（h）的关系如图所示．
x（h）
0
0.5
1
2
3
4
4.5
…
y1（km）
60
45
30
0
0
30
45
…
（1）甲船的行驶速度是 30km/h ，乙船的行驶速度是 20km/h ；
（2）在图中画出y1（km）与x（h）的图象；
（3）当甲船与乙船到港口B的距离相等时，求乙船行驶的时间．
【分析】（1）根据表中的数据可得甲船的行驶速度，根据图象的数据可得乙船的行驶速度；
（2）根据表格中的数据，结合题意描出相关点，即可画出y1（km）与x（h）的图象；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）甲船的行驶速度是30km/h，乙船的行驶速度是：60÷（4﹣1）＝20（km/h）；
故答案为：30km/h；20km/h；
（2）如图所示：
（3）设甲船从A港口出发的时间为x（h）．
①当甲船未到B港口前，﹣30x+60＝20（x﹣1），
解得；
②当甲船已过B港并离开后，30（x﹣3）＝20（x﹣1），
解得x＝7；
综上，当乙船离开B港口0.6h和6h时，甲船和乙船到B港口的距离相等．
23．（12分）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．
（1）如图1，近似菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝AD＝4，BC＝2，AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，求CD的长；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若∠CDB＝3∠ADB，AB＝1，求CD的长．
【分析】（1）如图1，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，构造直角△BED，通过“近似菱形”的性质和解直角三角形求得．
（2）如图2，根据“近似菱形”的定义，首先证明∠ABD＝∠DBC．∠ADB＝∠DBC；然后证得AB＝AD即可；
（3）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，构造相似三角形△ABC∽△CDE．则其对应边相等：，即，易得CD的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∵∠BAD＝120°，AB＝AD＝4．
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，BD＝4．
∵AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°．
∴DE＝2，BE＝6．
∵BC＝2，
∴CE＝4．
∴．
（2）如图2，∵AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．
∴∠ACB＝2∠DBC．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝2∠DBC．
∴∠ABD＝∠DBC．
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴AB＝AD．
∴四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∴四边形ABED为菱形．
∴∠ABD＝2∠ADB．
∵∠CDB＝3∠ADB，AD∥BC．
∴∠CED＝∠EDA＝2∠ADB＝∠EDC．
∵∠ABC＝∠ACB＝2∠ADB，
∴△ABC∽△CDE．
∴，即，
∴．
24．（14分）【提出问题】
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
【特殊位置探究】
（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；
【一般规律探究】
（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，＝y．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式；
【解决问题】
（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）
【分析】（1）由锐角三角形函数的定义可得出答案；
（2）①连接BQ，由圆周角定理可得出答案；
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，证明△FCB∽△FNA．由相似三角形的性质得出．则可得出答案；
（3）由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥CD，
∴．
∴OE＝3，AE＝8．
∵DP＝2，
∴．
连接BQ，则∠AQB＝90°，
在Rt△ABQ中，．
（2）①证明：连接BQ，
∵，
∴∠ACQ＝∠ABQ，
∵AB为直径，
∴∠A+∠ABQ＝90°，
∵AB⊥CP，
∴∠P+∠BAP＝90°，
∴∠ACQ＝∠DPQ．
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，
∵∠ACQ＝∠DPQ，
∴△FCB∽△FNA．
∴．
∴．
（3）当OF＝1时，AF＝6或4．
当AF＝6时，，解得．
∵∠ACQ＝∠P，∠CAQ＝∠PDQ，
∴△PDQ∽△ACQ．
∴．
∵．
∴．
当AF＝4时，，
解得x＝20．
同理可得．
∴当OF＝1时，△CDQ与△ACQ的面积之比为或．
2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a5÷a3＝a2
3．（4分）据报道，2020年宁波GDP总量和增量双双创新高，以11985亿元的地区生产总值跃居中国内地城市第12位，其中数11985亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.1985×104元 B．0.11985×105元
C．1.1985×1011元 D．1.1985×1012元
4．（4分）如图几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）
A．第一周体温的中位数为37.1℃
B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温
D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
6．（4分）要使分式有有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
7．（4分）已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（ ）
A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°
8．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，若HJ：JK：KF＝2：1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB：AD＝2：3 B．EH：HG＝2：3 C．BC：FH＝2：3 D．AH：HD＝2：3
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线∁n：y＝（x﹣n）2+n2（n为正整数），若C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，则该条抛物线对应的n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A．S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）计算：的值是 ．
12．（5分）分解因式：3x2﹣12＝ ．
13．（5分）在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
14．（5分）如图将母线长为9的圆锥侧面展开后得到扇形的圆心角为120°，若将该扇形剪成两个同样的扇形再围成2个同样的圆锥，则新圆锥的底面半径是 ．
15．（5分）如图，以平行四边形ABCD的对角线AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与BC相切于点B，与AD相交于点E．若AE＝2DE，BC＝6，则⊙O的半径为 ．
16．（5分）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为 ，a+b的值为 ．
三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+2）2﹣x（x+2）；
（2）解不等式组：．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影请在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形．
（1）在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
19．（8分）如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆AB和可转动灯杆BC和光源CD组成，当灯杆BC绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中AB⊥AE，CD∥AE，灯杆AB＝16cm，BC＝36cm．
（1）当灯杆AB与BC的夹角∠ABC为150°时，求光源CD到桌面AE的距离；
（2）若光源CD到AE的距离h与圆形照明区域半径r的关系是h＝r，要使圆形区域半径达到51cm，求灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数．
20．（10分）某学校开展应急救护知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分x均为不小于50的整数，且无满分）．现将测试成绩分为五个等级：不合格（50≤x＜60），基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x＜100），制作了统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求参加测试的总人数并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果80分以上为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数．
21．（10分）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．
（1）求线段AB与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．
22．（10分）有A、B、C三个港口在同一条直线上，甲船从A港出发匀速行驶，到B港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达C港；乙船从B港出发匀速行驶到达C港．设甲船行驶x（h）后，甲船与B港的距离为y1（km），乙船与B港的距离为y2（km），下表记录某些时刻y1（km）与x（h）的对应值，y2（km）与x（h）的关系如图所示．
x（h）
0
0.5
1
2
3
4
4.5
…
y1（km）
60
45
30
0
0
30
45
…
（1）甲船的行驶速度是 ，乙船的行驶速度是 ；
（2）在图中画出y1（km）与x（h）的图象；
（3）当甲船与乙船到港口B的距离相等时，求乙船行驶的时间．
23．（12分）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．
（1）如图1，近似菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝AD＝4，BC＝2，AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，求CD的长；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若∠CDB＝3∠ADB，AB＝1，求CD的长．
24．（14分）【提出问题】
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
【特殊位置探究】
（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；
【一般规律探究】
（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，＝y．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式；
【解决问题】
（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）
2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a5÷a3＝a2
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C、a5与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、a5÷a3＝a2，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）据报道，2020年宁波GDP总量和增量双双创新高，以11985亿元的地区生产总值跃居中国内地城市第12位，其中数11985亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.1985×104元 B．0.11985×105元
C．1.1985×1011元 D．1.1985×1012元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：11985亿元＝1198500000000元＝1.1985×1012元．
故选：D．
4．（4分）如图几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义得出该几何体的主视图即可．
【解答】解：从正面看该几何体，是一个正方形，正方形的内部的右上角是一个小正方形．
故选：B．
5．（4分）疫情期间，小宁同学连续两周居家健康检测，如图是小宁记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的关于小宁同学的信息不正确的是（ ）
A．第一周体温的中位数为37.1℃
B．这两周体温的众数为36.6℃
C．第一周平均体温高于第二周平均体温
D．第二周的体温比第一周的体温更加平稳
【分析】根据统计图和中位数、众数、平均数的定义分别进行解答，即可求出答案．
【解答】解：A、第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项符合题意；
B、这两周体温36.6℃出现的次数最多，是5次，所以，众数是36.6℃，信息正确，故本选项不符合题意；
C、第一周平均体温是×（36.7+37.1+36.6+37.1+37.0+36.6+36.9）≈36.9，第二周平均体温×（36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8）≈36.7，信息正确，故本选项不符合题意；
D、根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，信息正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．（4分）要使分式有有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
7．（4分）已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（ ）
A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°
【分析】要说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题，则两个角的和为180°，且这两个角不是一个是锐角，另一个是钝角，然后根据此分别对四个选项进行判断．
【解答】解：∵90°+90°＝180°，
而这两个角都是直角，
所以D选项可能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题．
故选：C．
8．（4分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，若HJ：JK：KF＝2：1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．AB：AD＝2：3 B．EH：HG＝2：3 C．BC：FH＝2：3 D．AH：HD＝2：3
【分析】设HJ＝2x，JK＝x，KF＝2x，由折叠的性质得出对应线段的长，求出比值即可判断．
【解答】解：∵HJ：JK：KF＝2：1：2，
∴设HJ＝2x，JK＝x，KF＝2x，
由折叠的性质得：AH＝HJ＝2x，DH＝HK＝3x，AE＝EJ＝BE，
∴FH＝5x，
∴AH：HD＝2：3，
故D说法正确；
故选：D．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线∁n：y＝（x﹣n）2+n2（n为正整数），若C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，则该条抛物线对应的n的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设C1和∁n的顶点的连线为y＝10x+b，将n＝1时顶点代入求出解析式，然后再将n＝n时顶点代入求n．
【解答】解：设C1和∁n的顶点所在直线解析式为y＝kx+b，
∵C1和∁n的顶点的连线平行于直线y＝10x，
∴k＝10，y＝10x+b，
抛物线y＝（x﹣n）2+n2的顶点坐标为（n，n2），
当n＝1时，顶点为（1，1），
将（1，1）代入y＝10x+b，
解得b＝﹣9，
∴y＝10x﹣9，
将（n，n2）带入解析时可得：n2＝10n﹣9，
解得n＝1或n＝9，
∴n＝9．
故选：B．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A．S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
【分析】设AC＝a，BC＝b，由勾股定理分别求出AE、EC、CF、BF、AD、BD、ED、DC的值，再根据三角形面积逐项判断即可．
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，
∴S△ABC＝ab，
AB＝＝，
在等腰直角三角形中，
AE＝EC＝，
CF＝BF＝，
AD＝BD＝＝，
在Rt△AED中，
ED＝＝b，
DC＝EC﹣ED＝（a﹣b），
A：S4＝AE•ED＝•b•a＝ab＝•ab＝•S△ABC，
已知Rt△ABC的面积，可知S4，
故S4能求出确切值；
B：设AC与BD交于点M，
则S3+S△ADM＝S△ADC＝•CD•AE＝×（a﹣b）×a＝，
又∵S1+S△ADM＝S△ADB＝•AD2＝•＝，
∴（S1+S△ADM）﹣（S3+S△ADM）＝S1﹣S3＝﹣＝＝+S△ABC，
则S1﹣S3与b有关，
∴求不出确切值：
C：设AC交BD于点M，则S△BFD＝FD•BF＝•a•b＝，
∴S△ADM+S3＝•（a+b）•a＝（a2﹣ab），
S△BCM+S3＝S△BCD＝•CD•BF＝•（a﹣b）•b＝（ab﹣b2），
S△ADM+S1＝S△ADB＝（a2+b2），
S△BCM+S1＝S△ABC，
S2＝BF2＝•＝，
此时S2与b有关，而S3与AB有关，
∴无法确定S2+S3的值；
D：由B选项过程得S1﹣S3＝，
又∵S2＝•b2，
得到：S1+S2﹣S3＝b2+ab＝b2+S△ABC，
此时S1+S2﹣S3与b有关，无法求出确切值．
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）计算：的值是 ﹣3 ．
【分析】利用算术平方根的定义即可解答．
【解答】解：因为＝3，
所以﹣＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（5分）分解因式：3x2﹣12＝ 3（x﹣2）（x+2） ．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
13．（5分）在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
【分析】用红球的个数除以球的总数即可求得答案．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．
故答案为：．
14．（5分）如图将母线长为9的圆锥侧面展开后得到扇形的圆心角为120°，若将该扇形剪成两个同样的扇形再围成2个同样的圆锥，则新圆锥的底面半径是 ．
【分析】首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：∵将该扇形剪成两个同样的扇形，大扇形的圆心角为120°，
∴新扇形的圆心角为60°，
∵扇形的母线长为9，
∴扇形的弧长是：＝3π，
设底面半径是r，则2πr＝3π，
解得：r＝．
故答案为．
15．（5分）如图，以平行四边形ABCD的对角线AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与BC相切于点B，与AD相交于点E．若AE＝2DE，BC＝6，则⊙O的半径为 ．
【分析】连接OB，EF，易得△BCO∽△EFA，再利用边的比例借助勾股定理可得圆的半径．
【解答】解：如图：连接OB，EF，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠AEF＝90°，
∵▱ABCD中，∠BCA＝∠EAF，
∴△BCO∽△EFA，
即，
∵AD＝为：BC＝6，AE＝2DE，
∴AE＝4，DE＝2，
设半径是r，即，
∴OC＝3r，
在Rt△OBC中，r2+62＝（3r）2，
解得r＝．
所以半径是．
故答案为：．
16．（5分）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为 ，a+b的值为 ．
【分析】由△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，即可求解．
【解答】解：∵OA＝OB，AC＝3BC，故点C是OB的中点，
设点B的坐标为（m，），则点A（﹣m，﹣），
则点C的坐标为（m，），则b＝m•＝a，即，
则点E、D坐标分别为（m，）、（m，），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝+，
设直线AE交y轴于点H，令y＝+＝0，解得x＝﹣m，令x＝0，则y＝，
故点G、H的坐标分别为（﹣m，0）、（0，），
同理可得，点F的坐标为（0，﹣），
则△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，
解得a＝，
而b＝a，
∴a+b＝；
故答案为，
三、解答题（第17～19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+2）2﹣x（x+2）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用提公因式方法化简即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）（x+2）2﹣x（x+2）
＝（x+2）（x+2﹣x）
＝2（x+2）
＝2x+4；
（2）解不等式组：
由①得，x≥1；
由②得，，
解得x＜3，
∴原不等式组的解集为1≤x＜3．
18．（8分）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影请在余下的小正三角形中选取1个小正三角形，涂上阴影，按下列要求分别画出符合条件的一种情形．
（1）在图1中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中画图，使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图1，在①②③④四个位置任选其一；
（2）如图2，在①②两个位置任选其一．
19．（8分）如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆AB和可转动灯杆BC和光源CD组成，当灯杆BC绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中AB⊥AE，CD∥AE，灯杆AB＝16cm，BC＝36cm．
（1）当灯杆AB与BC的夹角∠ABC为150°时，求光源CD到桌面AE的距离；
（2）若光源CD到AE的距离h与圆形照明区域半径r的关系是h＝r，要使圆形区域半径达到51cm，求灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数．
【分析】（1）通过作垂线，转化为矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可得出答案；
（2）求出h的值，再利用直角三角形的边角关系可求出答案．
【解答】解：（1）如图，过点C作CG⊥AE，垂足为G，过点B作BF⊥CG，垂足为F，
∵AB⊥AE，CG⊥AE，BF⊥CG，
∴四边形BAGF为矩形．
∵AB＝16cm，
∴GF＝AB＝16cm，
∵∠ABC＝150°，∠ABF＝90°，
∴∠FBC＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝BC•sin60°＝36×＝18（cm），
∴CG＝CF+FG＝（16+18）cm，
答：光源CD到桌面AE的距离为（16+18）cm；
（2）∵r＝51cm，
∴h＝r＝×51＝34（cm），
在Rt△BCF中，CF＝CG﹣FG＝34﹣16＝18（cm），
∵sin∠CBF＝＝＝，
∴∠CBF＝30°，
∴∠ABC＝90°+30°＝120°，
答：灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数为120°．
20．（10分）某学校开展应急救护知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取部分同学进行知识测试（测试满分100分，测试结果得分x均为不小于50的整数，且无满分）．现将测试成绩分为五个等级：不合格（50≤x＜60），基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x＜100），制作了统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求参加测试的总人数并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果80分以上为达标，请估计全校1200名学生中成绩达标的人数．
【分析】（1）根据基本合格人数和已知百分比求出总人数，再用总人数减去其它成绩段的人数求出良好的人数，从而补全统计图；
（2）用360°×“优秀”的人数所占的百分比即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）参加测试的总人数：15÷10%＝150（人），
良好的人数有：150﹣5﹣15﹣35﹣40＝55（人），补全统计图如下：
（2）“优秀”所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝96°；
（3）1200×＝760（人），
答：1200名学生中达标人数为760人．
21．（10分）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．
（1）求线段AB与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）先设出AB所在的直线函数解析式，然后用待定系数法求出解析式，再令x＝0，求出y即可；
（2）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）先联立抛物线和直线解析式组成方程组，解方程组，得到关于x的一元二次方程，直线和抛物线有两个交点即△＞0，再根据方程得根﹣1≤x≤2即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的函数解析式为：y＝kx+b （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），
∵A（﹣1，2），B（2，5），
∴，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝x+3 （﹣1≤x≤2，2≤y≤5），
当x＝0时，y＝3，
∴线段AB与y轴的交点为（0，3）；
（2）∵抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+1；
（3）∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴联立方程，
得x+3＝x2+mx+3，
整理得：x2+（m﹣1）x＝0，
∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴方程x2+（m﹣1）x＝0有两个不同的实数解，
即△＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2＞0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴当m≠1时△＞0，
解方程x2+（m﹣1）x＝0得：x1＝0，x2＝1﹣m，
∵线段AB的取值范围为：﹣1≤x≤2，
∴①﹣1≤1﹣m＜0时，得1＜m≤2，
②0＜1﹣m≤2时，得﹣1≤m＜1，
综上所述m的取值范围为﹣1≤m≤2且m≠1．
22．（10分）有A、B、C三个港口在同一条直线上，甲船从A港出发匀速行驶，到B港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达C港；乙船从B港出发匀速行驶到达C港．设甲船行驶x（h）后，甲船与B港的距离为y1（km），乙船与B港的距离为y2（km），下表记录某些时刻y1（km）与x（h）的对应值，y2（km）与x（h）的关系如图所示．
x（h）
0
0.5
1
2
3
4
4.5
…
y1（km）
60
45
30
0
0
30
45
…
（1）甲船的行驶速度是 30km/h ，乙船的行驶速度是 20km/h ；
（2）在图中画出y1（km）与x（h）的图象；
（3）当甲船与乙船到港口B的距离相等时，求乙船行驶的时间．
【分析】（1）根据表中的数据可得甲船的行驶速度，根据图象的数据可得乙船的行驶速度；
（2）根据表格中的数据，结合题意描出相关点，即可画出y1（km）与x（h）的图象；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）甲船的行驶速度是30km/h，乙船的行驶速度是：60÷（4﹣1）＝20（km/h）；
故答案为：30km/h；20km/h；
（2）如图所示：
（3）设甲船从A港口出发的时间为x（h）．
①当甲船未到B港口前，﹣30x+60＝20（x﹣1），
解得；
②当甲船已过B港并离开后，30（x﹣3）＝20（x﹣1），
解得x＝7；
综上，当乙船离开B港口0.6h和6h时，甲船和乙船到B港口的距离相等．
23．（12分）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．
（1）如图1，近似菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝AD＝4，BC＝2，AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，求CD的长；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）在（2）的条件下，若∠CDB＝3∠ADB，AB＝1，求CD的长．
【分析】（1）如图1，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，构造直角△BED，通过“近似菱形”的性质和解直角三角形求得．
（2）如图2，根据“近似菱形”的定义，首先证明∠ABD＝∠DBC．∠ADB＝∠DBC；然后证得AB＝AD即可；
（3）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，构造相似三角形△ABC∽△CDE．则其对应边相等：，即，易得CD的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∵∠BAD＝120°，AB＝AD＝4．
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，BD＝4．
∵AB与AD的夹角∠BAD所对的对角线BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°．
∴DE＝2，BE＝6．
∵BC＝2，
∴CE＝4．
∴．
（2）如图2，∵AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．
∴∠ACB＝2∠DBC．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝2∠DBC．
∴∠ABD＝∠DBC．
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴AB＝AD．
∴四边形ABCD是“近似菱形”．
（3）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∴四边形ABED为菱形．
∴∠ABD＝2∠ADB．
∵∠CDB＝3∠ADB，AD∥BC．
∴∠CED＝∠EDA＝2∠ADB＝∠EDC．
∵∠ABC＝∠ACB＝2∠ADB，
∴△ABC∽△CDE．
∴，即，
∴．
24．（14分）【提出问题】
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
【特殊位置探究】
（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；
【一般规律探究】
（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，＝y．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式；
【解决问题】
（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）
【分析】（1）由锐角三角形函数的定义可得出答案；
（2）①连接BQ，由圆周角定理可得出答案；
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，证明△FCB∽△FNA．由相似三角形的性质得出．则可得出答案；
（3）由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥CD，
∴．
∴OE＝3，AE＝8．
∵DP＝2，
∴．
连接BQ，则∠AQB＝90°，
在Rt△ABQ中，．
（2）①证明：连接BQ，
∵，
∴∠ACQ＝∠ABQ，
∵AB为直径，
∴∠A+∠ABQ＝90°，
∵AB⊥CP，
∴∠P+∠BAP＝90°，
∴∠ACQ＝∠DPQ．
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，
∵∠ACQ＝∠DPQ，
∴△FCB∽△FNA．
∴．
∴．
（3）当OF＝1时，AF＝6或4．
当AF＝6时，，解得．
∵∠ACQ＝∠P，∠CAQ＝∠PDQ，
∴△PDQ∽△ACQ．
∴．
∵．
∴．
当AF＝4时，，
解得x＝20．
同理可得．
∴当OF＝1时，△CDQ与△ACQ的面积之比为或．
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