北京市昌平区2021届高三年级二模考试数学试题及答案

这是一份北京市昌平区2021届高三年级二模考试数学试题及答案，共15页。

数学试卷
2021.5
本试卷共6页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
（2）已知复数，则的共轭复数的虚部为
（A） （B） （C） （D）
（3）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是
（A）24 （B）36 （C）54 （D）108
（4）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
（5）下列函数中，最小正周期为的奇函数是
（A） （B）
（C） （D）
（6）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
（A） （B） （C） （D）
（7）已知是非零向量，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则. 例如 QUOTE 《 《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的. QUOTE 》
二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. 已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺 , 按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为
（A） 尺 （B）尺 （C）尺 （D）尺
（9）将函数（）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是
（A） （B） （C） （D）
（10）已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）已知向量，，则 ________.
（12）在的展开式中，的系数为 ________.（用数字作答）
（13）在中，，，则________；________.
（14）已知抛物线与椭圆有一个公共焦点，则点的坐标是________; 若抛物线的准线与椭圆交于两点，是坐标原点，且是直角三角形，则椭圆的离心率________.
（15）下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图.
说明：1.在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与年3月相比较.2. ,.
给出下列三个结论：
①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；
②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；
③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（16）（本小题13分）
已知数列的前项和为,, 从条件 = 1 \* GB3 ①、条件 = 2 \* GB3 ②和条件 = 3 \* GB3 ③中选择两个作为已知，并完成解答：
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，求数列的前项和.
条件 = 1 \* GB3 ①： ；
条件 = 2 \* GB3 ②：；
条件 = 3 \* GB3 ③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（17）（本小题13分）
某大学为了解学生对A，B两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的学生中随机抽取了50人，分别对这两本图书进行评分反馈，满分为100分，得到的相应数据整理如下表.
规定：学生对图书的“评价指数”如下表.
（Ⅰ）从A，B两本图书都阅读过的学生中任选1人，试估计其对A图书“评价指数”为2的概率；
（Ⅱ）从对B图书“评价指数”为1的学生中任选3人进一步访谈，设为3人中评分在内的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）试估计学生更喜好A, B哪一本图书，并简述理由.
18. (本小题14分)
如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，
.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，
使得? 若存在，
求的值；若不存在，说明理由.
19. (本小题15分)
已知椭圆：过点,且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C有两个不同的交点，当时，求实数k的取值范围.
20．(本小题15分)
已知函数.
(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ) 若对于任意的都成立，求实数的取值范围.
21．（本小题15分）
对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有
（1）；
（2）对于，记.
对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.
（Ⅰ）设数列的通项公式为，计算，并判断是否为数列的阶系数；
（ = 2 \* ROMAN II）设数列的通项公式为，且数列的阶系数为，求的值；
（ = 3 \* ROMAN III）设数列为等差数列，满足，均为数列的阶系数，且，求的最大值.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 .
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
（ 11） （12） （13）6 ;
（14）； （15）① ③
注：第（13）和（14）题第一空 3 分,第二空 2 分. 第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（16）（本小题13分）
解：(不能选择 = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③作为已知条件)
选择 = 1 \* GB3 ①②作为已知条件.………………2分
因为，，
所以数列是以为首项，公差的等差数列.
所以.………………6分
选择②③作为已知条件.………………2分
因为，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列.
因为，
所以.
所以.
所以.
所以.………………6分
（Ⅱ）设等比数列的公比为，则，，，
所以.
所以等比数列的通项公式为.
所以
所以
.………………13分
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由评分频数分布表可知，对A图书评分的学生中，“评价指数为2”的学生所占的频率为，所以从A，B两本图书都阅读过的学生中任选1人，估计其对A图书“评价指数”为2的概率为.………………4分
（Ⅱ）由题意，所以的所有可能值为.
，
所以的分布列为
所以的数学期望为. ………… 10分
（Ⅲ）设学生对A图书的“评价指数”为，对B图书的“评价指数”为．由题意，从阅读过两本图书的学生中任取一位，估计的分布列分别为
所以.
估计的分布列分别为
所以.
因为，所以学生更喜好图书A. ……………… 13分
（18）（本小题14分）
解：（I）证明：在直四棱柱中，
，
因为，
所以. …………2分
因为，，
所以.
因为，
所以. ……………… 4分
（Ⅱ）因为，且，所以两两垂直.
如图建立空间直角坐标系，则，，
，，，
设平面的法向量为.
，，
由 可得
令，解得，
所以.
因为，
所以平面的一个法向量为.
所以.
由题可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为. ……………… 10分
(Ⅲ) 设.
因为，
由（II）知平面的一个法向量为，
因为，可得.
所以. 解得.
所以，在线段上存在点使得，的值是.
……………… 14分
19. (本小题15分)
解：（Ⅰ）依题意得.
由解得．
所以椭圆的方程为． ……..……… 5分
（Ⅱ）解法1：（1）当时，显然成立.
（2）当时，
① 时，显然不成立.
② 当，即时，
由
得.
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以.
即.（*）.
设，，则 .
所以．
所以线段AB的中点．
直线MP的斜率，
由，得 .
所以
解得
将代入到（*）中，得，
即，
所以．
解得，且．
综上所述，实数k的取值范围是． ………………15分
解法2：由得.
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以
即（1）.
设，．则 .
由得，.
即.
即.
从而.
由得.
所以.
即.
解得.
将代入到（1）中，得，
即，
所以．
解得．
所以实数k的取值范围是． ……………… 15分
20. (本小题15分)
解：（Ⅰ），
所以切线的斜率.
因为，
所以切线的方程. ………………5分
（Ⅱ）解法1：由已知，对于任意的，都成立，
即对于任意的，都成立.
当时，显然成立.
当时，对于任意的，都成立.
设，则.
而.
设，则.
由，得 在区间上恒成立，
所以函数在区间上是减函数，且.
所以在区间上恒成立.
所以函数在区间上是减函数.
所以当时，.
所以实数的取值范围是. ………………15分
解法2：
设，则.
（1）当时，，函数在区间上是增函数.
当时，，
所以在区间上恒成立.
所以函数在区间上是增函数.
所以.
即对于任意的都成立.
（2）当时，令，即，解得.
①当时，，则.
从而函数在区间上是增函数.
当时，，
所以在区间上恒成立.
所以函数在区间上是增函数.
所以.
即对于任意的都成立.
②当时，.
当变化时，的变化情况如下表：
所以当时，.
所以在区间上恒成立.
所以函数在区间上是增函数.
所以.
即对于任意的都成立.
③当时，.
所以在区间上恒成立.
所以函数在区间上是减函数.
因为，
所以，使，即.
当变化时，的变化情况如下表：
当，即时，对于任意
都成立.
所以.
综上所述，实数的取值范围是. ………………15分
21. (本小题15分)
解：（ = 1 \* ROMAN I）因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且.
得.
数列通项公式为，所以当时，
.
所以是数列的阶系数. ………………4分
（ = 2 \* ROMAN II）因为数列的阶系数为，所以当时，存在，使成立.
设等差数列的前项和为，则.
令，则.
所以，
设等差数列的前项和为，,
则.
令，则.
所以，
当时，，
当时，，
则，解得.………………11分
（ = 3 \* ROMAN III）设数列为等差数列，满足，均为数列的阶系数，，
则存在，使
成立.
设数列的公差为，构造函数
.
由已知得
.
所以，函数至少有三个零点，，.
由函数的图象与性质，可知为偶数，且满足
得
所以，解得.
构造等差数列为：.
可知当时命题成立，即的最大值为.………………15分
分数
A图书频数
B图书频数
分数
评价指数
1
3
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
答案
B
C
B
A
D
A
C
B
B
A
+
极小值
0
1
+
2
极大值