安徽省合肥市长丰县2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷

2020-2021学年安徽省合肥市长丰县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共6题，每题4分，共24分）

1．要使有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x≥2 B．x＞0 C．x≥﹣2 D．x＞2

2．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤﹣＝，⑥（）（﹣）＝﹣1，其中结果正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0

4．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k满足（　　）

A．k≥0 B．k≤0且k≠﹣1 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0

5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）

A．9m B．14m C．11m D．10m

6．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　）

A．5 B． C．5或 D．以上都不对

二、填空题（共4题，每题5分，共20分）

7．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为　 　．

8．若实数a满足|2017﹣a|+＝a，则a﹣20172+1＝　     　．

9．某公司在2012年的盈利额为200万元，预计2014年的盈利额将达到242万元．若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2013年的盈利额为　    　万元．

10．如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为　              　m．

三、简答题（共6题，共56分）

11．计算：

（1）（+2）×；

（2）﹣++（﹣2）0+．

12．解方程：

（1）3x2﹣7x﹣10＝0；

（2）（x+1）（x+3）＝15．

13．已知a＝，求的值．

14．合肥百货大楼服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出4件．若要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

15．如图，正方形ABCD的边长为4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且CE＝BC，试说明：AF⊥EF．

16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：

（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）几秒后，PQ的长度等于2cm？

（3）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．

四、解答题（共1小题，满分0分）

17．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图形中，每一横行有　      　块瓷砖，每一竖列有　      　块瓷砖（均用含n的代数式表示）；

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为Y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．

参考答案

一、选择题（共6题，每题4分，共24分）

1．要使有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x≥2 B．x＞0 C．x≥﹣2 D．x＞2

【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

解：由题意得，x﹣2＞0，

解得，x＞2，

故选：D．

2．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤﹣＝，⑥（）（﹣）＝﹣1，其中结果正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

解：①（）2＝2，故①正确．

②＝2，故②错误．

③（﹣2）2＝12，故③正确．

④＝，故④错误．

⑤与不是同类二次根式，故⑤错误，

⑥（）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，故⑥正确．

故选：B．

3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．

解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B、它是分式方程，故此选项不符合题意；

C、该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；

D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．

故选：C．

4．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k满足（　　）

A．k≥0 B．k≤0且k≠﹣1 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0

【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．

解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，

∴，

解得：k≤0且k≠﹣1．

故选：B．

5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）

A．9m B．14m C．11m D．10m

【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，然后根据OC＝6米，得到DC＝4米，最后利用勾股定理得BC的长度即可．

解：如图，作BD⊥OC于点D，

由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，

∵OC＝6m，

∴DC＝4m，

∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），

∴大树的高度为5+5＝10（m），

故选：D．

6．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　）

A．5 B． C．5或 D．以上都不对

【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案．

解：∵|m﹣3|+＝0，

∴m﹣3＝0且n﹣4＝0，

则m＝3，n＝4，

当4是直角边时，斜边长＝＝5，

当4是斜边时，另一条直角边＝＝，

综上，第三条边长为5或，

故选：C．

二、填空题（共4题，每题5分，共20分）

7．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为　7　．

【分析】根据数轴可以求得a的取值范围，从而可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．

解：由数轴可得，

4＜a＜8，

∴

＝a﹣3+10﹣a

＝7，

故答案为：7．

8．若实数a满足|2017﹣a|+＝a，则a﹣20172+1＝　2019　．

【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．

解：由二次根式有意义的条件可知：a﹣2018≥0，

∴a≥2018，

∴2017﹣a＜0，

∵|2017﹣a|+＝a，

∴a﹣2017|+＝a，

∴a＝2018+20172，

∴a﹣20172+1＝2018+1＝2019，

故答案为：2019．

9．某公司在2012年的盈利额为200万元，预计2014年的盈利额将达到242万元．若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2013年的盈利额为　220　万元．

【分析】此题可通过设出营业额增长的百分率x，根据等量关系“2014年的营业额等于2012年的营业额乘（1+增长的百分率）乘（1+增长的百分率）”列出一元二次方程求解增长的百分率，再通过一元一次方程解得：2013年的盈利额等于2012年的营业额乘（1+增长的百分率）．

解：设盈利额增长的百分率为x，则该公司在2013年的盈利额为200（1+x）；

由题意得，200（1+x）2＝242，

解得x＝0.1或﹣2.1（不合题意，舍去），

故x＝0.1

∴该公司在2013年的盈利额为：200（1+x）＝220万元．

故答案为：220．

10．如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为　3+3　m．

【分析】由题意得，地毯的总长度为（AC+BC）．根据含30°直角三角形的性质求出AB的长，再根据勾股定理可求出BC的长，进而求得地毯的长度．

解：如图，

由题意得，地毯的竖直的线段加起来等于AC，水平的线段相加正好等于BC，

即地毯的总长度为（AC+BC），

在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3m，∠C＝90°，

AB＝2AC＝6m

∴BC＝＝3（m）

∴AC+BC＝3+3（m）．

故答案为：3+3．

三、简答题（共6题，共56分）

11．计算：

（1）（+2）×；

（2）﹣++（﹣2）0+．

【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；

（2）先根据二次根式的除法法则、二次根式的性质和零指数幂的意义计算，然后化简后合并．

解：（1）原式＝+2

＝+2

＝+6；

（2）原式＝3﹣+1++1+﹣1

＝+1．

12．解方程：

（1）3x2﹣7x﹣10＝0；

（2）（x+1）（x+3）＝15．

【分析】（1）利用因式分解法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，

∴（x+1）（3x﹣10）＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝．

（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，

∴（x﹣2）（x+6）＝0，

∴x1＝2，x2＝﹣6．

13．已知a＝，求的值．

【分析】先化简，再代入求值即可．

解：∵a＝，

∴a＝2﹣＜1，

∴原式＝﹣

＝a﹣1﹣

＝a﹣1+

＝2﹣﹣1+2+

＝4﹣1

＝3．

14．合肥百货大楼服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出4件．若要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

【分析】设每件童装应降价x元，则平均每天可售出（20+）件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．

解：设每件童装应降价x元，则平均每天可售出（20+）件，

依题意，得：（40﹣x）（20+）＝1200，

整理，得：x2﹣30x+200＝0，

解得：x1＝10，x2＝20．

∵要求尽快减少库存，

∴x＝20．

答：每件童装应降价20元．

15．如图，正方形ABCD的边长为4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且CE＝BC，试说明：AF⊥EF．

【分析】求出△AEF各边的长度，运用勾股定理逆定理解决．

解：∵CE＝BC，

∴CE＝1，BE＝3，

∵F是DC边的中点，

∴CF＝DF＝2，

在Rt△ABE中，∠B＝90°，

由勾股定理得：AE2＝32+42＝25，

在Rt△ECF中，∠C＝90°，

由勾股定理得：FE2＝12+22＝5，

在Rt△ADF中，∠D＝90°，

由勾股定理得：AF2＝42+22＝20，

∴AE2＝FE2+AF2，

∴AF⊥EF．

16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：

（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）几秒后，PQ的长度等于2cm？

（3）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．

【分析】当运动时间为ts（0≤t≤）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．

（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

（2）利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

（3）根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣3＜0可得出该方程没有实数根，进而可得出△PBQ的面积不能等于7cm2．

解：7÷2＝（s）．

当运动时间为ts（0≤t≤）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．

（1）依题意得：×2t×（5﹣t）＝4，

整理得：t2﹣5t+4＝0，

解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）．

答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．

（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝（2）2，

整理得：t2﹣2t﹣3＝0，

解得：t1＝3，t2＝﹣1（不合题意，舍去）．

答：3秒后，PQ的长度等于2cm．

（3）不能，理由如下：

依题意得：×2t×（5﹣t）＝7，

整理得：x2﹣5t+7＝0．

∵△＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0，

∴该方程没有实数根，

∴△PBQ的面积不能等于7cm2．

四、解答题（共1小题，满分0分）

17．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图形中，每一横行有　（n+3）　块瓷砖，每一竖列有　（n+2）　块瓷砖（均用含n的代数式表示）；

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为Y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．

【分析】根据图形表示每行每列瓷砖数，从而建立函数关系式和方程，完成相关计算和判断即可．

解：（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．

故答案为：n+3，n+2．

（2）由题意得：y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．

（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．

解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．

∴此时的n值为20．

（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．

黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．

∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．

（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：

当黑白瓷砖块数相等时，有：

n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．

∴n2﹣3n﹣6＝0．

解得：n＝或n＝．

∵n是整数．

∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．