数学-2021年高考高三5月全国大联考广东卷）含答案解析

这是一份数学-2021年高考高三5月全国大联考广东卷）含答案解析，共9页。试卷主要包含了已知均为正实数，则“”是“”的，设复数且，则下列结论正确的是，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021年高三5月大联考（广东卷）数  学本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则下列说法正确的是A．            B．C．            D．2．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是A．  B．     C．         D．3．的展开式的常数项是A．           B．          C．               D．4．已知函数是偶函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位         B．向右平移个单位C．向右平移个单位         D．向左平移个单位5．已知均为正实数，则“”是“”的A．充分不必要条件           B．充要条件 C．必要不充分条件               D．既不充分也不必要条件6．已知在四边形中，，，，，且的面积是则 A．     B．        C．    D．7．已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为A．     B．          C．    D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，直线过A点且与x轴垂直，P为直线上的任意一点，若，则的取值范围是A．       B．      C．      D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设复数且，则下列结论正确的是A．可能是实数       B．恒成立C．若,则      D．若，则10．已知函数，则下列说法正确的是A．函数在上单调递增       B．函数是奇函数C．函数有两个零点                D．曲线在原点处的切线方程为11．已知三棱锥的各顶点都在球上,点分别是的中点,平面，，，则下列结论正确的是A．平面B．球的体积是C．直线与平面所成角的正弦值是D．平面被球所截的截面面积是12．一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量，若，则___________．14．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均为1的六边形是某棱锥的侧面展开图，则该棱锥的内切球半径为___________．15．已知为等腰直角三角形,,圆为的外接圆,，则___________；若为圆上的动点,则的最大值为___________．（本题第一空2分，第二空3分）16．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.①②③如图，在边长为1的正方形中，点E,F分别在边上移动（不含端点），且______________，.（1）求的值；（2）求面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．（12分）已知数列中，，前项和为，且满足.（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求的前项和.19．（12分）学校食品安全问题关系着师生的身心健康，一直受到社会各界的高度关注. 为进一步加强学校食堂安全管理，某市卫生监督部门决定对本市所有学校进行一次食品安全抽查.某中学按照要求，将卫生监督部门当天检查的所售菜品取样分成甲、乙两组，甲组菜品有不同的荤菜份和不同的素菜份，乙组菜品有荤菜份和不同的素菜份，已知从甲组菜品中随机任取两份菜样，在第一次抽到素菜的条件下，第二次抽到荤菜的概率是.（1）求的值；（2）若卫生监督部门第一次从甲组中随机抽取一份菜样，从第二次抽样开始，若前一次抽到荤菜，则再从甲组中抽取一份；若前一次抽到素菜，则再从乙组中抽取一份，第三次抽样后结束，每次抽取菜样都不放回.已知荤菜检测费用为元/份，素菜检测费用为元/份，求本次抽查检测费用的分布列和数学期望.20．（12分）棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，正三棱锥中，三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，侧棱长是3，底面内一点P到侧面的距离分别为x，y，z.（1）求证：；（2）若，试确定点P在底面内的位置.21．（12分）设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线的离心率；（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.22．（12分）如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；（2）求证：当时，.   2021年高三5月大联考（广东卷）数学·全解全析123456789101112BDDCCCAABCADABDAB一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．B 【解析】由已知可得，，或，所以不是的子集，，，，故选B．2．D 【解析】因为，所以，故选D．3．D 【解析】∵∴常数项是，故选D．4．C 【解析】因为函数是偶函数，所以，因为，所以，所以，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可，故选C．5．C 【解析】取，则，但，所以由推不出；若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选C．6．C 【解析】∵∴∴，∴在中，由余弦定理得，∴，又由正弦定理得，∴，又，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴ 故选C.7．A 【解析】因为，所以，又，所以，解得，故，所以恒成立等价于恒成立，令，则，当时，；当时，；当时，，所以，所以，所以，即实数的最大值为，故选A．8．A 【解析】由题意可知，，直线的方程为，设直线，的倾斜角分别为，由椭圆的对称性，不妨设点P为第二象限的点，即，则，，当且仅当，即时取等号.，，且满足，则，，∴，则的最大值为，故的最大值是.当P为第二或第四象限的点时，的取值范围是；当P为x轴负半轴上的点时，.综上可知，的取值范围为，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．BC 【解析】对于选项A，若是实数，则，与已知矛盾，故A错误；对于选项B，由A知，所以，故B正确；对于选项C，，则，因为，所以，故C正确；对于选项D，，则，因为，所以，所以，故D错误，故选BC．10．AD 【解析】，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以选项A正确；，所以函数不是奇函数，选项B错误；当时，；当时，；当时，，又，画出函数的大致图象如图，可知函数只有一个零点,所以选项C错误；易知，所以曲线在原点处的切线方程为，选项D正确.故选AD.11．ABD 【解析】对于选项A，因为平面，所以,由，，可得，满足,所以,所以平面，故A正确；对于选项B，是和的公共斜边，所以中点即三棱锥外接球的球心，所以球的半径为，故球的体积为，故B正确；对于选项C，因为平面,所以即直线与平面所成的角，所以，故C错误；对于选项D，设点到平面的距离为，平面被球所截的截面圆的半径为，因为是的中位线，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故，易求得所以,即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确.故选ABD.12．AB 【解析】由题意知的图象过点和，所以直线， ，又和中和y的系数相同，且的图象过，所以.对于A，，所以A正确； 对于B，，，所以，选项B正确；对于C，，所以C错误；对于D，，，所以D错误.故选AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 【解析】随机变量，对称轴为，因为，所以，根据对称性可得，所以.14． 【解析】将图形还原得四棱锥，如图，设内切球的球心为O，半径为r，则有，即，解得.故答案为.15．2， 【解析】法1：由题意得，为BC的中点，E为AB的中点，以圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则∴∴设与轴正半轴的夹角为则.∴,∴，∴.故答案为2，.法2：由题意得为的中点，则所以∵∴                                                                             ，又，所以.故答案为2，.16． 【解析】因为，所以，所以或，当时，所以在上单调递增，在上的最大值为，且当趋向于0时，趋向于负无穷；当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取得极小值，即在上的最小值为且，作出函数的大致图象如图所示，方程有1个实数根，所以方程要有4个不同的实数根，则有3个不同的实数根，又当时，；当时，， 所以，即，所以a的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【解析】（1）选择①，即又，所以，即，（3分）根据题意知，所以.（4分）选择②，即 （2分）解得（3分）根据题意知，得. （4分）选择③，  根据题意知，所以（1分）又所以（2分）所以（3分）所以.（4分）（2）根据题意，易知（6分）.（8分）由得所以当，（9分）即时，的面积最小，为.（10分）18．（12分）【解析】因为所以，即，（1分）所以，（2分）且，所以是以为首项，为公差的等差数列，（3分）所以，所以 ①，（4分）所以 ②.①②得（5分）又，满足上式，所以（6分）（2）由（1）知，.（8分）所以（10分）      .（12分）19．（12分）【解析】（1）设第一次抽到素菜为事件A，第二次抽到荤菜为事件B，∴，，（2分）∵，∴.（4分）（2）解法一：设卫生监督部门抽样结束后，抽取荤菜的份数为，检测费用为，其中可以取，则的可能取值为180，200，220，240.（5分），（6分），（7分），（8分）.（9分）（此步骤部分对得1分，全对得4分）所以检测费用的分布列为                                                    （10分）所以检测费用的数学期望为（元）.（12分）解法二：设卫生监督部门抽样结束后，抽取荤菜的份数为，抽取素菜的份数为，检测费用为，其中可以取.（5分），（6分），（7分），（8分）.（9分）（此步骤部分对得1分，全对得4分）抽样结束后，抽取荤菜的份数的分布列为                                                               （10分）由题意可知，抽取素菜的份数为，检测费用，的可能取值为180，200，220，240， 所以检测费用的分布列为                                                    （11分）所以检测费用的数学期望为（元）.（12分）20．（12分）【解析】（1）在正三棱锥中，SA，SB，SC两两垂直且AB=BC=CA，P为底面ABC内的一点，连接PA，PB，PC，PS，如图，可将原三棱锥分成三个三棱锥，（1分）它们的高分别为，由，（3分）即，（4分）得（5分）（2）由，得.（6分）又，∴，∴，（10分）当且仅当时取等号（11分）.故当时，点P为正三角形的中心.（写成外心、内心、中心、重心、垂心中的任何一个都可得满分）（12分）21．（12分）【解析】（1）由轴时， 为等腰直角三角形，可得，（1分）所以，（2分）即，故，结合，解得.（3分）故双曲线的离心率为2.（4分）（2）因为，所以双曲线，显然直线l的斜率不为0，设直线，，，联立直线与双曲线的方程得，化简得，（5分）根据根与系数的关系，得，①（6分）所以，②，③ （7分）设直线，直线，令，可得，（8分）设是以为直径的圆上的任意一点，则，则以为直径的圆的方程为，（9分）由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，即,（10分）将①②③代入，可得，即,（11分）解得或，所以以为直径的圆过定点，. （12分）22．（12分）【解析】（1），令则，在上单调递增，（1分）又当时，，在上单调递增，（2分）又当时，，∴当时，，与在上均单调递增，∴在上是“链式函数”. （3分），令，则，∴在上单调递减，（4分）又当时，，∴在上单调递减，（5分）又当时，，∴当时，，与在上均单调递减，∴在上是“链式函数”.  （6分）（2）当时，由（1）知，所以，又由（1）知，所以，（7分）两式相加得，即，（8分） 令，（9分）则，（10分） 所以在上单调递增，（11分）则当时，，即，∴当时，，故当时，.（12分）