2021届上海市高考数学押题密卷06

这是一份2021届上海市高考数学押题密卷06，共24页。

2. 若为实数，且为纯虚数（其中是虚数单位），则 ．
3. 在的展开式中，含项的系数为 ．
4. 设满足约束条件，则的最大值是 ．
5. 已知定义在上的函数的周期为4，当时，
，则 ．
6. 设，，且，则的最小值为 ．
7. 已知数列，均为正项等比数列，，分别为数
列，的前项积，且，则的值为 ．
8. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为 ．
9. 设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，，，，且，的
斜率，满足，则的最小值为 ．
10. 已知函数，若方程有且只有2个不相等的实数解，则实
数的取值范围是 ．
11. 考察等式：，其中，且．某
同学用概率论方法证明等式如下：
设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品．现从中随机取出件产品，
记事件{取到的件产品中恰有件次品}，则，0，1，2，…，．
显然，，…，为互斥事件，且（必然事件），
因此，
所以，即等式成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式成立 ②等式不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号 ．
12. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，向量的斜坐标为．给出以下结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．
其中所有正确的结论的序号是 ．
二. 选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. “”是“直线与平行”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点离地面1米，
点在地面上的射影为．风车圆周上一点从最低点开始，逆时针方向旋
转40秒后到达点，则点到点的距离与点的高度之和为（ ）
A. 5 B. C. D.
15. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的
个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
16. 数列{an}中，a1＝，an+an+1＝，n∈N*，则（a1+a2+…+an）等于（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题（本大题共5小题，第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）
17. 如图，在等腰梯形中，，，，，将沿折
起，使平面平面．
（1）若是侧棱中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知定义在上的函数．
（1）若是奇函数，求函数的零点；
（2）是否存在实数，使在上调递减且在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
19. 如图，在道路边安装路灯，路面宽，灯柱高，灯杆与地面所成角为30°．路
灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，轴线，灯杆都在灯柱和路面宽线确定
的平面内．
（1）当灯杆长度为多少时，灯罩轴线正好通过路面的中线？
（2）如果灯罩轴线正好通过路面的中线，此时有一高的警示牌直立在处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．
20. 已知椭圆的一焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等边三角形，直线与椭圆的两交点间的距离为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
21. 若数列，，…，满足：①；②；③任意
项的算术平均值是整数，则称数列为“数列”．
（1）若数列为“数列”，写出所有可能的；
（2）是否存在正整数，使得为“数列”？若存在，请写出一
组并验证，若不存在，请说明理由；
（3）若“数列”中，，，…，中，，，求的最大值．
高中数学押题卷参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1. 已知集合，，则 ．
答案：．
2．（4分）若a为实数，且为纯虚数，设i是虚数单位，则a＝ ﹣2 ．
【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用纯虚数的定义求解即可．
【解答】解：因为为纯虚数，
则a+2＝0，所以a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数的除法运算以及纯虚数定义的理解，属于基础题．
3．（4分）在（x+2）2（x+1）7的展开式中，含x4项的系数为 301 ．
【分析】把（x+2）2和（x+1）7分别利用二项式定理展开，可得含x4项的系数．
【解答】解：（x+2）2（x+1）7＝（x2+4x+4）（x7+7x6+21x5+35x4+3533+21x2+7x+1），
故它的展开式中，含x4项的系数为 21+4×35+4×35＝301，
故答案为：301．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
4．（4分）设x，y满足约束条件，则z＝的最大值是 1 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：
z＝的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，
由图象知AE的斜率最大，其中A（0，1），
则z＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义，数形结合是解决本题的关键．
5．（4分）已知定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，则f（﹣lg36）+f（lg354）＝ ．
【分析】直接利用函数的周期和函数的关系式的变换的应用求出结果．
【解答】解：定义在R上的函数f（x）的周期为4，当x∈[﹣2，2）时，，
所以f（lg354）＝f（lg354﹣4）＝f（），
所以f（﹣lg36）＝，
f（lg354）＝f（）＝，
所以：f（﹣lg36）+f（lg354）＝+＝＝．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质周期性的应用，函数的关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
6．（4分）设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为 ．
【分析】由已知先用b表示a，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，
所以a＝，
因为a＞0，
所以0＜b＜1，
a+b＝＝＝，
当且仅当，即b＝，a＝时取等号，
则a+b的最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
7．（5分）已知数列{an}，{bn}均为正项等比数列，Pn，Qn分别为数列{an}，{bn}的前n项积，且＝，则的值为 ．
【分析】依题意，利用等比数列的运算性质可分别求得数列{an}，{bn}的首项与公比，从而可得答案．
【解答】解：数列{an}，{bn}均为正项等比数列，它们的公比分别为q、m，
Pn，Qn分别为数列{an}，{bn}的前n项积，
∵＝＝＝＝＝，∴lnb1﹣lnm＝0，lnm＝2，解得m＝e4，b1＝e2；
由lna1﹣lnq＝﹣7，lnq＝5，解得a1＝e﹣2，q＝e10；∴a3＝e﹣2•（e10）2＝e18，b3＝e2•e8＝e10
则＝＝，故答案为：
【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了指数函数与对数函数的应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为 ．
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC是以角C为直角的等腰直角三角形，PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，证明PB的中点为外接球的球心，进一步求得半径，代入球的体积公式求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC是以角C为直角的等腰直角三角形，
PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，
由PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，取PB中点O，则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，
∴半径R＝＝．
∴这个几何体的外接球的体积为．
故答案为：．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查多面体外接球体积的求法，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
9．（5分）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的两条直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D，且l1，l2的斜率k1，k2满足k12+k22＝2，则|AB|+|CD|的最小值为 8 ．
【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，分别设出两直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及抛物线弦长公式求得|AB|，|CD|，作和后利用基本不等式求最值．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（），
设直线l1：（k1≠0），直线l2：（k2≠0），
联立，整理得．设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得．
由抛物线的性质可得：|AB|＝2+，|CD|＝2+，
又∵k12+k22＝2，
∴|AB|+|CD|＝4+＝4+．
∴|AB|+|CD|的最小值为8．故答案为：8．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
10．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣k|x﹣1|＝0有且只有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是 （﹣2，﹣]∪（﹣1，2） ．
【分析】通过分类讨论得到g（x）＝f（x）﹣kx﹣1的解析式，通过零点在（0，1）或[1，+∞）可求得k的范围，得k∈（﹣）时，g（x）在（0，+∞）上有一个零点；当k∈（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）时，g（x）在（0，+∞）上无零点；则讨论x≤0时，g（x）有一个零点和两个零点时k的取值范围，综合x＞0时的结论，可得结果．
【解答】解：当x≤0时，f（x）﹣k|x﹣1|＝x2+4x﹣1﹣k（1﹣x）＝x2+（4+k）x﹣k﹣1，
当0＜x＜1时，f（x）﹣k|x﹣1|＝2x﹣3﹣k﹣k（1﹣x）＝（k+2）x﹣3﹣2k，
当x≥1时，f（x）﹣k|x﹣1|＝2x﹣3﹣k﹣k（x﹣1）＝（2﹣k）x﹣3，
设g（x）＝f（x）﹣kx﹣1，则g（x）＝，
f（x）﹣k|x﹣1|＝0有且只有2个不相等的实数解等价于g（x）有且仅有2个零点，
若g（x）一个零点位于（0，1），即0＜，等价于k∈（﹣），
若g（x）一个零点位于[1，+∞），即，解得k∈[﹣1，2）．
可知g（x）在（0，1），[1，+∞）内不可能同时存在零点，
即当k∈（﹣，2）时，g（x）在（0，+∞）上有一个零点；
当k∈（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）时，g（x）在（0，+∞）上无零点，
①当g（x）在（﹣∞，0]上有且仅有一个零点时，
（1）当△＝（4+k）2+4（k+1）＝0时，k＝﹣2或k＝﹣10，
此时g（x）在（0，+∞）上无零点，∴不满足g（x）有两个零点．
（2）当△＝（4+k）2+4（k+1）＞0，即k＜﹣10或k＞﹣2时，
只需g（0）＝﹣k﹣1＜0，即k＞﹣1，
∴k＞﹣1时，g（x）在（﹣∞，0）上有且仅有一个零点，
∵k∈（﹣，2）时，g（x）在（0，+∞）上有一个零点，
∴k∈（﹣1，2）时，g（x）有且仅有2个零点．
②当g（x）在（﹣∞，0）上有两个零点时，
只需，解得k∈（﹣2，﹣1]，
∵k∈（﹣]∪[2，+∞）时，g（x）在（0，+∞）上无零点，
∴k∈（﹣2，﹣]时，g（x）有且仅有2个零点，
综上所述：k∈（﹣2，﹣]∪（﹣1，2）．
【点评】本题考查根据函数零点的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够通过对二次函数图象的讨论，构造出在区间内有一个零点和两个零点的不等式，解不等式求得参数范围，本题对学生对于函数图象的理解有较高的要求．
11．（5分）考察等式：（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n﹣m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak＝{取到的r件产品中恰有k件次品}，则，k＝0，1，2，…，r．
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω（必然事件），
因此1＝P（Ω）＝P（A0）+P（A1）+…P（Ar）＝，
所以，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号 ①③ ．
【分析】构造概率模型，从中随机取出r件产品，记事件Ak＝{取到的产品中恰有k件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根据A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω（必然事件），即可判断．
【解答】解：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n﹣m件为正品．
现从中随机取出r件产品，记事件Ak＝{取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有种情况，又从中随机取出r件产品，共有种情况，k＝0，1，…，r，故其概率为，k＝0，1，…，r．
∵A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω（必然事件），
因此1＝P（Ω）＝P（A0）+P（A1）+…P（Ar）＝，
所以∁m0Cn﹣mr+∁m1Cn﹣mr﹣1+…+∁mrCn﹣m0＝∁nr，即等式（*）成立．
从而可知正确的序号为：①③
故答案为：①③
【点评】本题以概率为依托，证明组合中的等式问题，解题的关键是构造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，题目新颖．
12．（5分）如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴正方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y），向量的斜坐标为（x，y）．给出以下结论：
①若θ＝60°，P（2，﹣1），则||＝；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2），则；
③若P（x，y），λ∈R，则λ；
④若，，则；
⑤若θ＝60°，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy﹣1＝0．
其中所有正确的结论的序号是 ①②③⑤ ．
【分析】在①中，||＝＝＝；在②中，＝+＝（x1+x2）+（y1+y2）；在③中，＝＝；在④中，＝（）•（）＝x1x2+y1y2+（x1x2+y1y2）（）；在⑤中，设P（x，y），则＝1，化为x2+y2+2xycs60°＝1，从而满足条件的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy﹣1＝0．
【解答】解：①∵θ＝60°，P（2，﹣1），
∴||＝＝＝，故①正确；
②∵P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴＝+＝（x1+x2）+（y1+y2），
∴，故②正确；
③∵P（x，y），λ∈R，
∴＝＝，
∴λ，故③正确；
④＝（）•（）
＝x1x2+y1y2+（x1x2+y1y2）（），故④错误；
⑤若θ＝600，以O为圆心，1为半径的圆满足||＝1，
设P（x，y），则＝1，
化为x2+y2+2xycs60°＝1，
∴x2+y2+xy﹣1＝0．
故满足条件的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy﹣1＝0．故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，正确理解斜坐标系定义和掌握数量积得运算公式是解题的关键．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）“a2＝1”是“直线x+ay＝1与ax+y＝1平行”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线平行的等价条件求出a的值，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当a＝0时，两直线分别为x＝1与y＝1，此时两直线不平行，
当a≠0时，若两直线平行，则≠，
由得a2＝1，得a＝1或a＝﹣1，
当a＝1时，≠，不成立，
当a＝﹣1时，≠，成立，即a＝1，
则“a2＝1”是“直线x+ay＝1与ax+y＝1平行”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件求出a的值是解决本题的关键，是基础题．
14．（5分）如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为（ ）
A．5B．4C．4D．4
【分析】以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2m，圆上最低点O离地面1米，12s秒转动一圈，我们易得到到f（t）与t间的函数关系式，求出P的坐标，即可求出点P到点A的距离与点P的高度之和．
【解答】解：以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2m，圆上最低点O离地面1米，12s秒转动一圈，
设∠OO1P＝θ，运动t（s）后与地面的距离为f（t）．
又T＝12，∴θ＝t，∴f（t）＝3﹣2cst，t≥0；
风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，θ＝6π+π，P（，1）
∴点P的高度3﹣2×（﹣）＝4
∵A（0，﹣3），∴AP＝＝，
∴点P到点A的距离与点P的高度之和为4+．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解答的关键．
15．（5分）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（ ）
A．4∈M，6∉MB．5∉M，6∉MC．4∉M，6∈MD．5∉M，6∈M
【分析】由题意写出满足条件的顶点个数m的所有可能取值，再判断是否的选项．
【解答】解：如图所示，由题意知，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d（d＞0），
满足条件的顶点个数为m，则m的所有可能取值为0，1，2，4，6，8．
∴5∉M，6∈M．
故选：D．
【点评】本题考查了空间中的点、线与面之间的关系应用问题，是中档题．
16．（5分）数列{an}中，a1＝，an+an+1＝，n∈N*，则（a1+a2+…+an）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】2（a1+a2+…+an）＝a1+[（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）]+an＝+[++…+]+an．由此能够导出（a1+a2+…+an）的值．
【解答】解：2（a1+a2+…+an）
＝a1+[（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）]+an
＝+[++…+]+an．
∴原式＝[++an]＝（++an）．
∵an+an+1＝，∴an+an+1＝0．∴an＝0．
故选：C．
【点评】本题考查数列的极限和求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）如图，在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若M是侧棱PB中点，求证：CM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）若M是侧棱PB中点，根据线面平行的判定定理即可证明CM∥平面PAD；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）在梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，AD⊥PB，
∴AB＝2，PA＝1，AD＝1，
取PA的中点N，连接MN，AN，则MN∥AB∥CD，且MN＝CD＝1，
则四边形MNDC为平行四边形，则CM∥DN，
∵CM⊄平面PAD，DN⊂平面PAD，∴CM∥平面PAD；
（2）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，PA⊂面PAD∴PA⊥面ABCD，
建立以A为坐标原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
则＝（0，2，﹣1），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），
设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），则由，
令x＝1，则z＝1，即＝（1，0，1），
直线PB与平面PCD所成角的正弦值sinθ＝|cs＜，＞|＝||＝||＝＝．
【点评】本题主要考查线面平行的判定，以及直线和平面所成角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决线面所成角的常用方法．
18．（14分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；
（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由奇函数的定义可求得k，令y＝f（x）+f（2x）＝0即可求得零点；
（2）对k分类讨论，由复合函数的单调性及对勾函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，
所以f（x）＝2x﹣2﹣x，
令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，
即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，
所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，
即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．
（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；
当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），
因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，
所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，
所以≤≤4，
解得≤k≤16，
故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，属于中档题．
19．（14分）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．
（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？
（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．
【分析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，
利用坐标表示点B和C，写出AB、AC的方程，求出点A的坐标，再求|AB|的值；
（2）设警示牌为CM，写出直线AM的方程，求出CM的影子长度CN的值．
【解答】解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示；
灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…①
因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，
可设CH的斜率为kAN，则kAN＝﹣，
又C（6，0），所以直线AC的方程为：y＝﹣（x﹣6），…②
由①②组成方程组，求得点A（，15）；所以|AB|＝＝2，
即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；
（2）设警示牌为CM，且CM⊥OD，
则M（6，2.5），A（，15），
所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣2.5），
令yN＝0，解得xN＝7，
所以CN＝7﹣6＝，
所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m．
【点评】本题考查了阅读理解能力和数学建模能力以及运算求解能力的应用问题，也考查了直线方程以及直线与直线的位置关系应用问题．
20．（16分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝1与椭圆C的两交点间的距离为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
（3）在（2）的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a2＝4b2，由椭圆过点（4，1），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用点到直线距离公式（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+（y02﹣4）＝0，同理求得：（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+（y02﹣4）＝0，则k1，k2是方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+（y02﹣4）＝0的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得k1•k2为定值；
（Ⅲ）将直线OP和OQ的方程，代入椭圆方程，即可求得P和Q点坐标，根据两点之间的距离公式|OP|2+|OQ|2＝x12+y12+x22+y22，由k1•k2＝﹣，即可求得|OP|2+|OQ|2为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a2＝4b2，
由直线过点（4，1），代入，解得：b2＝5，则a2＝20，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）证明：由直线OP：y＝k1x，直线OQ：y＝k2x，
由直线OP为圆R的切线，
＝2，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+（y02﹣4）＝0，
同理可得：（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+（y02﹣4）＝0，
∴k1，k2是方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+（y02﹣4）＝0的两个不相等的实根，
由x02﹣4≠0，△＞0，
则k1•k2＝，
由R（x0，y0）在椭圆上，即y02＝5﹣x02，
∴k1•k2＝＝＝﹣，
∴k1•k2为定值﹣；
（Ⅲ）经判断|OP|2+|OQ|2为定值，
（i）由直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，解得，
∴x12+y12＝，
同理，得x22+y22＝，…13分
由k1•k2＝﹣，
得|OP|2+|OQ|2＝x12+y12+x22+y22＝+，
＝+＝+＝＝25，
∴丨OP丨2+丨OQ丨2为定值，定值为25．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
21．（18分）若数列A：a1，a2，…，an（n＞3）满足：①a1＜a2＜…an；②ai∈N*（i＝1，2，…，n）；③任意n﹣1项的算术平均值是整数，则称数列A为“Z﹣数列”．
（I）若数列1，x，y，13为“Z﹣数列”，写出所有可能的x，y；
（II）是否存在正整数b1，b2，b3，b4，b5，b6，使得，，，，，为“Z﹣数列”？若存在，请写出一组b1，b2，b3，b4，b5，b6并验证，若不存在，请说明理由；
（III）若“Z﹣数列”中，A：a1，a2，a3，…an中，a1＝1，an＝2017，求n的最大值．
【分析】（I）由新定义可得1，13被3除余数为1，则x，y均为3的倍数余1的数，即可得到所求；
（II）假设存在正整数b1，b2，b3，b4，b5，b6，讨论2的整数次幂的个位数的情况，结合新定义，即可得到所求数列；
（III）分析2016的因数情况，讨论数列中2017前一项的特点，由1+（n﹣1）（n﹣2）＜2017，解不等式可得n的范围，进而得到n的最大值．
【解答】解：（I）若数列1，x，y，13为“Z﹣数列”，
则x+y+13＝3k，1+y+13＝3m，1+x+13＝3n，1+x+y＝3t，
其中x，y，k，m，n，t为正整数，2≤x＜y≤12，
可得x＝4，y＝7；或x＝7，y＝10；或x＝4，y＝10；
（II）假设存在正整数b1，b2，b3，b4，b5，b6，
使得，，，，，为“Z﹣数列”，
由“Z﹣数列”可得b1＜b2＜b3＜b4＜b5＜b6，
且2n（n∈N*）的个位数可能为2，4，8，6，
由“Z﹣数列”可得删去一个数后，剩余的5个数的和为5的倍数，
由于个位数为偶数，不可能为5的情况，只能为0，
故存在这样的数列，可以为1，5，9，13，17，21，使得2，25，29，213，217，221，
可得它们的个位数均为2，删去任一个数，剩余5个数的和均能被5整除，符合题意；
（III）若“Z﹣数列”中，A：a1，a2，a3，…an中，a1＝1，an＝2017，
若n＝4，可得1，a2，a3，2017，
由于1，2017被3除，余数均为1，则a2，a3均被3除，余数为1，
可得1，4，7，2017，…，1，2011，2014，2017满足题意；
若n＝5，可得1，a2，a3，a4，2017，
由于1，2017被4除，余数均为1，
则a2，a3，a4被4除，余数为1，
可得1，5，9，13，2017，…，1，2005，2009，2013，2017；
若n＝6，可得1，a2，a3，a4，a5，2017，
由于1，2017被5除余数分别为1，2，则这种情况不符合新定义；
若n＝7，可得1，a2，a3，a4，a5，a6，2017，
由于1，2017被6除余数分别为1，则这种情况符合新定义；
若n＝8，可得1，a2，a3，a4，a5，a6，2017，
由于1，2017被7除余数分别为1，则这种情况符合新定义；
若n＝9，可得1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，2017，
由于1，2017被8除余数分别为1，则这种情况符合新定义；
若n＝10，可得1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，2017，
由于1，2017被9除余数分别为1，则这种情况符合新定义；
若n＝11，可得1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，2017，
由于1，2017被10除余数分别为1，7，则这种情况不符合新定义；
同理可得，n＝12，由于1，2017被11除余数分别为1，4，则这种情况不符合新定义；
n＝13时，由于1，2017被12除余数分别为1，则这种情况符合新定义；
可得符合新定义的数列中2017前面的一项为1+（n﹣1）（n﹣2），
由1+（n﹣1）（n﹣2）＜2017，
解得＜n＜，
可得n不超过46．
由2016＝25×32×7，
可得n＝37，由于1，2017被36除余数分别为1，则这种情况符合新定义，
且a35＝1+36×35＝1261，
则n的最大值为37．
【点评】本题新定义的理解和运用，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于难题．
声明：试题解析著作权属网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/22 12:20:05；用户：忆苦へ忆甜；邮箱：75749279@qq.cm；学号：1302930