陕西省宝鸡市2021届高三下学期第六次适应性训练理科数学试题

这是一份陕西省宝鸡市2021届高三下学期第六次适应性训练理科数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．中，角的对边分别为，则“”是“A为锐角”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
6．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．已知F是抛物线的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于两点，若为等边三角形，则的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
8．在边长为3的等边中，点E满足，则（ ）
A．9 B． C．6 D．
9．已知数列中，，若，设，若，则正整数m的最大值为（ ）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
10．函数，关于x的方程恰有四个不同实数根，则正数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若方程的4个不同实根从小到大依次为，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知等差数列是递增数列，是的前n项和，若是方程的两个根，则的值为_______．
14．的展开式中的系数为________．
15．在三棱锥中，为的中点，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
16．已知直线分别与直线和曲线相交于点，则线段长度的最小值为_______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）的内角的对边分别为，已知．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，且分别为棱的中点．
（1）证明：直线与共面，并求其所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）某市两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，点p为W的上顶点，点Q在W上，，且．
（1）求W的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆W交于两点，垂直于的直线过且与椭圆W交于两点，若，求．
21．（12分）已知．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程（t为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）求C上的点到距离的最小值．
23．（10分）【选修不等式选讲】
已知为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
2021年高三6理科数学参考答案
一、选择题：
1．C 2．D 3．C 4．A 5．A 6．A 7．D 8．C 9．B 10．D 11．D 12．D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】24 14．【答案】16 15．【答案】 16．【答案】
三、解答题：
17．（12分）
【解析】（1）由题设及正弦定理得．因为，所以由，可得，故．因为，
故，因此．
（2）由题设及（1）知．由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，由（1）知，所以，故，从而．因此，面积的取值范围是．
18．（12分）
【解析】（1）证明：分别是的中点，，
由棱柱性质易得，
四点共面，即直线与共面得证．
取中点为H，连结，易知四边形为平行四边形，
故，则为直线与所成角，
，
在中，，
，
即直线与所成角的余弦值为．
（2）由题意，直线两两相互垂直，如图所示建立直角坐标系，C为坐标原点，
有，设，
则，
要使平面，则，
即，解得，即，
故在棱上存在点M，使得平面，且．
19．（12分）
【解析】（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为．因此，A中学至少1名学生入选的概率为．
（2）根据题意，X的可能取值为．
，
所以X的分布列为：
因此，X的期望为，
．
20．（12分）【解析】（1）设椭圆W的焦距为，
的坐标为，
在W上，将代入，得，
又．
又的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；
当直线的斜率为0时，，也不符合题意．
可设直线的方程为，
联立，得，
则．
．
由，得或．
又，
到直线的距离
21．（12分）【解析】（1）解：的定义域为
又由得
当时，
当时，
的减区间为：，增区间为：
（2）证明：方法一：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知
令，则，
当时，减函数；当时，增函数．
所以．
因为．所以的值域为
问题等价于直线和有两个不同的交点．
，且
所以，从而．
令，则，解得
，而
下面证明时，，
令，
则
令，则
在为减函数，
在为减函数，
在为减函数，，即．
方法二：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以．
因为有两个零点，即，得．
因为实数是的两个根，
所以，从而．
令，则，变形整理
要证，则只需证，即只要证，
结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
因为，所以只要证，整理得．
令，则，
所以在上单调递减，即，
所以成立，故成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修坐标系与参数方程】
【解析】（1）由直线的参数方程消参数t，有，
即的普通方程为，
由，得，
则，化简得．
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，），
则C上的点到距离，
整理得，
故当时，即C上的点到直线距离最小，最小值为．
23．（10分）【选修不等式选讲】
【解析】（1），
，
又由均值不等式，得，
则，
，即（当且仅当时等号成立）．
（2）法一：，
，则
，
又由均值不等式得，同理可得，
则，当且仅当时等号成立，得证．
法二：，得
（当且仅当时等号成立）．
X
1
2
3
P