湖北省黄冈市麻城市2021届高三下学期第四次模拟数学试题

高中2021届高三年级五月模拟（四）

数学试卷

命题人：叶飞     审题人：金修宏

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数，则（    ）

A． B． C．2 D．

2．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．的展开式中的系数为（    ）

A．12 B．60 C．72 D．720

4．已知函数的图象如图所示，则的大致图象为（    ）

A           B

C          D

5．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但它却是个定值，它可以通过方程求得．类似上述过程，则（    ）

A． B．4 C．3 D．3或

6．设，，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．在平面四边形中，，若的取值范围是，则的长为（    ）

A  B． C．1 D．2

8．设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ）

A． B．1 C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知命题，，，则（    ）

A．是真命题  B．是真命题

C．是真命题  D．的否定为“，”

10．已知点为外接圆的圆心，，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（    ）

A．  B．

C．的前项和 D．的前项和为

12．已知函数的图象关于点对称，且其图象与直线的交点中有两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在已知空间四边形中，，分别是，的中点，若，且异面直线与所成的角为，则与所成角大小的取值集合为          ．

14．已知在中，角，，的对边分别为，，，若该三角形的面积为，且，则角，的大小分别是          ，          ．

15．已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，过作轴的垂线，垂线交该双曲线的一条渐近线于点，在另一条渐近线上取一点，使得，若，则双曲线的离心率为          ．

16．已知其中，若方程在上有4个不同的根，则的取值范围为          ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（10分）

设的内角，，所对边分别为，，，且有．

（1）求角的大小；

（2）若，，为的中点，求的长．

18．（12分）

在正项等比数列中，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

19．（12分）

如图，已知平面平面，平面平面，，，，．

（1）求证：；

（2）若是线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的取值范围．

20．（12分）

为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布表，其中．

（1）若按照分层抽样从，中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记分数在的人数为，求的分布列与数学期望；

（2）以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取人作调查，记成绩在，的人数为，若，求的最大值．

21．（12分）

已知抛物线．

（1）设为抛物线上横坐标为1的定点，为圆上的上的动点，若抛物线与圆无公共点，且的最小值，求的值；

（2）设直线交抛物线于，两点，另一条直线交抛物线于，两点，交于点，且直线，的斜率均存在，（为坐标原点），四边形的四条边所在直线都存在斜率，直线的斜率不等于0，求证：（，分别为直线，的斜率）

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）讨论函数在区间上零点的个数．

（参考数据：）

高中2021届高三第四次模拟考试数学答案

1．A  依题知，，

所以，故选A．

2．C  因为，，

所以．

3．C  因为，

所以的展开式中的系数为，故选C．

4．D  由已知得，所以，所以，排除A，B；

，排除C；所以选D．

5．C  令，两边立方得，

解得或（舍去），故选C．

6．B  因为，所以，所以，

因为函数，在上单调递增且，所以．

7．D  设，如图，延长，交于点，平移，

当且仅当经过点时，，所以，

当且仅当经过点时，，所以，

以上两式相乘得，．

8．B  在上恒成立，即为在上恒成立，

令，，

若，则，可得在递增，

当时，，不等式在上不恒成立，故．

当时，取得最大值，

则，则．

令，，，

可得当时，，，则的最小值是．故选B．

9．ACD  由已知得，为真命题，为假命题，为真命题，的否定为“”，所以选ACD．

10．BD  令，则，所以（舍）或，

所以，所以．

11．BC  令，

所以，

当时，，所以数列为数列的子数列，

所以，所以的前项为．

12．BCD  的最小值为，

且其图象与直线的交点中有两个交点的横坐标为，

的最小值为时，所以，所以．

又的图象关于点对称，所以，

所以，所以．故选BCD．

13．  如图所示，取的中点，连接，，

所以，，因为与所成的角为，

所以或，因为，所以，

所以或，与所成角的大小为或．

14．  据题意知，，所以．

又，所以．因为，

所以，所以．

又，所以，所以．

15．  设双曲线的半焦距为，且不妨设．

据知，，

所以直线的方程为，据

得，又，

所以，所以，

所以双曲线的离心率．

16．  由函数的解析式可知，当时函数的周期为2，

作出函数的示意图（图略）得，

方程在上有4个不同的根等价于

解得．

17．解：（1）由题设知，，

因为，所以．

由于，故．

（2）因为，

所以，所以．

因为为的中点，所以，，

所以．

18．解：（1）正项等比数列，中，，

设公比为，则，所以

解得，．

所以数列的通项公式为．

（2），

所以

则

．

19．（1）证明：如图①：在平面内取一点为，

作，，垂足分别是，，

因为平面平面，交线是，

所以平面，所以．

同理．

因为，都在平面内，

所以平面，

因为平面，

所以．

（2）解：如图②，以为原点，，分别为，轴建立空间坐标系，

因为，，

所以，所以，

又，，交于点，所以平面，

即平面的法向量为，

因为，，

所以，

设，又，

所以，

设直线与平面所成角为，

所以．

20．解：（1）依题意，所以．

又，所以，．

分数在和的员工分别被抽取了2人和6人，

所以的可能取值为2，3，4．

，，，

所以的分布列为

所以．

（2）依题意，知，

由，得，

解得，故所求的的最大值为10．

21．解：（1）据题意，得，

所以（舍）或．

证明：（2）设，，，，

又，所以，

所以，

所以．

设过点的直线方程为．

据得，

所以．

同理可得．

所以

．

22．解：（1），

．

令，解得，

在区间上单调递减；

令，则，

解得，
在区间上单调递增．

（2），

．

令，则．

，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

即在上单调递增，在上单调递减．

，，

讨论：

当时，，，

，使得，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减．

又，．

又，函数的图象在区间上不间断，

当时，在区间上有且只有一个零点；

当时，．

又，

，，使得，，

当或时，；当时，．

在区间和区间上均单调递减，在区间上单调递增．

又，．

，

．

又，函数的图象在区间上不间断，

在和上各有一个零点，

即当时，在上有两个零点．

综上，当时，在区间上有且只有一个零点；

当时，在区间上有两个零点．