2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（14）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（14）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．复数的虚部为　　

A． B．1 C． D．

3．是评估空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即月均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标．某地区2020年1月至12月的月均值（单位：的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是　　

A．该地区一年中空气质量超标的月份只有1个月 

B．该地区一年中月均值2月到7月的方差比8月到11月的方差大 

C．该地区上半年中月均值的平均数约为61.83 

D．该地区从2月份到7月份值持续增加

4．已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是　　

A． B． C． D．

5．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为　　

A． B． 

C． D．

6．2020年既是全面建成小康社会之年，又是脱贫攻坚收官之年，某地为巩固脱贫攻坚成果，选派了5名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的选派方法数有　　种

A．25 B．60 C．90 D．150

7．已知，，，为球的球面上的四个点，，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为　　

A． B． C． D．

8．如图，正三角形的边长为4，，，分别在边，和上（异于端点），且为的中点．若，则四边形的面积为　　

A． B． C． D．无法确定

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

10．设，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

11．已知数列的前项和为　　

A．若，则是等差数列 

B．若，则是等比数列 

C．若是等差数列，则 

D．若是等比数列，且，，则

12．若直线与曲线满足以下两个条件：点，在曲线上，直线方程为；曲线在点，附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列选项正确的是　　

A．直线在点处“切过”曲线 

B．直线在点处“切过”曲线 

C．直线在点处“切过”曲线 

D．直线在点处“切过”曲线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知某省2020年高考理科数学平均分近似服从正态分布，则　    ．

附：，

14．已知正数、满足，则的最小值为    　．

15．在中，，，若的面积为2，则　　．

16．已知，分别是椭圆的下顶点和左焦点，过且倾斜角为的直线交椭圆于点（异于点，且的周长为，则的面积为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在平面四边形中，，，，，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的长．

18．已知数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为．

（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？

（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？

20．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示，设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且．

（1）证明：是线段的中点；

（2）求二面角的余弦值．

21．设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，在、上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

（1）求、的标准方程；

（2）过的焦点作斜率为的直线，与交于、两点，与交于、两点，若，求直线的方程．

22．已知函数，．

（1）若，求曲线在点，（1）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若对任意，，求整数的最小值．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（14）答案

1．解：，，

，，．

故选：．

2．解：，

复数的虚部为1．

故选：．

3．解：对于，该地区一年中空气质量超标的月份只有6月份这1个月，选项正确；

对于，该地区2月到7月的数据为55，45，56，65，68，82，53，

8月到11月的数据为46，42，36，2月到7月的数据波动性大些，所以方差大，选项正确；

对于，计算月份的月均值为，选项正确；

对于，该地区从2月份到6月份值持续增加，7月份减少，所以选项错误．

故选：．

4．解：对于与互相推不出是既不充分也不必要条件，

对于 是充要条件，

对于是充要条件，

对于：若，得，则，反之不成立，即是成立的充分不必要条件，

故选：．

5．解：由题意，在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，圆的圆心在上，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），与圆交于，，

所以，，，

所以，满足双曲线的定义，

是双曲线的右支，除去点，

故选：．

6．解：根据题意，分2步进行分析：

①将5名工作人员分为3组，

若分为的三组，有种分组方法，

若分为的三组，有种分组方法，

则有种分组方法，

②将分好的三组全排列，安排到、、三个村调研，有种情况，

则有种选派方法，

故选：．

7．解：球的表面积为，设球的半径为，可得，解得，

底面三角形 的外接圆的半径为，，解得，

如图，底面三角形的外心为，可知底面三角形是正三角形时，到 的距离球的最大值，面积的最大值为：，与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高取得最大值，，

所以棱锥的体积的最大值为：．

故选：．

8．解：设，，在中，由正弦定理可得，则，

在中，，由正弦定理可得，

，

所以，

又四边形的面积为，

所以四边形的面积为．

故选：．

9．解：对于，故正确；

对于，故错误；

对于，故正确；

对于，故错误；

故选：．

10．解：对于，

，故错误；

令，可得，

再令，可得①，故，故错误；

令，可得②，

故①②除以2可得，，故正确；

对于等式，两边对求导数，可得，

再令，可得，故正确，

故选：．

11．解：若，则有，，，，此时数列不是等差数列，选项错误；

若，则当时，有，当时，有，故，，此时数列是等比数列，选项正确；

又由等差数列的性质可得：，故选项正确；

当，时，有，，，

此时，故选项错误，

故选：．

12．解：对于：由，得，则，曲线在处的切线为，

由，得，当时，，当时，

．则在上有极小值也是最小值，为（1）．

即恒在的上方，不满足曲线在点附近位于直线的两侧，故选项错误；

对于：由，得，则，

而直线的斜率不存在，在点处不与曲线相切，故选项错误；

对于：由，得，则，直线是过点的曲线的切线，

又当时，当时，满足曲线在附近位于直线两侧，故选项正确；

对于：由，得，则，直线是过点的曲线的切线，

又，时，时，满足曲线在附近位于直线两侧，故选项正确；

故选：．

13．解：因为近似服从正态分布，

则，，

所以

，

故答案为：0.8186．

14．解：因为正数、满足，

则，

当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值9．

故答案为：9．

15解：因为，

所以，可得，

所以，

所以，

可得，

由正弦定理可得，可得，

又因为，

所以，

又因为，

所以，

又，可得，

所以，解得．

故答案为：1．

16．解：如图所示，

设由焦点为，，在椭圆上，则有，，

故，

又的周长为，，即、、三点共线，

又直线的倾斜角为，直线的斜率为，

而，，即，则．

从而，则椭圆方程为．

直线的方程为．

联立，解得，，，

．

故答案为：．

17．解：（Ⅰ）设，

在中，由余弦定理得，

即，则，

解得或，（舍去），

在中，由正弦定理得，

则，

即．

（Ⅱ）由题设知，由（Ⅰ）知，

而，

，

在中，，

故．

18．解：（1）当时，．

当时，，

．

（2）

当时，，

当时，，

             ，

，

．

19．解：（1）采用3局2胜制，甲获胜的可能分，，

因为每局的比赛结果相互独立，

所以甲乙比赛甲获胜的概率，

甲丙比赛甲获胜的概率，

（2）采用5局3胜制，甲获胜的情况有，或，

甲乙比赛，甲获胜的概率，

甲丙比赛，甲获胜的概率，

因为，所以甲乙比赛，采用5局3胜制对甲有利，

，所以甲乙比赛，采用5局3胜制还是3局2胜制，甲获胜的概率都一样，

这说明比赛局数越多对实力较强者有利．

20．解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：

平面平面，

设为的中点，连接，

于是， 所以平面

因为，分别为线段，的中点，所以，，故

假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线

从而平面，这与矛盾，所以为线段的中点

（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，，，，0，，，，

于是，，

设平面和平面的法向量分别为和

由，则，设，则

由，则，设，则

所以二面角的余弦值

21．解：（1）由题意判断出点，，在椭圆上，，在抛物线上，

设椭圆方程为，则，解得，

，

设方程为：，则，解得，

的方程为：．

（2）由（1）知既是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，

设，，，，，，，，，

，即，△，

，．

，

，即，

△，

，，

，

，，

，即，

直线的方程为或．

22．解：（1）若，则函数，定义域是，

可得，则（1），（1），

故曲线在点，（1）的切线的方程为，

设切线与，轴分别交于，两点，

令得，令得，即，，，

；

（2）由，，得，

设，，则，

当时，，

设，则，故在递增，

又，（1），

故存在，，使得，即，，

当时，，，当，时，，，

故函数在内单调递增，在，内单调递减，

故，

函数在，时单调递增，

故，，

对任意，恒成立，又，

故的最小值是．