2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（2）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（2）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，，则　　

A．， B．， C．， D．

2．（5分）在复平面内，与向量对应的复数为，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）在边长为1的正三角形中，若，则的值是　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知双曲线的两个焦点分别为，，为坐标原点，若为上异于顶点的任意一点，则与的周长之差为　　

A．8 B．16 C．或8 D．或16

5．（5分）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“惺帐”．如图是的一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为　　

A． B． C． D．1

6．（5分）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取1个，则该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位的概率为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知为奇函数，为偶函数，若当，时，，则　　

A． B．0 C．1 D．2

8．（5分）在菱形中，，将沿折起，使到达的位置，且二面角为，则与平面所成角的正切值为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）2020年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是　　

A． 

B．从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178 

C．不到80名职工倾向于继续申请休假 

D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名

10．（5分）已知函数，则的大致图象可能为　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）设函数，若对任意，，，，（a），（b），（c）都可以作为一个三角形的三边长，则的取值可能为　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知直线与圆心为且半径为3的圆相交于，两点，直线与圆交于，两点，则四边形的面积的值可以是　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）在的展开式中，的系数是　　．

14．（5分）某公司有职工800人，其中不到30岁的有120人，30岁到40岁的有400人，40岁以上的有280人．为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是　　，40岁以上的职工应抽取　　名．

15．（5分）已知等比数列的前3项和为3，且，则的前项和　　．

16．（5分）定义：点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）的内角，，所对的边分别为，，．已知，．

（1）求．

（2）若是边上一点，且的面积为，证明：．

18．（12分）已知数列的前项和为，，，且．

（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．

已知数列满足___，求的前项和．

19．（12分）如图所示的几何体中，，，，，，，．

（1）求证：平面；

（2）若，点在上，且满足，求二面角的余弦值．

20．（12分）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动，今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包（十斤肉类）、礼包（十斤蔬菜）和礼包（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券，根据以往经验得知，会员购买礼包和礼包的概率均为．

（1）预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理；

（2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包或礼包均可以获得50元商场代金券，购买礼包可以获得25元商场代金券，设是三人获得代金券金额之和．求的分布列和数学期望．

21．（12分）已知椭圆，其右焦点为，圆，过垂直于轴的直线被圆和椭圆截得的弦长比值为2．

（1）求曲线，的方程：

（2）直线过右焦点，与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求的长．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，，求的取值范围．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（2）答案

1．解：，，

，，．

故选：．

2．解：因为向量对应的复数为，

所以，

则．

故选：．

3．解：在边长为1的正三角形中，，．

故选：．

4．解：双曲线的方程为：，所以．

为上异于顶点的任意一点，则与的周长之差为或，

故选：．

5．解：设正脊长为，斜脊长为，底面矩形的长与宽分别为和，

如图过作上底平面于，过作于，作于，

连接、，由题意知，

，，所以，于是，

，所以，

故选：．

6．解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，

从这些五位数中随机选取1个，

基本事件总数，

该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位包含的基本事件个数：

，

该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位的概率为．

故选：．

7．解：根据题意，为奇函数，则．

为偶函数，则，变形可得，

则有，

则有，即函数是周期为4的周期函数，

则（1），

为奇函数，当，时，，则，必有，

则当，时，，（1），

故（1），

故选：．

8．解：设于交于点，设菱形的边长为2，

在中，因为，，所以，

过点作平面，垂足为，连结，

因为为的中点，且，所以，故，

所以即为二面角的平面角，

故，

连结，则即为与平面所成的角，

在△中，，

在△中，，，所以，

故．

故选：．

9．解：对于选项，所以选项错误，

对于选项：由扇形图可知该职工倾向于在家办公的职工占，所以从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178，所以选项正确，

对于选项：由扇形图可知倾向于继续申请休假的职工占，而（人，所以选项错误，

对于选项：由扇形图可知倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工占，而（人，所以选项正确，

故选：．

10．解：①当时，，则符合，不符合；

②当时，，

若，即或时，则，即，则其图象为双曲线在轴上方的部分，

若，即时，则，即，则其图象为圆在轴上方的部分，故符合；

③当时，，即，其图象表示为双曲线的上支，故符合．

故选：．

11．解：设函数，，，则，可得函数在，，，上单调递增，在上单调递减．

又，，，（1），可得函数的值域为，．

根据（a），（b），（c）都可以作为一个三角形的三边长，

当时，（1），即，解得；

当时，（1），即，解得．

综上可得：．

故选：．

12．解：根据题意，圆的圆心为且半径为3，则圆的方程为，即，

直线与圆相交于，两点，

则有，解可得：或，即、的坐标为，，

则，且的中点为，，

直线，变形可得，直线恒过定点，，

设，，

当与垂直时，四边形的面积最大，

此时的方程为，变形可得，经过点，

则此时，

故的最大值，

故，

分析选项：符合题意，

故选：．

13．解：的展开式的通项公式为，

令，得，

的系数是，

故答案为10．

14．解：为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，

要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，

则应该选择的抽样方法是分层抽样，

40岁以上的职工应抽取：名．

故答案为：分层抽样，70．

15．解：根据题意，设等比数列的公比为，

若且，则，即，

解可得，

则，

则，

故答案为：．

16．解：如图，

，

要使最小，则最大，故最小，

设，，则．

当，即时，，

此时或，．

故答案为：．

17．解：（1）因为，所以，

又，所以，

因为，

所以，，，

所以．

（2）证明：因为，

所以，

由余弦定理可得，

所以，可得，得证．

18．（1）证明：，

，

两式相减得：，即，，

又当时，有，，，，

数列：是首项为4，公比为2的等比数列，

，两边除以得：，

又，

数列是首项为2，公差为1的等差数列，

，

；

（2）解：若选①：

，

，

又，

两式相减得：，

整理得：．

若选②：

，

．

若选③：

，

19．（1）证明：在中，，

由余弦定理可得，所以．

所以，所以是直角三角形，．

又，，所以平面．

因为平面，所以，因为，，

所以平面．

（2）解：由（1）知，平面，所以平面平面，在平面中，

过点作，则平面，如图，

以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，

则，，

因为，所以，易知，

设平面的法向量为，，，

则即

所以为平面的一个法向量，

由（1）知平面，所以为平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，

由图易知为锐角，则，

所以二面角的余弦值为．

20．解：（1）会员购买礼包的概率为，

所以需要准备鸡蛋（斤．

（2）的所有可能取值为150，125，100，75，

则，

，

，

，

所以的分布列如下：

．

21．解：（1）由已知可得过且垂直轴的直线方程为，

联立方程，解得，

联立方程，解得，

所以，又因为②，

联立①②解得，，

所以曲线的方程为，曲线的方程为；

（2）设直线的方程为，，，，，

联立方程，消去整理可得：，

所以，

所以，

又原点到直线的距离，

所以三角形的面积，

整理可得：，解得或（舍去），

所以，所以原点到直线的距离，

则．

22．解：（1）的定义域为．

设函数，则．

当时，；

当时，，

故（1），从而

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

（2）由题意可知．

由，得，即，

即对恒成立．

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，当时，（1）．

由，得，所以，

所以对恒成立．

设，则，

所以在上单调递增，

所以，即的取值范围为．