2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（22）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（22）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，，，则图示中阴影部分表示的集合为　　

A． B． C． D．

2．若，则　　

A． B． C． D．

3．在等比数列中，，，则　　

A．2 B．4 C．6 D．8

4．某商店老板为了研究每天营业时间与营业额的关系，统计了4天的营业情况如表：

经统计得到营业额（元与当天营业时间（小时）之间具有线性关系，其回归直线方程为，则当营业时间为14小时，营业额大约为　　

A．1205元 B．1207元 C．1209元 D．1211元

5．定义在上的图象不间断的奇函数，满足以下条件：①当时，，当时，；②，则当时，的解集为　　

A． B． C． D．

6．已知在中，内角，，的对边分别为，，，是的平分线，，，则　　

A．2 B．1 C．3 D．

7．设实数，若不等式对于任意恒成立，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

8．在直四棱柱中，底面是边长为6的正方形，点在线段上，且满足，过点作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．已知曲线，　　

A．若，则表示椭圆 B．若，则表示椭圆 

C．若，则表示双曲线 D．若且，则的焦距为4

10．下列说法有可能成立的是　　

A． B．（B）（A） 

C．（A）（B） D．

11．已知是边长为2的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是　　

A．                     B． 

C． D．

12．已知函数，若的解集中恰有一个整数，则值可能为　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设，则　　．

14．若函数的部分图象如图所示，则　　，　　．

15．嘉湖中学高二年级共16个班级，教室均分在1号楼的一至四层，学生自管会现将来自不同楼层的4个学生分配到各楼层执行管理工作，要求每个学生均不管理自已班级所在的楼层，则共有　　种不同的安排方法，如果事后排成一排拍照留影，则共有　　种不同的站位方法．（用数字作答）

16．通过研究发现：点光源斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点（如图1所示），图2是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．的内角、、的对边分别为、、，设．

（1）求；

（2）若，是边上一点，且，的面积为，求．

18．设数列的前项和为，已知且满足，．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为，为上一点且．

（1）证明：；

（2）设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面所成二面角的余弦值的最大值．

20．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向、两个靶子进行射击，先向靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向靶射击，命中的概率是；向靶射击，命中的概率为．假设甲同学每次射击结果相互独立．

（1）求甲同学恰好命中一次的概率；

（2）求甲同学获得的总分的分布列及数学期望．

21．已知函数．

（1）当时，求曲线上过点，（1）的切线方程；

（2）若f（x）___，求实数的取值范围．

①在区间上是单调减函数；

②在，上存在减区间；

③在区间上存在极小值．

（从三个条件中选一个作答）

22．在平面直角坐标系中，是坐标原点，是直线上的动点，过作两条相异直线和，其中与抛物线交于、两点，与交于、两点，记、和直线的斜率分别为、和．

（1）当在轴上，且为中点时，求；

（2）当为的中位线时，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（22）答案

1．解：，，

阴影部分表示的集合为

故选：．

2．解：，

，

故选：．

3．解：根据题意，等比数列中，有，

则有，解可得，

又由，则，解可得，

故选：．

4．解：，，

则，当时，．

故选：．

5．解：定义在上的图象不间断的奇函数，，

因为当时，，即函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，

又，

所以（2）（2），

所以（2），

所以当时，，当时，，且函数的周期，

则当时，的解集为．

故选：．

6．解：在中，由正弦定理得，，

在中，由正弦定理得，，

是的平分线，

，

，

又，

，

，

，，

故选：．

7．解：对于任意恒成立，

，即，

令，则，

故在单调递增，

故，故，问题转化为的最大值，

令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，

故的最大值是（e），

故的取值范围是，，

故选：．

8．解：四棱柱是直四棱柱，且底面是正方形，

其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作，过向底面作垂线，垂足为，

则，连接，底面是边长为6的正方形，为的中点，

取的中点，连接，，，

设，则，外接球的半径．

点在线段上，且满足，则，

又，．

直四棱柱中，侧面，，侧面，

，又底面，

，又，平面，则．

则．

根据球的特征，过点作直四棱柱的外接球的截面，

当截面过球心时，截面面积最大，此时截面面积为，

当垂直于截面时，此时截面圆的半径为．

此时截面面积为．

又截面面积的最大值与最小值之差为，

，

因此，即，则，

直四棱柱外接球的表面积为．

故选：．

9．解：，则表示的轨迹不存在，所以不正确；

若，则表示焦点坐标的轴上的椭圆，所以正确；

若，则表示焦点坐标在轴上的双曲线，所以正确；

若且，则的焦距为4，正确，所以正确；

故选：．

10．解：根据题意，依次分析选项：

对于，，变形可得（A），

而（A），则，错误，

对于，，变形可得（A），

当（A）时，有（B）（A），正确，

对于，当、是相互独立事件时，（A）（B），正确，

对于，当、是互斥事件时，，正确，

故选：．

11．解：，错误，

，正确，

为的重心，，

，正确，

，

，错误，

故选：．

12．解：由，，得，即，

，令，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

画出的大致图象如图所示：

当直线与的图象相切时，设切点为，

则，解得，故；

当直线过点时，，

故的范围为，，

结合选项可得，值可能为或．

故选：．

13．解：，

令得：，

令得：，

，

故答案为：15．

14．解：函数的部分图象，可得，，，

再结合五点法作图，可得，，故，

故，

故答案为：；1．

15．解：根据题意，要求每个学生均不管理自已班级所在的楼层，

第一层的学生不能管理第一层，有3种安排方法，

假设第一层的学生管理第二层，则第二层有3种安排方法，

剩下2名学生只有1种安排方法，

则每个学生均不管理自已班级所在的楼层的安排方法有种，

如果事后排成一排拍照留影，有种排法，

故答案为：9，24．

16．解：如图，

，，，，，

则，

由勾股定理可得：，解得，

又，得．

，

故答案为：．

17．解：（1）由正弦定理知，，

，

，

由余弦定理知，，

，

．

（2）设，，则，，

，

，即①，

，，

，

在中，由正弦定理知，，

，即②，

由①②得，，

．

18．证明：（1）当时，，又，

所以，

整理得，

所以，

又当时，，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；

（2）由（1）知，

则，

当时，；

当时，；

当时，，

．

综上可得，．

19．解：（1）证明：四边形为矩形，，

平面，，

，，平面，

平面，

平面，，

，，，平面，

平面，

平面，．

（2）平面，为与平面所成角，

与平面所成角为，，

，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

令，则，0，，，0，，，1，，，0，，

，1，，，，，

设，，是平面的一个法向量，

则，取，得，，，

平面的一个法向量为，0，，

，

，当时，的最大值，

平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为．

20．（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件，“甲射击命中靶”为事件，

“甲第一次射击靶命中”为事件，“甲第二次射击靶命中”为事件，由题意可知品（D），（E）．

由于，

（C），

（2）随机变量的可能取值为：0，1，2，3，5，6．

；

，

，

，

，

，

．

21．解：（1）当时，，所以（1），

则有①当点，（1）为切点时，（1），

根据函数导数的几何意义可得，函数在点处的切线方程即为：；

②当不是切点时，设切点为，，则可得切线方程为：，

因为，，

所以切线方程即为：，

代入点化简可得，，

解之可得，，切线方程为：，

综上可得，过点的切线方程为，或．

（2），

若选①函数在区间上是单调减函数，则有：

在区间上恒成立，即在上恒成立，

，解之可得；

若选②函数在，上存在减区间，则有：在区间，上有解，

即得在区间，上有解，

此时令，因为在区间，上单调递减，

所以，故有；

若选③函数在区间上存在极小值，则有：函数的极小值点应落在；

令，求得，，

此时可得，在，，上单调递增；在，上单调递减；

所以是函数的极小值点，

即得，

所以当时，不等式恒成立，

当时，，解之可得，

综上可得，．

22．解：（1）当在轴上时，，不妨设在轴上方，

设，，

所以，，

因为在抛物线上，

所以，解得，

所以点的坐标为，

所以，

由对称性可得知当在轴下方时，，

所以．

（2）设直线，直线，

联立，

所以，

设，，，，

所以，，

当为的中位线时，为的中点，为的中点，

所以，

因为，

所以，，

所以，

所以，

同理可得，

所以，为方程的两个根，

所以△，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以存在时，成立．