2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（18）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（18）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是虚数单位，则　　

A． B． C． D．

2．已知集合，，，，则　　

A． B．， C．， D．，

3．已知，则　　

A．10 B．20 C．40 D．80

4．已知函数的图象关于对称，则的最小值为　　

A．1 B． C．2 D．

5．在的等腰直角中，为的中点，为的中点，，则　　

A． B． C． D．

6．已知圆，过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

7．为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为　　

A．12 B．36 C．24 D．48

8．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为　　

A． B． C．， D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．目前，我国加速了技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的手机销量，如表所示：

若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是　　

A．手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 

B． 

C．与正相关 

D．预计12月份该手机商城的手机销量约为318部

10．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有　　

A． B． 

C． D．

11．如图，在正方体中，点，分别是棱，上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是　　

A．三棱锥的体积为定值 

B．对于任意位置的点，平面与平面所成的交线均为平行关系 

C．的最小值为 

D．对于任意位置的点，均有平面平面

12．已知双曲线方程为，为双曲线右支上任意一点，，为左、右焦点，△的内切圆圆心为，与轴切于点，线段的延长线与轴交于点，．则以下结论正确的有　　

A．为定值 B．的横坐标为定值 

C．的范围是 D．半径的最大值为4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等差数列满足，，则　　．

14．一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率为　　．

15．定义在上的函数的导函数为，若，（2），则不等式的解集为　　．

16．中角，，的对边分别为，，，若该三角形的面积为，且，则的最小值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求；

（2）若，的面积为2，求．

18．已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

19．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值．

20．叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定对“贵宾级”顾客给予每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品，商场中可供选取的有，，，，，六种商品．其中商品，每件价值3000元、商品，每件价值2000元、商品，每件价值1000元．叶女士抽取到一张价值4000元的奖券．

（1）若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率；

（2）若她从六种商品中任意选取每种商品可以选取多件，选取的商品总价值为其奖券价值，求她选取的商品件数不超过三件的概率．

21．如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变．

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值．

22．已知函数，．

（1）证明：；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）求的最小值．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（18）答案

1．解：．

故选：．

2．解：，，，，，，，

，，，，，

，，

故选：．

3．解：二项式的展开式中含的项为，

所以，

故选：．

4．解：函数，

且的图象关于对称，

所以，，

解得，．

又，

所以当时，取最小值，即．

故选：．

5．解：以为原点，建立平面直角坐标系，设，，

则，，，

因为，

所以，，，，，

所以，

解得．

故选：．

6．解：根据题意，如图：连接、、，

圆，则其圆心，，半径，

，

当最小时，最大，的值的最小，

而的最小值为点到直线的距离，则的最小值为，

则的最小值为，

故选：．

7．解：由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种：

一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目，共有种，即12种．

另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目，共有种，即12种．

综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数．

故选：．

8．解：设，当时．，可得，

要使有3个零点，

；

那么时．的对称轴，

若，不存在3个零点．

当时，要使有3个零点，

则时取得最大值，1，

即，解得；

综上可得的取值范围是．

故选：．

9．解：线性回归方程为，手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台，所以不正确；

根据表中数据，可得

．

于是，，即，故正确；

由回归方程中的系数大于0，可知与正相关，且相关系数，故正确；

12月份时，，部，故正确．

故选：．

10．解：根据题意，函数，易得在上为增函数，

对于，无法判断与的大小，故不一定成立，错误，

对于，若，则有，则，正确，

对于，当，时，，则有，错误，

对于，若，则，则有，正确，

故选：．

11．解：对于，，面积不定，

而到平面的距离为定值，

不是定值，故错误；

对于，由于平面，则经过直线的平面与的所有交线均与平行，

根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故正确；

对于，设正方体棱长为1，，

则，，

则，

，故错误；

对于，由题意得直线与平面垂直，

对于任意位置的点，均有平面平面，故正确．

故选：．

12．解：双曲线方程为的，，，

与轴切于点，与切于点，与切于点，

因为的横坐标与的横坐标相等，设，，

由切线长相等，可得，，，

由双曲线的定义可得，即有，

又，解得，可得，

则，都正确；

由内角平分线的性质定理可得，

即有，解得，故正确；

可设，，，△的内切圆的半径为，

则，①

又，

即为，

化为，

若，则，②

联立①②，可得方程组无解．

故错误．

故选：．

13．解：设等差数列的公差为，，，

，，

解得，，

，

则，

故答案为：3．

14．解：根据题意，三角形的面积为24，

若某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2，则蚂蚁在如图三角形的阴影部分，

它的面积为半径为2的半圆面积，

所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的概率，

故答案为：．

15．解：令，则，所以在上单调递增．

因为，所以不等式，

可变形得，即（2），所以，解得．

故答案为：．

16．解：因为，

所以，

即，

故，

整理得，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

化简得，，

由△，得，

所以，

所以的最小值为．

故答案为：．

17解：（1），

，

，

，

，

，

，

；

（2）由（1）可知，

，

，

，

．

18．解：（1），

，

两式作差得，

．

当时，适合上式，．

（2），

①，

②

①②得：，

．

19．证明：平面，平面

又是菱形，，

平面，平面

（6分）

解：分别以，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，设，则

由知：平面的法向量为，

令平面的法向量为，则根据得

因为二面角的余弦值为，则，即，（9分）

设与平面所成的角为，

，

（12分）

20．解：（1）解法一：她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，

基本事件总数，

她选取的商品价值恰好为其奖券价值指或种商品中选一件，、种商品中各选一件，

不同的选法有，

她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率．

解法二：含商品时，，，，，中再选2件，基本事件有：

，，，，，，，，，，共10个，

不含商品时，从，，，，中选3件，含有时，再从，，，中选2件，

基本事件有：，，，，，，共6个，

不含时，从，，，中选3件，基本事件有：

，，，，共4个，

基本事件总数为，

其中总价值4000元的事件有：，，共2个，

她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率．

（2）价值4000元的基本事件：

选取2件时：①，选一，即，，，，共4个，

②从，中选，有，，，共3个，

选取3件时，，选1，，选2，即，，，，，，共6个，

选4件时，只能在，中选，即，，，，，共5个，

基本事件总数，

其中不超过3件的基本事件个数，

她选取的商品件数不超过三件的概率为．

21．解：（1）由题意已知，，为线段的中点；所以，

且，曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变，

所以，

所以在以，为焦点，且以2为短半轴的椭圆上，即，，

则，

所以曲线的方程为：；

（2）证明：设，，，，，

因为，且在椭圆内，所以过的直线与椭圆由两个交点，

因为，，

所以，，，

所以，，

将的坐标代入椭圆的方程可得：，

整理可得：，

同理可得，

所以，是方程的两根，

由韦达定理可得，

所以可证得：为定值．

22．（1）证明：，证明，即证明，即证，

设，则，

当时，，当时，，

的最大值为（1），故，

；

（2）解：时，恒成立，即，

由（1）知，当时，成立，

当时，显然时不成立，

综上，；

（3）解：，

设，，

在上单调递增，

，（1），存在，，使得，

且时，，即，单调递减，

时，，即，单调递增，

，

，，则，

，

在上单调递增，，

则，

．