2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（24）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（24）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则　　

A． B． C． D．

2．复平面内表示复数的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知抛物线的焦点为，点的坐标为，则　　

A． B． C．2 D．5

4．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各300名，让他们同时完成多个任务．以下4个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是　　

①总体看女性处理多任务平均用时更短；

②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；

③男性的时间分布更接近正态分布；

④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大．

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

5．已知，则的值为　　

A． B． C． D．

6．等比数列各项均为正数，且，则　　

A．7 B．8 C．9 D．

7.已知定义在上的奇函数满足：，且当时，为常数），则的值为　　

A． B． C．0 D．1

8．已知直三棱柱的侧棱长为2，，．过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．为方便顾客购物，某网上购鞋平台统计了鞋号（单位：码）与脚长（单位：毫米）的样本数据，，发现与具有线性相关关系，用最小二乘法求得回归方程为，则下列结论中正确的为　　

A．回归直线过样本点的中心， 

B．与可能具有负的线性相关关系 

C．若某顾客的鞋号是40码，则该顾客的脚长约为250毫米 

D．若某顾客的脚长为262毫米，在“不挤脚”的前提下，应选择42码的鞋

10．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是　　

A．若任意选科，选法总数为 

B．若化学必选，选法总数为 

C．若政治和地理至少选一门，选法总数为 

D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为

11．下列不等式的解集与不等式的解集完全相同的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

12．已知函数为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的值可能为　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量与反向，且，则的坐标为　　．

14．为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》．为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生经过训练后跳远增加了　　米．

15．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为　　．

16．已知离心率为2的双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是与的公共点，若，则的标准方程为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知等差数列和等比数列的首项均为1，的前项和为，且，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，，求数列的前项和．

18．如图，在平面四边形中，，，．

（1）若，求的面积；

（2）若，，求角的大小．

19．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为，、，、、，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分布列及期望；

（3）从流水线上任取5件产品，设为重量超过505克的产品数量，求的期望、方差．

20．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

21．已知直线经过椭圆的左焦点和下顶点，坐标原点到直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若椭圆经过点，，是椭圆上的两个动点，且的角平分线总是垂直于轴，求证：直线的斜率为定值．

22．已知函数，函数满足．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个不同的零点，，证明：．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（24）答案

1．解：，，

．

故选：．

2．解：复数，

因为，所以复数对应的点的坐标在第四象限．

故选：．

3．解：抛物线的准线方程为：，

点的坐标为，由抛物线的定义可知．

故选：．

4．解：①女性处理多任务平均用时集中在分钟，男性的集中在分钟，即①正确；

②从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉，所以并不是“所有女性都优于男性”，即②错误；

③根据正态分布的性质可知③正确；

④女性和男性处理多任务的用时均为正数，即④错误．

故选：．

5．解：，

，

，即，

．

故选：．

6．解：根据题意，等比数列中，，则，即，

则，

故选：．

7.解：根据题意，函数满足：，则函数是周期为6的周期函数，

则，，

又由为定义域为的奇函数，则（2），（1），

又由当时，，

则，则，

则（1），（2），

则（1）（2），

故选：．

8．解：取的中点，连接，取的中点，连接，，

取的中点，连接，连接，并延长，与的延长线交于，

取的中点，连接，交于，连接，，

可得，，，即有，

又，可得，

平面，可得，所以平面，

可得平面，

由面面垂直的判定定理，可得平面平面，

则平面即为平面，

由，，，，，

可得所得截面周长为．

故选：．

9．解：对于，回归方程必过样本中心，，故选项正确；

对于，由可知，与具有正的线性相关关系，故选项错误；

对于，将代入回归方程为，可得，

所以当某顾客的鞋号是40码，则该顾客的脚长约为250毫米，故选项正确；

对于，将代入回归方程为，可得，

所以当某顾客的脚长为262毫米，选择42码的鞋会挤脚，故选项错误．

故选：．

10．解：选项：若任意选科，选法总数为，故错误；

选项：若化学必选，则选法总数为，故正确；

选项：若政治和地理至少选一门，则选法总数为，故错误；

选项：若物理必选，化学，生物至少选一门，选法总数为，故正确．

故选：．

11．解：因为函数，它是偶函数且在，上单调递减，

所以不等式等价于，

对于，不等式等价于，故选项成立；

对于，因为函数在上单调递减，所以不等式等价于，故选项不成立；

对于，因为函数在上单调递增，所以不等式等价于，故选项成立；

对于，因为函数在上为单调递增函数，所以不等式等价于，故选项不成立．

故选：．

12．解：设，可得，即有为偶函数，

由题意考虑时，有两个零点，

当时，，，

即有时，，

由，可得，

由，相切，设切点为，

的导数为，可得切线的斜率为，

可得切线的方程为，

由切线经过点，，可得，

解得或（舍去），

即有切线的斜率为，

由图象可得时，直线与曲线有两个交点，

综上可得的范围是．

故选：．

13．解：根据题意设，且，，

，解得，

．

故答案为：．

14．解：已知1.33米米，每增加0.03米，分值增加5分，

训练前70分，则训练前的跳远距离为米，

又1.84米得90分，

则1.84米后跳远距离为，

所以训练后跳远距离为米，

所以该女生训练后跳远增加的距离为，

故答案为：0.42．

15．解：由，得，

化简得，即，

，，，又，，

，，

，．

故答案为：，．

16．解：由，得，即，

所以，所以，

为双曲线与抛物线的公共点，

由，得．

△，

得，即或，

，，

则，解得．

的标准方程为．

故答案为：．

17．解：（1）设公差为的等差数列和公比为的等比数列的首项均为1，

且，．

所以，

解得，

所以，．

（2）设，

所以①，

②，

①②得：．

18．解：（1）因为，由正弦定理，，

可得，

由余弦定理可得，可得，

所以．

（2）因为，所以，

，即，

因为，且为锐角，

所以，

所以

，

可得，

在中，由正弦定理，

可得，可得，

因为，

又为锐角，

所以．

19．某解：（1）重量超过505克的产品数量是：

件．

（2）的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

．

（3）利用样本估计总体，该流水线产品重量超过505克的概率为0.3，

由题意可得，

，

．

20．（1）证明：因为，为中点，所以，

又因为平面，所以，

因为，分别为，的中点，所以，

所以，

又因为，所以平面．

（2）解：由（1）知、、两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，0，，，2，，

设平面的法向量为，，，

，令，，1，，

平面的法向量为，1，，

设二面角的大小为，

，．

所以二面角的正弦值为．

（3）解：由（2）知平面的法向量为，1，，

又因为，2，，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

21．解：（Ⅰ）法一：过点，的直线的方程为分

则坐标原点到直线的距离为分

可得．分

法二：由三角形等面积法可知：分

可得．分

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，则椭圆经过点，

解得，则椭圆．分

法一：因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．

设直线的斜率为，则直线的斜率为所以设直线的方程为，

直线的方程为，

设点，，，．分

由，消去，得．

因为点在椭圆上，则有，即．分

同理可得．分

所以，又．分

所以直线的斜率为．分

法二：设直线的方程为，点，，，，则，，

直线的斜率，直线的斜率

因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．

所以，即分

化简得

把，，代入上式，并化简得分

由由，消去，得

则，，

代入化简得分

整理得

所以或分

若，可得方程的一个根为2，不合题意．分

当时，合题意．所以直线的斜率为．分

法三：设点，，，，则直线的斜率，直线的斜率

因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．

所以，即分

因为点，，，

在椭圆上，所以，

则有，

同理有分

从而有分

由

两式相减得分

又因为分

所以直线的斜率为．分

22．解：（1）由已知得函数的定义域为，

则，

当，即时，在上单调递增，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

综上：时，在上单调递增，

时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：，

，其定义域为，

等价于，即，

设，，

令，则；令，则，

当时单调递增；当时单调递减，

函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，

时，时，

（1），

有两个不同的零点，，

且，，

令，则，

在时单调递增，

（1），即时，，又，，

，且时单调递增，，

故而，得证．