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安徽省合肥市2021届高三下学期最后一卷理科数学试题
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这是一份安徽省合肥市2021届高三下学期最后一卷理科数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卷上作答．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若复数，则（ ）
A. B. C. D.10
2.若集合，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A.27 B.32 C.64 D.81
4.已知直线l与曲线相切，则下列直线不可能与l平行的是（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知正方体的体积为64，若点平面，点平面，则MN的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.下图是国家统计局发布的生产资料出厂价格涨跌幅以及生活资料出厂价格涨趺幅的统计图，现有如下说法：
①2020年下半年生产资料出厂价格的环比涨幅呈现上升趋势；
②可以预测，在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数；
③从2020年1月~12月生活资料出厂价格同比的数据中随机抽取3个，恰有2个是正数的概率为；
④将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为0.2%，
则正确的有（ ）
A.①③④ B.②③ C.②③④ D.②④
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
9.关于函数，下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为
B.f（x）的最大值为2
C.f（x）在上单调递减
D.是f（x）的一条对称轴
10.已知偶函数f（x）的定义域为R，导函数为，若对任意都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别是，点A在双曲线C上，轴，若点B（2c，0）使得是钝角，其中c是双曲线C的半焦距，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，．若表示不超过x的最大整数，，则数列的前2021项和（ ）
A.1010 B.1011 C.2021 D.2022
第II卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知向量，若，则实数 ．
14.的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
15.已知球O是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥的侧面积为 ．
16.已知抛物线的焦点为F，点A（－4，0），点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（I）求A的值；
（II）求△ABC的周长的最大值．
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠CAD＝60°，∠SBA＝45°，SB＝SC＝SD．
（I）求证：SA⊥BD；
（II）设E是线段SB的中点，求二面角S－AC－E的余弦值．
19.（本小题满分12分）
学期结束时，学校对食堂进行测评，测评方式：从全校学生中随机抽取100人给食堂打分，打分在60以下视为“不满意”、在60~80视为“基本满意”，在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给食堂打的分数分组：，得到如下频率分布直方图：
（I）求这100人中“不满意”的人数并估计食堂得分的中位数；
（II）若按满意度采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中对食堂“非常满意”的人数为X．
（i）求X的分布列；
（ii）若抽取的3人中对食堂“非常满意”的同学将获得食堂赠送的200元现金，其他同学将获得100元现金，请估计这3人将获得的现金总额．
20.（本小题满分12分
已知椭圆的右顶点为N，长轴长为，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且△OPN重心的横坐标为，△OPN的面积为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l与椭圆C交于A，B两点、以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，且，试判断是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（I）判断函数f（x）在上的零点个数，并说明理由；
（II）当时，，求实数m的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（I）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；
（II）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△AMN的面积．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数的最大值为t．
（I）求t的值；
（II）设a，b，c均为正实数，且满足2a＋b＋2c＝3t，求证：．
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
D
B
C
A
D
B
A
D
1.C ．故选C．
2.B 由题意得，，若，则，故选B．
3.B 设数列的公比为，显然．，则，即，又，得，即，．故选B．
4.C ，即直线l的斜率，故直线不可能与l平行，故选C．
5.D 易知是非奇非偶函数，所以排除选项A，C．当x＞0时，单调递增，所以排除选项B．故选D．
6.B 由题意得，MN的最小值为平面到平面的距离．∵正方体的体积为64，易得，则．故选B．
7.C 由图（1）可知，2020年下半年生产资料出厂价格环比涨幅先下降后上升，故①错误；由图（2）中的环比折线可知，生活资料出厂价格的环比涨跌幅后一个月与前一个月的差介于－0.2%~0.4%之间，由于2021年1月环比的涨幅为0.2%，故可以预测在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数，故②正确；从2020年1月－12月生活资料出厂价格同比的数据中随机抽取3个，恰有2个是正数的概率．故③正确：将2020年1月－2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为0.2%，故④正确．故选C．
8.A ，，；
，，
，，故选A．
9.D ，是f（x）的一个周期，故A错误；要使f（x）＝2，即，即，显然不成立，故B错误；当时，，在上先增后减，故C错误；，故D正确．故选D．
10.B 令x＝0，则，则D错误；令，则，当x＞0时，，，则g（x）在上单调递增，，
即，故B正确，C错误；∵f（x）是偶函数，∴g（x）也是偶函数，∴g（x）在上单调递减，，即，故A错误．故选B．
11.A 当x＝c时，，解得，不妨设点A在第一象限，则．
由是钝角，可得，即，，整理得．故选A．
12.D ，，即，，，
，∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，，
，
，
．故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.
由题意得，，又，则，解得．
14.－25
展开式中常数项为
15.
设，球O的半径为R，则PB＝3r，由球O的表面积为，得．在中，
，即，解得r＝1，故圆锥的侧面积为．
16.
点A（－4，0）在抛物线C的准线x＝－4上，设点P在准线上的射影为Q，则，当直线AP与抛物线C相切时∠PAQ最小，sin∠PAQ也最小．设PA的方程为y＝k（x＋4），与联立得0.由得，当时，．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
（I）由题意得，，
，…………………………3分
∴由正弦定理可得．………………5分
又．………………6分
（II）由及正弦定理得，
．………………8分
．……………………10分
由得，
∴当，即时，．………………12分
18.（本小题满分12分）
（I）证明：取BC中点M，连接SM，AM，
∵四边形ABCD为菱形且∠CAD＝60°，∴AM⊥BC，
∵SB＝SC，∴SM⊥BC．………………2分
又，∴BC⊥平面SAM，
平面SAM，∴SA⊥BC．
同理可证SA⊥DC，，∴SA⊥平面ABCD．………………4分
又平面ABCD，∴SA⊥BD．…………………5分
（II）取CD的中点F，以A为坐标原点，直线AF，AB，AS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz．
不妨设AB＝2，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AB，
又∠SBA＝45°，．∴SA＝AB＝2，
则，
………………………………8分
易得平面SAC的一个法向量为，……………9分
设平面AEC的法向量为，
则，即，
取，则．……………………10分
由图可知，二面角S－AC－E为锐角，
故二面角S－AC－E的余弦值为．……………12分
19.（本小题满分12分）
（I）这100人中“不满意”的人数为．……2分
由频率分布直方图易得，食堂得分的中位数为．……………………4分
（II）（i）若按满意度采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取15人，则“不满意”与“基本满意”的学生应抽取（人），“非常满意”的学生应抽取（人），……………………6分
∴X的取值为0，1，2，3，
，
，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
………………9分
（ii）由（i）得，
则3人获得的现金总额，
（元），
即3人获得的现金总额估计为360元．……………………12分
20.（本小题满分12分）
（I）由题意得，，则，．
设，则，，…………………………2分
，
∴椭圆C的方程为．……………………5分
（II）设，
由余弦定理得，，
，
两式相加得，．……………………8分
．……………………9分
∴点A，B在椭圆C上，，
，
∴（*）．
将代入（*）式，得，
，
是定值，定值是24……………………12分
21.（本小题满分12分）
（I）解法一：由题意得，，
当时，易得函数单调递增，
而，，
故，当时，；
当时，，而，
∴函数f（x）在上无零点；…………………3分
当时，，∴函数f（x）在上单调递增，
而，∴函数f（x）在上有1个零点．
综上所述，函数f（x）在上有1个零点．………………6分
解法二：由f（x）＝0，得，则．
在同一直角坐标系中，作出和的图象，，
由图象易知函数f（x）在上只有一个零点．…………………6分
（II）令， ，则 ．
，，……………………8分
令，在上恒成立，
则h（x）为増函数，即为增函数
①当，即时，，∴g（x）在上为增函数，，即在上恒成立；……………………10分
②当m＋2＜0，即m＜－2时，，，使，
当为增函数；
当为减函数，
，与在上恒成立相矛盾，不成立．
综上所述，实数m的取值范围是．………………12分
请考生从第22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
（I）∵曲线C的极坐标方程为，
将代入，得，
∴曲线C的直角坐标方程为．……………………3分
由题意得，直线l的普通方程为．……………………5分
（II）解法一：直线l的方程为，∴直线l分成两条射线，
其极坐标方程分別为或．……………………6分
联立和，
分别解得和，．………………8分
而到距离为，
的面积为．………………10分
解法二：联立，整理得，……………………6分
设，则，
…………………………8分
又点到直线l的距离d＝1，
．………………10分
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（I）由题意得，，……………………3分
∴当时，f（x）单调递増；当时，f（x）单调递减，
．……………………5分
（II）由（I）得，2a＋b＋2c＝3，……………………6分
由柯西不等式得，，
当且仅当时取等号，
，即．…………………10分
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卷上作答．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若复数，则（ ）
A. B. C. D.10
2.若集合，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A.27 B.32 C.64 D.81
4.已知直线l与曲线相切，则下列直线不可能与l平行的是（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知正方体的体积为64，若点平面，点平面，则MN的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.下图是国家统计局发布的生产资料出厂价格涨跌幅以及生活资料出厂价格涨趺幅的统计图，现有如下说法：
①2020年下半年生产资料出厂价格的环比涨幅呈现上升趋势；
②可以预测，在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数；
③从2020年1月~12月生活资料出厂价格同比的数据中随机抽取3个，恰有2个是正数的概率为；
④将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为0.2%，
则正确的有（ ）
A.①③④ B.②③ C.②③④ D.②④
8.已知，则（ ）
A. B. C. D.
9.关于函数，下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为
B.f（x）的最大值为2
C.f（x）在上单调递减
D.是f（x）的一条对称轴
10.已知偶函数f（x）的定义域为R，导函数为，若对任意都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知双曲线的左、右焦点分别是，点A在双曲线C上，轴，若点B（2c，0）使得是钝角，其中c是双曲线C的半焦距，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，．若表示不超过x的最大整数，，则数列的前2021项和（ ）
A.1010 B.1011 C.2021 D.2022
第II卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知向量，若，则实数 ．
14.的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
15.已知球O是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥的侧面积为 ．
16.已知抛物线的焦点为F，点A（－4，0），点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（I）求A的值；
（II）求△ABC的周长的最大值．
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠CAD＝60°，∠SBA＝45°，SB＝SC＝SD．
（I）求证：SA⊥BD；
（II）设E是线段SB的中点，求二面角S－AC－E的余弦值．
19.（本小题满分12分）
学期结束时，学校对食堂进行测评，测评方式：从全校学生中随机抽取100人给食堂打分，打分在60以下视为“不满意”、在60~80视为“基本满意”，在80分及以上视为“非常满意”．现将他们给食堂打的分数分组：，得到如下频率分布直方图：
（I）求这100人中“不满意”的人数并估计食堂得分的中位数；
（II）若按满意度采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中对食堂“非常满意”的人数为X．
（i）求X的分布列；
（ii）若抽取的3人中对食堂“非常满意”的同学将获得食堂赠送的200元现金，其他同学将获得100元现金，请估计这3人将获得的现金总额．
20.（本小题满分12分
已知椭圆的右顶点为N，长轴长为，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且△OPN重心的横坐标为，△OPN的面积为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l与椭圆C交于A，B两点、以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，且，试判断是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（I）判断函数f（x）在上的零点个数，并说明理由；
（II）当时，，求实数m的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（I）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；
（II）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△AMN的面积．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数的最大值为t．
（I）求t的值；
（II）设a，b，c均为正实数，且满足2a＋b＋2c＝3t，求证：．
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
D
B
C
A
D
B
A
D
1.C ．故选C．
2.B 由题意得，，若，则，故选B．
3.B 设数列的公比为，显然．，则，即，又，得，即，．故选B．
4.C ，即直线l的斜率，故直线不可能与l平行，故选C．
5.D 易知是非奇非偶函数，所以排除选项A，C．当x＞0时，单调递增，所以排除选项B．故选D．
6.B 由题意得，MN的最小值为平面到平面的距离．∵正方体的体积为64，易得，则．故选B．
7.C 由图（1）可知，2020年下半年生产资料出厂价格环比涨幅先下降后上升，故①错误；由图（2）中的环比折线可知，生活资料出厂价格的环比涨跌幅后一个月与前一个月的差介于－0.2%~0.4%之间，由于2021年1月环比的涨幅为0.2%，故可以预测在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数，故②正确；从2020年1月－12月生活资料出厂价格同比的数据中随机抽取3个，恰有2个是正数的概率．故③正确：将2020年1月－2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为0.2%，故④正确．故选C．
8.A ，，；
，，
，，故选A．
9.D ，是f（x）的一个周期，故A错误；要使f（x）＝2，即，即，显然不成立，故B错误；当时，，在上先增后减，故C错误；，故D正确．故选D．
10.B 令x＝0，则，则D错误；令，则，当x＞0时，，，则g（x）在上单调递增，，
即，故B正确，C错误；∵f（x）是偶函数，∴g（x）也是偶函数，∴g（x）在上单调递减，，即，故A错误．故选B．
11.A 当x＝c时，，解得，不妨设点A在第一象限，则．
由是钝角，可得，即，，整理得．故选A．
12.D ，，即，，，
，∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，，
，
，
．故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.
由题意得，，又，则，解得．
14.－25
展开式中常数项为
15.
设，球O的半径为R，则PB＝3r，由球O的表面积为，得．在中，
，即，解得r＝1，故圆锥的侧面积为．
16.
点A（－4，0）在抛物线C的准线x＝－4上，设点P在准线上的射影为Q，则，当直线AP与抛物线C相切时∠PAQ最小，sin∠PAQ也最小．设PA的方程为y＝k（x＋4），与联立得0.由得，当时，．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
（I）由题意得，，
，…………………………3分
∴由正弦定理可得．………………5分
又．………………6分
（II）由及正弦定理得，
．………………8分
．……………………10分
由得，
∴当，即时，．………………12分
18.（本小题满分12分）
（I）证明：取BC中点M，连接SM，AM，
∵四边形ABCD为菱形且∠CAD＝60°，∴AM⊥BC，
∵SB＝SC，∴SM⊥BC．………………2分
又，∴BC⊥平面SAM，
平面SAM，∴SA⊥BC．
同理可证SA⊥DC，，∴SA⊥平面ABCD．………………4分
又平面ABCD，∴SA⊥BD．…………………5分
（II）取CD的中点F，以A为坐标原点，直线AF，AB，AS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz．
不妨设AB＝2，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AB，
又∠SBA＝45°，．∴SA＝AB＝2，
则，
………………………………8分
易得平面SAC的一个法向量为，……………9分
设平面AEC的法向量为，
则，即，
取，则．……………………10分
由图可知，二面角S－AC－E为锐角，
故二面角S－AC－E的余弦值为．……………12分
19.（本小题满分12分）
（I）这100人中“不满意”的人数为．……2分
由频率分布直方图易得，食堂得分的中位数为．……………………4分
（II）（i）若按满意度采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取15人，则“不满意”与“基本满意”的学生应抽取（人），“非常满意”的学生应抽取（人），……………………6分
∴X的取值为0，1，2，3，
，
，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
………………9分
（ii）由（i）得，
则3人获得的现金总额，
（元），
即3人获得的现金总额估计为360元．……………………12分
20.（本小题满分12分）
（I）由题意得，，则，．
设，则，，…………………………2分
，
∴椭圆C的方程为．……………………5分
（II）设，
由余弦定理得，，
，
两式相加得，．……………………8分
．……………………9分
∴点A，B在椭圆C上，，
，
∴（*）．
将代入（*）式，得，
，
是定值，定值是24……………………12分
21.（本小题满分12分）
（I）解法一：由题意得，，
当时，易得函数单调递增，
而，，
故，当时，；
当时，，而，
∴函数f（x）在上无零点；…………………3分
当时，，∴函数f（x）在上单调递增，
而，∴函数f（x）在上有1个零点．
综上所述，函数f（x）在上有1个零点．………………6分
解法二：由f（x）＝0，得，则．
在同一直角坐标系中，作出和的图象，，
由图象易知函数f（x）在上只有一个零点．…………………6分
（II）令， ，则 ．
，，……………………8分
令，在上恒成立，
则h（x）为増函数，即为增函数
①当，即时，，∴g（x）在上为增函数，，即在上恒成立；……………………10分
②当m＋2＜0，即m＜－2时，，，使，
当为增函数；
当为减函数，
，与在上恒成立相矛盾，不成立．
综上所述，实数m的取值范围是．………………12分
请考生从第22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
（I）∵曲线C的极坐标方程为，
将代入，得，
∴曲线C的直角坐标方程为．……………………3分
由题意得，直线l的普通方程为．……………………5分
（II）解法一：直线l的方程为，∴直线l分成两条射线，
其极坐标方程分別为或．……………………6分
联立和，
分别解得和，．………………8分
而到距离为，
的面积为．………………10分
解法二：联立，整理得，……………………6分
设，则，
…………………………8分
又点到直线l的距离d＝1，
．………………10分
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（I）由题意得，，……………………3分
∴当时，f（x）单调递増；当时，f（x）单调递减，
．……………………5分
（II）由（I）得，2a＋b＋2c＝3，……………………6分
由柯西不等式得，，
当且仅当时取等号，
，即．…………………10分
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