四川省自贡市富顺县2021届中考模拟检测（三）

四川省自贡市富顺县2021届中考模拟检测（三）

数 学 试 题

一、选择题（共12题，每题4分）

1. 在实数，－3，，中，最小的数是(   ) 

A.         B. －3       C.       D.

2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒．科学计数法表示31536000正确的是(    )

A．3.1536×106     B．3.1536×107      C．31.536×106      D．0.31536×108

3.下列运算正确的是(　　)

A．4m-m=4　　     B．(a2)3=a5     C．(x+y)2=x2+y2　　  D．-(t-1)=1-t

4.如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为 ( 　　)

A．5         B．6             C．7              D．8

主视图           俯视图

          （4题图）                     （6题图）                      （11题图）

5. 估计×的值应在(    )

 A．5和6之间      B．6和7之间  C．7和8之间  D．8和9之间

6.如图，直线a∥b，将一块含30°角（∠BAC=30°）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1=20°，则∠2的度数为(　　)

A．20°　　　　   B. 30°            C．40°　　　　     D．50°

7. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为(    )

A．有两个不相等的实数根       B．有两个相等的实数根

C．没有实数根                 D．无法确定

8.将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（    ）

A．y＝(x－4)2－6     B．y＝(x－1)2－3     C．y＝(x－2)2－2      D．y＝(x－4)2－2

9. 甲，乙两个班参加了学校组织的2021年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（　　）

A．甲、乙两班的平均水平相同 

B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 

C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 

D．甲班成绩优异的人数比乙班多

10.世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（    ）

A．    B．    C．   D．

11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF，若AC=3，CG=2，则CF的长为（      ）

A．               B．3                C．2                D．

12.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），其对称轴为直线x=，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=，x2=；⑤＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程

a（x+3）（x-2）+3=0的两个根，则m＜-3且n＞2．其中正确的结论有(　　)

A．3个       B．4个       

C．5个       D．6个

二、填空题（共6题，每题4分）

13. 分解因式：x3y﹣4xy＝　　          ．

14. 若分式有意义，则x的取值范围是　　     .

15.用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为　　     ．

16.如图，矩形ABOC的顶点B，C分别在x轴、y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（-2，0），将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过A、D两点，则k的值为　　     ．

17.如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为　　     ．

18.如图，直线l：y=x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1

作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2 B1B2的面积为S2，阴影△A3 B2B3的面积为S3…，则Sn=　　     ．

三、解答题

19.（8分）计算：

20.（8分）先化简，再求值：，其中.

21．（8分）某校为了了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

     女生阅读时间人数统计表                     男生阅读时间频数直方图

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝　　     ，n＝　　     ；

（2）此次抽样调查中，共抽取了　　     名学生，学生阅读时间的中位数在　　     时间段；

（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

22.（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

23.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．  （1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

24.（10分）阅读下面材料：

如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

（1）若x1＜x2，都有f(x1) ＜ f(x2)，则称f(x)是增函数；

（2）若x1＜x2，都有f(x1) ＞ f(x2)，则称f(x)是减函数．

例题：证明函数f(x)＝(x＞0)是减函数．

证明：设0＜x1＜x2，f(x1) － f(x2)＝＝

∵ 0＜x1＜x2，∴ x2－x1＞0，x1x2＞0．

∴ ＞0，即f(x1) — f(x2)＞0，

∴ f(x1) ＞ f(x2)，

∴ 函数f(x)＝(x＞0)是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数（x＜0），

（1）计算：f(－3)＝　　     ， f(－4)＝　　     ；

（2）猜想：函数（x＜0）是　　    函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

25.（12分）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG． 

①求证：△AGE≌△AFE；   ②若BE=2，DF=3，求AH的长．

(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

26.(14分)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连结AC和BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为          ；

（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

                                                                     （备用图）

参考答案

一、选择题

二、填空题

13、xy（x+2）（x﹣2）     14、 x≠4                 15、12

16、             17、            18、

三、解答题

19、解：原式＝1－2×＋－1＋2

＝1－＋－1＋2

＝2

20、

21、解：（1）3，30％；

（2）50，1≤t＜1.5

（3）画树状图如下：

由图可知共有20种等可能结果，其中“一男一女”的有12种结果 

∴男女生各一名的概率P＝ .

22、解：（1）作PC⊥AB于点C，

    在Rt△APC中，∠ACP=90°，∠A=30°，AP=120，

    ∴PC=AP·sinA=120×sin30°=120×=60，

    在Rt△BPC中，∠BCP=90°，∠B=45°，

∴PB==60，

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离是60海里．

（2）tA===3小时，

tB===2＜3，

答：救助船B先到达．

23、解：（1）如图所示，连接AE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴AE平分∠BAC，AE平分BC，

∴∠BAC=2∠BAE，

∵∠BAC=2∠CBF，

∴∠BAE=∠CBF，

∵∠AEB=90°，

∴∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠CBF +∠ABE=90°，即∠ABF=90°，

∴AB⊥BF，

∴BF是⊙O的切线．

（2）作CG⊥BF于点G，

∵∠BAE=∠CBF，∴sin∠BAE= sin∠CBF=，

∴BE=AB·sin∠BAE=3×=，

∴BC=2BE=2；

在Rt△BCG中，∠BGC=90°，

∴CG=BC·sin∠CBF=2×=2，

∵∠F=∠F，∠CGF=∠ABF=90°，

∴△CGF∽△ABF，

∴=，即=，得：CF=6，

∴AF=AC+CF=3+6=9，

∴BF===6．

24、解：（1） .

（2）增.

（3）证明：设x1＜x2＜0，

f(x1) － f(x2)＝

．

∵x1＜x2＜0，∴x2—x1＞0，x12x22＞0，x2＋x1－1＜0，

∴＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，

∴f(x1) ＜ f(x2)， 

∴函数是增函数．

25、解：（1）①由旋转的性质可知：

AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠BAG+∠BAE=45°．

∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中，

∴△GAE≌△FAE．

②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，

∴AB=AH，GE=EF=5．

设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．

在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，

即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．

∴AB=6．   ∴AH=6．

（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．

∴∠NDM′=90°．

∴NM′2=ND2+DM′2．

∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠FAM′=45°．

在△AMN和△ANM′中，，

∴△AMN≌△ANM′．

∴MN=NM′．

又∵BM=DM′，

∴MN2=ND2+BM2．

26、解：（1）∵OA=2，OC=6，∴A（-2，0），C（0，-6），

∴，∴，

∴y=x2-x-6；

（2）D（，-5）；

（3）如图，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，

设点E坐标为（x，x2-x-6），则点F（x，2x-6），

∴EF=（2x-6）-（x2-x-6）= -x2+3x，

∵S△BCE=S△CEF+S△BEF=EF·OG+EF·BG，

∴S△BCE=EF·OB=（-x2+3x）×3=x2+x，

∵0＜x＜3，

∴当x=时，△BCE的面积最大为

S△BCE= ×（）2+×（）=，

把x=代入y=x2-x-6得：y=，

所以此时点E的坐标为（，）；

（4）存在N1（2，0），N2（-2，），N3（-2，），N4（-2，）．

         图②            图③                 图④              图⑤