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广东省广州市南沙区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 解析版
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这是一份广东省广州市南沙区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，耐心填一填，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省广州市南沙区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞5
2．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
3．（3分）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
4．（3分）如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O为圆心，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC长为（ ）
A． B． C． D．3
5．（3分）下列二次根式化简后与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列各命题都成立，而它们的逆命题不能成立的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．四边相等的四边形是菱形
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm
10．（3分）如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、耐心填一填（每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝ ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ ．
13．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，已知AB∥CD，则添加一个条件 可得出四边形ABCD是平行四边形．
14．（3分）一个三角形的三边长分别是cm，cm，cm，则它的周长为 cm．
15．（3分）如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为 ．
16．（3分）实数b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
三、解答题（满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图：在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．
21．（8分）已知：，，求下列各式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2+b2．
22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
23．（10分）已知：▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于E、F．
（2）连接BE、DF，求证：四边形EBFD为菱形．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
25．（10分）已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
2020-2021学年广东省广州市南沙区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞5
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得，x≥5，
故选：B．
2．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：12+22≠32，故选项A中三条线段不能组成直角三角形；
22+32≠42，故选项B中三条线段不能组成直角三角形；
32+52≠62，故选项C中三条线段不能组成直角三角形；
12+（）2＝22，故选项D中三条线段能组成直角三角形；
故选：D．
3．（3分）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【解答】解：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．
故选：C．
4．（3分）如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O为圆心，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC长为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】先在直角△OAB中，根据勾股定理求出OB，再根据同圆的半径相等即可求解．
【解答】解：∵在直角△OAB中，∠OAB＝90°．
∴OB＝．
∴OC＝OB＝．
故选：A．
5．（3分）下列二次根式化简后与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质化简，然后根据能合并的二次根式为同类二次根式作出判断．
【解答】解：A.，不能与合并，故本选项错误；
B.，不能与合并，故本选项错误；
C.，不能与合并，故本选项错误；
D.，能与合并，故本选项正确；
故选：D．
6．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝2，故原数不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
7．（3分）下列各命题都成立，而它们的逆命题不能成立的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．四边相等的四边形是菱形
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、逆命题是同位角相等，两直线平行，成立；
B、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不成立；
C、逆命题是菱形是四边相等的四边形，成立；
D、逆命题是一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形，成立．
故选：B．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝2．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm
【分析】主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF∥AO，FG∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题便可解答．
【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED＝BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG＝BC，
∴ED＝FG＝BC＝4cm，
同理GD＝EF＝AO＝3cm，
∴四边形EFDG的周长为3+4+3+4＝14（cm）．
故选：A．
10．（3分）如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝BC，再根据平移的性质得AB＝DC，AB∥DC，则可判断四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得AD＝BC，BD、AC互相平分；同理可得四边形ACED为菱形；由于BD⊥AC，AC∥DE，易得BD⊥DE．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∵等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
而AB＝BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AD＝BC，BD、AC互相平分，所以①②正确；
同理可得四边形ACED为菱形，所以③正确；
∵BD⊥AC，AC∥DE，
∴BD⊥DE，所以④正确．
故选：D．
二、耐心填一填（每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝ 50° ．
【分析】因为平行四边形的对角相等，所以∠C＝∠A＝50°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝50°．
故答案为50．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ 5 ．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
故答案为：5．
13．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，已知AB∥CD，则添加一个条件 AB＝CD（答案不唯一） 可得出四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：添加条件：AB＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
14．（3分）一个三角形的三边长分别是cm，cm，cm，则它的周长为 9 cm．
【分析】根据三角形的周长定义，可推出三角形的周长是++，然后把每一项化为最简二次根式后，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是cm，cm，cm，
∴三角形的周长＝++
＝2+3+4
＝9cm．
故答案为9．
15．（3分）如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为 14 ．
【分析】利用等角的余角相等得到∠ABF＝∠DAE，再根据“AAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AF＝DE＝8，BF＝AE，接着利用勾股定理计算出在BF＝6，然后计算AE+AF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，BF＝AE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴AE＝6，
∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．
故答案为14．
16．（3分）实数b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 4﹣2b ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：b＜0，
故原式＝3﹣b+1﹣b
＝4﹣2b．
故答案为：4﹣2b．
三、解答题（满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（6﹣3）÷
＝3÷
＝3；
（2）原式＝2+3+2+﹣3
＝2+3．
18．（6分）如图：在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．
【分析】先利用角平分线的性质得∠BAE＝∠DAE＝25°，即∠BAD＝50°，再利用平行四边形的性质得∠C＝∠BAD＝50°，AD∥BC，然后根据平行线的性质计算∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，
∴∠BAE＝∠DAE＝25°，
∴∠BAD＝50°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝50°，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE＝BE＝AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC即可得出结论．
【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°．
在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，
AC＝＝＝13．
∵BC＝13，
∴AC＝BC．
∵CE⊥AB，AB＝10，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．
在Rt△CAE中，
CE＝＝＝12．
∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．
21．（8分）已知：，，求下列各式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2+b2．
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则分别求出a+b、a﹣b，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝﹣3，b＝+3，
∴a+b＝（﹣3）+（+3）＝2，a﹣b＝（﹣3）﹣（+3）＝﹣6，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣12；
（2）ab＝（﹣3）（+3）＝﹣2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝28+4＝32．
22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，由“AAS”可证△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×6＝36．
23．（10分）已知：▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于E、F．
（2）连接BE、DF，求证：四边形EBFD为菱形．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；
（2）利用垂直平分线的性质证得△DEO≌△BFO即可证得结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BO＝DO，
在△DEO和三角形BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BE＝DE，
∴四边形EBFD为菱形．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
25．（10分）已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
【分析】（1）利用观察法即可解决问题．
（2）证明△PDC≌△PBC（SAS），即可解决问题．
（3）如图3所示：结论：①PE＝PB，②PE⊥PB．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）解：猜想：PE＝PB，
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，
又∵PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD＝PB，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB．
故答案为：PE＝PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，
又∵PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD＝PB，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB．
（3）解：如图3所示：结论：①PE＝PB，②PE⊥PB．
理由：设PB交EC于J．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，∠BCD＝∠BCE＝90°，
∴∠DCP＝∠BCP，
又∵PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD＝PB，∠1＝∠2，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB，∠E＝∠2，
∴∠1＝∠E，
∵∠CJB＝∠PJE，
∴∠BCJ＝∠JPE＝90°，
∴PB⊥PE，PB＝PE．
2020-2021学年广东省广州市南沙区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞5
2．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
3．（3分）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
4．（3分）如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O为圆心，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC长为（ ）
A． B． C． D．3
5．（3分）下列二次根式化简后与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列各命题都成立，而它们的逆命题不能成立的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．四边相等的四边形是菱形
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm
10．（3分）如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、耐心填一填（每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝ ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ ．
13．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，已知AB∥CD，则添加一个条件 可得出四边形ABCD是平行四边形．
14．（3分）一个三角形的三边长分别是cm，cm，cm，则它的周长为 cm．
15．（3分）如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为 ．
16．（3分）实数b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
三、解答题（满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图：在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．
21．（8分）已知：，，求下列各式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2+b2．
22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
23．（10分）已知：▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于E、F．
（2）连接BE、DF，求证：四边形EBFD为菱形．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
25．（10分）已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
2020-2021学年广东省广州市南沙区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≥5 C．x≤5 D．x＞5
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得，x≥5，
故选：B．
2．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，6 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：12+22≠32，故选项A中三条线段不能组成直角三角形；
22+32≠42，故选项B中三条线段不能组成直角三角形；
32+52≠62，故选项C中三条线段不能组成直角三角形；
12+（）2＝22，故选项D中三条线段能组成直角三角形；
故选：D．
3．（3分）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【解答】解：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．
故选：C．
4．（3分）如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O为圆心，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC长为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】先在直角△OAB中，根据勾股定理求出OB，再根据同圆的半径相等即可求解．
【解答】解：∵在直角△OAB中，∠OAB＝90°．
∴OB＝．
∴OC＝OB＝．
故选：A．
5．（3分）下列二次根式化简后与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质化简，然后根据能合并的二次根式为同类二次根式作出判断．
【解答】解：A.，不能与合并，故本选项错误；
B.，不能与合并，故本选项错误；
C.，不能与合并，故本选项错误；
D.，能与合并，故本选项正确；
故选：D．
6．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝2，故原数不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，故原数不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
7．（3分）下列各命题都成立，而它们的逆命题不能成立的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．四边相等的四边形是菱形
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、逆命题是同位角相等，两直线平行，成立；
B、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不成立；
C、逆命题是菱形是四边相等的四边形，成立；
D、逆命题是一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形，成立．
故选：B．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝2．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm
【分析】主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF∥AO，FG∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题便可解答．
【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED＝BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG＝BC，
∴ED＝FG＝BC＝4cm，
同理GD＝EF＝AO＝3cm，
∴四边形EFDG的周长为3+4+3+4＝14（cm）．
故选：A．
10．（3分）如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝BC，再根据平移的性质得AB＝DC，AB∥DC，则可判断四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得AD＝BC，BD、AC互相平分；同理可得四边形ACED为菱形；由于BD⊥AC，AC∥DE，易得BD⊥DE．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∵等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
而AB＝BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AD＝BC，BD、AC互相平分，所以①②正确；
同理可得四边形ACED为菱形，所以③正确；
∵BD⊥AC，AC∥DE，
∴BD⊥DE，所以④正确．
故选：D．
二、耐心填一填（每小题3分，满分18分）
11．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝ 50° ．
【分析】因为平行四边形的对角相等，所以∠C＝∠A＝50°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝50°．
故答案为50．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ 5 ．
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
故答案为：5．
13．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，已知AB∥CD，则添加一个条件 AB＝CD（答案不唯一） 可得出四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：添加条件：AB＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
14．（3分）一个三角形的三边长分别是cm，cm，cm，则它的周长为 9 cm．
【分析】根据三角形的周长定义，可推出三角形的周长是++，然后把每一项化为最简二次根式后，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是cm，cm，cm，
∴三角形的周长＝++
＝2+3+4
＝9cm．
故答案为9．
15．（3分）如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为 14 ．
【分析】利用等角的余角相等得到∠ABF＝∠DAE，再根据“AAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AF＝DE＝8，BF＝AE，接着利用勾股定理计算出在BF＝6，然后计算AE+AF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE＝8，BF＝AE，
在Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴AE＝6，
∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．
故答案为14．
16．（3分）实数b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 4﹣2b ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：b＜0，
故原式＝3﹣b+1﹣b
＝4﹣2b．
故答案为：4﹣2b．
三、解答题（满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（6﹣3）÷
＝3÷
＝3；
（2）原式＝2+3+2+﹣3
＝2+3．
18．（6分）如图：在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25°，求∠C、∠B的度数．
【分析】先利用角平分线的性质得∠BAE＝∠DAE＝25°，即∠BAD＝50°，再利用平行四边形的性质得∠C＝∠BAD＝50°，AD∥BC，然后根据平行线的性质计算∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，
∴∠BAE＝∠DAE＝25°，
∴∠BAD＝50°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝50°，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE＝BE＝AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC即可得出结论．
【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°．
在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，
AC＝＝＝13．
∵BC＝13，
∴AC＝BC．
∵CE⊥AB，AB＝10，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．
在Rt△CAE中，
CE＝＝＝12．
∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．
21．（8分）已知：，，求下列各式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2+b2．
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则分别求出a+b、a﹣b，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝﹣3，b＝+3，
∴a+b＝（﹣3）+（+3）＝2，a﹣b＝（﹣3）﹣（+3）＝﹣6，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣12；
（2）ab＝（﹣3）（+3）＝﹣2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝28+4＝32．
22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，由“AAS”可证△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝6×6＝36．
23．（10分）已知：▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
（1）尺规作图：作对角线BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于E、F．
（2）连接BE、DF，求证：四边形EBFD为菱形．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；
（2）利用垂直平分线的性质证得△DEO≌△BFO即可证得结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BO＝DO，
在△DEO和三角形BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BE＝DE，
∴四边形EBFD为菱形．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
25．（10分）已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
【分析】（1）利用观察法即可解决问题．
（2）证明△PDC≌△PBC（SAS），即可解决问题．
（3）如图3所示：结论：①PE＝PB，②PE⊥PB．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）解：猜想：PE＝PB，
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，
又∵PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD＝PB，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB．
故答案为：PE＝PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，
又∵PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD＝PB，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB．
（3）解：如图3所示：结论：①PE＝PB，②PE⊥PB．
理由：设PB交EC于J．
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD＝CB，∠ACD＝∠ACB，∠BCD＝∠BCE＝90°，
∴∠DCP＝∠BCP，
又∵PC＝PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD＝PB，∠1＝∠2，
∵PE＝PD，
∴PE＝PB，∠E＝∠2，
∴∠1＝∠E，
∵∠CJB＝∠PJE，
∴∠BCJ＝∠JPE＝90°，
∴PB⊥PE，PB＝PE．
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