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2021年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷
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这是一份2021年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的用2B铅笔把答题卷上正确答案对应的字母涂黑）
1．（3分）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．
2．（3分）有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣7 B．0.78×10﹣8 C．7.8×10﹣8 D．7.8×10﹣6
3．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）在“献爱心”捐款活动中，某校6名同学的捐款数如下（单位：元）：5，8，6，10，5，8，这组数据的中位数是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
5．（3分）化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．a﹣1 B． C． D．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k≥1 D．k≤﹣1
7．（3分）如图是一张三角形纸板，顺次连接各边中点得到新三角形，再顺次连接新三角形各边中点得到一个小三角形．将一个飞镖随机投掷到大三角形纸板上，（假设飞镖落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．90°
9．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D，若AB＝BD，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．16
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则tan∠DEF的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卷相应位置上。）
11．（3分）计算：a2•a2＝ ．
12．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）分解因式：2m2﹣4m+2＝ ．
14．（3分）若a是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则9+6a﹣2a2的值等于 ．
15．（3分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向，且船C离观测站B的距离为2km，（即BC＝2km），则A，B两个观测站之间的距离为 km．（结果用根号表示）
16．（3分）如图，四边形AOBC是菱形，点C在以O为圆心OA为半径的上，若OA＝2，则的长为 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若点A的对应点A′落在直线AB上，连接BB′，则四边形BA′OB′的面积为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）
19．（5分）计算：（π+）0﹣（﹣）2﹣．
20．（5分）解不等式组．
21．（6分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
22．（7分）某校举行运动会时成立了“志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：A．安全监督岗；B．卫生监督岗；C．文明监督岗；D．检录服务岗，小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监岗．
（1）小明被分配到“文明监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率．
23．（7分）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源某城市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．（注：A为厨余垃圾，B为可回收垃圾，C为其它垃圾，D为有害垃圾）
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求这次抽样调查中可回收垃圾的吨数，并将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数；
（3）假设该城市每月产生的生活垃圾为6000吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨？
24．（8分）某校分批组织初一学生到青少年活动基地进行社会实践活动，学校租用35座的甲型客车和30座的乙型客车包车前去，第一批学生租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；第二批学生租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元．
（1）租用甲型客车和乙型客车每辆各多少元？
（2）学校组织第三批学生250人前去社会实践时，预算的租车费用不超过3000元，所以学校准备租用甲型客车和乙型客车一共8辆，请问共有几种租车方案？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x交x轴的负半轴于点A，点B是抛物线上一点，连接AB，交y轴于点C，且AC＝BC．点D是抛物线的顶点．
（1）求点B坐标；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为M．若该抛物线经过点C，且DM∥AB，求新抛物线对应的函数表达式．
26．（10分）定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．
（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
27．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD边相切于点E，BC交⊙O于点F（AF＞BF），连接AE，EF．
（1）求证：∠AFE＝45°；
（2）求证：EF2＝AF•CF；
（3）若⊙O的半径是，且，求AD的长．
28．如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝1，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段BA延长线上一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G．设BE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系如图2所示．
（1）y与x的函数表达式为 ；边BC的长为 ；
（2）求证：DE⊥DF；
（3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形？如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．
2021年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的用2B铅笔把答题卷上正确答案对应的字母涂黑）
1．（3分）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣5＜0＜＜，
∴所给的四个实数中，最小的数是﹣5．
故选：A．
2．（3分）有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣7 B．0.78×10﹣8 C．7.8×10﹣8 D．7.8×10﹣6
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000078＝7.8×10﹣8．
故选：C．
3．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）在“献爱心”捐款活动中，某校6名同学的捐款数如下（单位：元）：5，8，6，10，5，8，这组数据的中位数是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：把这些数从小大排列为5，5，6，8，8，10，
则中位数是＝7．
故选：C．
5．（3分）化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．a﹣1 B． C． D．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝，
故选：D．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k≥1 D．k≤﹣1
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的等式，求出k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故选：B．
7．（3分）如图是一张三角形纸板，顺次连接各边中点得到新三角形，再顺次连接新三角形各边中点得到一个小三角形．将一个飞镖随机投掷到大三角形纸板上，（假设飞镖落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】确定阴影部分的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
【解答】解：设△GHI的面积是S，则△DEF的面积是4S，阴影部分的面积是3S，
∵D、E、F是三边的中点，
∴△ABC的面积是16S，
∴飞镖落在阴影部分的概率是＝．
故选：B．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．90°
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B，再利用圆周角定理求出∠CAB即可．
【解答】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°．
故选：A．
9．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D，若AB＝BD，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．16
【分析】过A作AE⊥BC于E交x轴于F，则AF∥y轴，根据矩形的性质得到EF＝OB，根据勾股定理得到AE＝＝，设OB＝a，则A（2，+a），D（，a），即可得到k＝2（+a）＝a，解方程求得a的值，即可得到D的坐标，进而求得k的值．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E交x轴于F，
∵AB＝AC＝，BC＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴AE＝＝，
设OB＝a，
∵BD＝AB＝，
∴A（2，+a），D（，a），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D，
∴k＝2（+a）＝a，
解得：a＝6，
∴k＝×6＝15，
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则tan∠DEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，由已知可得△BCE∽△EGF，FG＝EC，GE＝2＝CD，设EC＝x，Rt△FDG中用勾股定理列方程求出x，即可得到答案．
【解答】解：过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，∠EBC＝∠DEF，
∵EF＝BE，
∴＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，DF＝，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴EC＝，
Rt△ECB中，tan∠EBC＝＝，
∴tan∠DEF＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卷相应位置上。）
11．（3分）计算：a2•a2＝ a4 ．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：a2•a2＝a2+2＝a4．
故答案为：a4．
12．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
13．（3分）分解因式：2m2﹣4m+2＝ 2（m﹣1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1）
＝2（m﹣1）2．
故答案为：2（m﹣1）2．
14．（3分）若a是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则9+6a﹣2a2的值等于 5 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝2，再把9+6a﹣2a2变形为9﹣2（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
即a2﹣3a＝2，
∴9+6a﹣2a2＝9﹣2（a2﹣3a）＝9﹣2×2＝5．
故答案为5．
15．（3分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向，且船C离观测站B的距离为2km，（即BC＝2km），则A，B两个观测站之间的距离为 （+1） km．（结果用根号表示）
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠DCB＝30°，BC＝2km，
∴BD＝BC＝1km，
∴CD＝km，
∵∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝DC＝km，
∴AB＝AD+DB＝（+1）km．
故答案为：（+1）．
16．（3分）如图，四边形AOBC是菱形，点C在以O为圆心OA为半径的上，若OA＝2，则的长为 ．
【分析】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA＝AC＝2，再由OA＝OC可知△AOC是等边三角形，∠AOC＝∠BOC＝60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD的长，由S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOC即可得出结论
【解答】解：连接OC，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA＝AC＝2．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝，
故答案为：．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若点A的对应点A′落在直线AB上，连接BB′，则四边形BA′OB′的面积为 ．
【分析】作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，依题意求出点A，B坐标，求出OA＝1，OB＝，先证得△OAA′是等边三角形，即可求出点A′的坐标即可，通过三角形相似求得B′的坐标，用S△A′OB+S△OBB′即可得到四边形BA′OB′的面积．
【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵一次函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴点坐标A（﹣1，0），B（0，），即OA＝1，OB＝，
∴OA′＝OA＝1，OB′＝OB＝，
∵tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴OD＝，A′D＝，
∴A′（，），
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠A′OD+∠B′OE＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠A′DO＝∠OEB′，
∵△A′DO∽△OEB'，
∴＝＝＝，
∴OE＝，B′E＝，
∴B′（，），
∴四边形BA′OB′的面积＝S△A′OB+S△OBB′＝+＝，
故答案为．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝ 2+ ．
【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．
【解答】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴AB＝＝＝2，
∵∠AMC＝2∠AOC＝120°，
∴AC＝AM＝，
在Rt△COH中，OH＝OC•cos60°＝a，CH＝OH＝a，
∴AH＝4﹣a，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
∴15＝（4﹣a）2+（a）2，
∴a＝2+或2﹣（舍弃），
∴OC＝2+．
故答案为：2+．
三、解答题（本大题共10小题，共76分把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）
19．（5分）计算：（π+）0﹣（﹣）2﹣．
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣﹣2
＝﹣2．
20．（5分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣2.5，
故不等式组的解集为﹣2.5≤x＜1．
21．（6分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）根据SAS证明即可．
（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD＝100°，
∴∠BEC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠CBE＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
22．（7分）某校举行运动会时成立了“志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：A．安全监督岗；B．卫生监督岗；C．文明监督岗；D．检录服务岗，小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监岗．
（1）小明被分配到“文明监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵设立了四个“服务监督岗”，而“文明监督岗”是其中之一，
∴小明被分配到“文明监督岗”的概率为．
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，③）
（D，C）
④
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，④）
共有16种等可能的结果，其中小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果数为4，
所以小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率是＝．
23．（7分）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源某城市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．（注：A为厨余垃圾，B为可回收垃圾，C为其它垃圾，D为有害垃圾）
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求这次抽样调查中可回收垃圾的吨数，并将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数；
（3）假设该城市每月产生的生活垃圾为6000吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨？
【分析】（1）根据A类数量和所占的百分比，可以求得本次抽取的垃圾吨数，然后再根据条形统计图中的数据，即可求得B类垃圾的吨数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出每月产生的有害垃圾有多少吨．
【解答】解：（1）本次抽样调查的垃圾有：24÷48%＝50（吨），
B类垃圾有：50﹣24﹣8﹣6＝12（吨），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）360°×＝43.2°，
即扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数是43.2°；
（3）6000×＝720（吨），
即估计每月产生的有害垃圾有720吨．
24．（8分）某校分批组织初一学生到青少年活动基地进行社会实践活动，学校租用35座的甲型客车和30座的乙型客车包车前去，第一批学生租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；第二批学生租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元．
（1）租用甲型客车和乙型客车每辆各多少元？
（2）学校组织第三批学生250人前去社会实践时，预算的租车费用不超过3000元，所以学校准备租用甲型客车和乙型客车一共8辆，请问共有几种租车方案？
【分析】（1）设租用甲型客车每辆x元，租用乙型客车每辆y元，根据等量关系：租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元；建立方程组求出其解即可；
（2）设租用甲型客车m辆，则乙型客车（8﹣m）辆，根据题意，学生250人；预算的租车费用不超过3000元，建立不等式组求出其解即可．
【解答】解：（1）设租用甲型客车每辆x元，租用乙型客车每辆y元，
由题意可得：，
解得，
答：租用甲型客车每辆400元，租用乙型客车每辆320元；
根据等量关系：租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元；建立方程组求出其解即可；
（2）设租用甲型客车m辆，则乙型客车（8﹣m）辆，
由题意可得：，
解得2≤m≤5.5，
∵m是整数，
∴共有4种租车方案：①租用甲型客车2辆，乙型客车6辆；②租用甲型客车3辆，乙型客车5辆；③租用甲型客车4辆，乙型客车4辆；④租用甲型客车5辆，乙型客车3辆．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x交x轴的负半轴于点A，点B是抛物线上一点，连接AB，交y轴于点C，且AC＝BC．点D是抛物线的顶点．
（1）求点B坐标；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为M．若该抛物线经过点C，且DM∥AB，求新抛物线对应的函数表达式．
【分析】（1）根据A点的坐标，C是AB的中点即可求出B点的坐标；
（2）根据已知条件可以求出直线DM的解析式，再设出平移后的抛物线解析式得到顶点坐标，又因为抛物线过C点，即可求出解析式．
【解答】解：（1）由题意知A（﹣1，0），
设B（xB，+xB），
∵AC＝BC，
∴点C是AB的中点，
故xB﹣1＝0，
∴xB＝1，
∴B（1，2）；
（2）由（1）知点C（0，1），
又∵A（﹣1，0），
∴直线AB：y＝x+1，
∵DM∥AB，
∴设直线DM解析式为y＝x+m，
∵D点是抛物线y＝x2+x的顶点，
∴D（﹣，﹣），
把D点代入直线DM解析式为y＝x+m，
解得m＝，
∴直线DM的解析式为y＝x+，
设平移后的函数表达式为y＝（x﹣m）2+（x﹣m）+n＝x2+（1﹣2m）x+m2﹣m+n，
∴顶点M的坐标为（，），
∵新抛物线过C点，M在直线DM上，
∴，
解得或，
∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣x+1或y＝x2+3x+1．
26．（10分）定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．
（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【分析】（1）由已知可得＝，从而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可证点D是△ABC的“理想点”；
（2）由D是△ABC的“理想点”，可得CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度．
【解答】解：（1）点D是△ABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB＝2，
∴AD＝BD＝1，AD•AB＝2，
∵AC＝，
∴AC2＝2，
∴AC2＝AD•AB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”；
（2）如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝．
27．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD边相切于点E，BC交⊙O于点F（AF＞BF），连接AE，EF．
（1）求证：∠AFE＝45°；
（2）求证：EF2＝AF•CF；
（3）若⊙O的半径是，且，求AD的长．
【分析】（1）连接OE，证明∠AOE＝90°，即可求解；
（2）证明△FCE∽△FEA，即可求解；
（3）在△AEF中，EF＝3m，AF＝9m，∠AFE＝45°，则EH＝FH＝EF＝3m，AH＝AF﹣HF＝9m﹣3m＝6m，则AE＝＝＝AO＝×＝3，解得m＝1，则FB＝＝＝3，进而求解．
【解答】解：（1）连接OE，
∵CD是圆O的切线，故OE⊥CD，
而四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，OE⊥AB，
则∠AOE＝90°，
∴∠AFE＝45°；
（2）∵AB是圆的直径，故∠AFB＝90°＝∠AFC，
而∠AFE＝45°，故∠CFE＝90﹣∠AFE＝45°＝∠AFE，
∵CD是圆的切线，故∠CEF＝∠EAF，
∴△FCE∽△FEA，
∴，
∴EF2＝AF•CF；
（3）∵，故设CF＝2m，AF＝9m，
则EF2＝AF•CF＝2m•9m＝18m2，解得EF＝3m，
在△AEF中，EF＝3m，AF＝9m，∠AFE＝45°，
过点E作EH⊥AF于点H，
则EH＝FH＝EF＝3m，AH＝AF﹣HF＝9m﹣3m＝6m，
则AE＝＝＝AO＝×＝3，解得m＝1，
则FB＝＝＝3，
则BC＝BF+CF＝3+2m＝3+2＝5＝AD，
即AD＝5．
28．如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝1，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段BA延长线上一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G．设BE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系如图2所示．
（1）y与x的函数表达式为 y＝﹣2x+4（0＜x＜2） ；边BC的长为 2 ；
（2）求证：DE⊥DF；
（3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形？如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）待定系数法设y与x的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），根据图象经过（1，2），（0，4），将其代入即可求出表达式，由图象即可知BC的长；
（2）证明△CDE∽△ADF，再利用相似三角形对应角相等即可转换求证∠EDF＝90°即得证；
（3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，分DE＝DG，DG＝GE，DE＝GE三种情况讨论结合图形特点即可算出x的值．
【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
由图象知函数经过（1，2），（0，4），将其代入函数表达式得：
，
解得：，
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣2x+4，
令y＝0，则x＝2，
故由图象可知：0＜x＜2，BC＝2，
故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2），2；
（2）证明：∵BE＝x，BC＝2，
∴CE＝2﹣x，
∴＝＝，＝，
∴＝且∠C＝∠DAF＝90°，
∴△CDE∽△ADF，
∴∠ADF＝∠CDE，
又∵∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°，
∴∠EDF＝90°
∴DE⊥DF；
（3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，分情况讨论：
①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，
∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠BEF＝∠DEG，
在△DEF和△BEF中，
∴，
∴△DEF≌△BEF（AAS）
∴DE＝BE＝x，
而CE＝2﹣x，CD＝1，
在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，
即，12+（2﹣x）2＝x2，
解得：x＝；
②若DG＝GE，则∠GDE＝∠GED，
∵∠GDE+∠GDF＝90°，
∠DEG+∠DFE＝90°，
∴∠GDF＝∠DFE，
∴DG＝FG＝GE，
∴G为EF的中点，
又∵AG∥BE，
∴A也为BF的中点，
∴AF＝BA＝1，
∴y＝﹣2x+4＝1，
解得：x＝；
③若DE＝GE，则∠EDG＝∠EGD，过点E作EH⊥DG于点H，则：
DH＝GH＝CE＝2﹣x，EH＝CD＝AB＝1，AG＝2﹣DG＝2﹣2（DH）＝2﹣2（2﹣x）＝2x﹣2，AF＝y＝﹣2x+4，
∵∠EHG＝∠GAB＝∠GAF＝90°，∠HGE＝∠AGF，
∴△HGE∽△AGF，
∴，
即，，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴此时x＝；
综上所述，当x＝或或时，使得△DEG是等腰三角形．
2021年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的用2B铅笔把答题卷上正确答案对应的字母涂黑）
1．（3分）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．
2．（3分）有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣7 B．0.78×10﹣8 C．7.8×10﹣8 D．7.8×10﹣6
3．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）在“献爱心”捐款活动中，某校6名同学的捐款数如下（单位：元）：5，8，6，10，5，8，这组数据的中位数是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
5．（3分）化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．a﹣1 B． C． D．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k≥1 D．k≤﹣1
7．（3分）如图是一张三角形纸板，顺次连接各边中点得到新三角形，再顺次连接新三角形各边中点得到一个小三角形．将一个飞镖随机投掷到大三角形纸板上，（假设飞镖落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．90°
9．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D，若AB＝BD，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．16
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则tan∠DEF的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卷相应位置上。）
11．（3分）计算：a2•a2＝ ．
12．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）分解因式：2m2﹣4m+2＝ ．
14．（3分）若a是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则9+6a﹣2a2的值等于 ．
15．（3分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向，且船C离观测站B的距离为2km，（即BC＝2km），则A，B两个观测站之间的距离为 km．（结果用根号表示）
16．（3分）如图，四边形AOBC是菱形，点C在以O为圆心OA为半径的上，若OA＝2，则的长为 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若点A的对应点A′落在直线AB上，连接BB′，则四边形BA′OB′的面积为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）
19．（5分）计算：（π+）0﹣（﹣）2﹣．
20．（5分）解不等式组．
21．（6分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
22．（7分）某校举行运动会时成立了“志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：A．安全监督岗；B．卫生监督岗；C．文明监督岗；D．检录服务岗，小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监岗．
（1）小明被分配到“文明监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率．
23．（7分）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源某城市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．（注：A为厨余垃圾，B为可回收垃圾，C为其它垃圾，D为有害垃圾）
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求这次抽样调查中可回收垃圾的吨数，并将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数；
（3）假设该城市每月产生的生活垃圾为6000吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨？
24．（8分）某校分批组织初一学生到青少年活动基地进行社会实践活动，学校租用35座的甲型客车和30座的乙型客车包车前去，第一批学生租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；第二批学生租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元．
（1）租用甲型客车和乙型客车每辆各多少元？
（2）学校组织第三批学生250人前去社会实践时，预算的租车费用不超过3000元，所以学校准备租用甲型客车和乙型客车一共8辆，请问共有几种租车方案？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x交x轴的负半轴于点A，点B是抛物线上一点，连接AB，交y轴于点C，且AC＝BC．点D是抛物线的顶点．
（1）求点B坐标；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为M．若该抛物线经过点C，且DM∥AB，求新抛物线对应的函数表达式．
26．（10分）定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．
（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
27．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD边相切于点E，BC交⊙O于点F（AF＞BF），连接AE，EF．
（1）求证：∠AFE＝45°；
（2）求证：EF2＝AF•CF；
（3）若⊙O的半径是，且，求AD的长．
28．如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝1，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段BA延长线上一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G．设BE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系如图2所示．
（1）y与x的函数表达式为 ；边BC的长为 ；
（2）求证：DE⊥DF；
（3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形？如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．
2021年江苏省苏州市姑苏区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的用2B铅笔把答题卷上正确答案对应的字母涂黑）
1．（3分）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣5 B． C．0 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣5＜0＜＜，
∴所给的四个实数中，最小的数是﹣5．
故选：A．
2．（3分）有一种病毒的直径约为0.000000078米，数0.000000078用科学记数法表示为（ ）
A．0.78×10﹣7 B．0.78×10﹣8 C．7.8×10﹣8 D．7.8×10﹣6
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000078＝7.8×10﹣8．
故选：C．
3．（3分）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．在下列苏州园林的窗户简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）在“献爱心”捐款活动中，某校6名同学的捐款数如下（单位：元）：5，8，6，10，5，8，这组数据的中位数是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：把这些数从小大排列为5，5，6，8，8，10，
则中位数是＝7．
故选：C．
5．（3分）化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．a﹣1 B． C． D．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝，
故选：D．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k≥1 D．k≤﹣1
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的等式，求出k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故选：B．
7．（3分）如图是一张三角形纸板，顺次连接各边中点得到新三角形，再顺次连接新三角形各边中点得到一个小三角形．将一个飞镖随机投掷到大三角形纸板上，（假设飞镖落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】确定阴影部分的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
【解答】解：设△GHI的面积是S，则△DEF的面积是4S，阴影部分的面积是3S，
∵D、E、F是三边的中点，
∴△ABC的面积是16S，
∴飞镖落在阴影部分的概率是＝．
故选：B．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．90°
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B，再利用圆周角定理求出∠CAB即可．
【解答】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°．
故选：A．
9．（3分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D，若AB＝BD，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．16
【分析】过A作AE⊥BC于E交x轴于F，则AF∥y轴，根据矩形的性质得到EF＝OB，根据勾股定理得到AE＝＝，设OB＝a，则A（2，+a），D（，a），即可得到k＝2（+a）＝a，解方程求得a的值，即可得到D的坐标，进而求得k的值．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E交x轴于F，
∵AB＝AC＝，BC＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴AE＝＝，
设OB＝a，
∵BD＝AB＝，
∴A（2，+a），D（，a），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A，交BC于点D，
∴k＝2（+a）＝a，
解得：a＝6，
∴k＝×6＝15，
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则tan∠DEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，由已知可得△BCE∽△EGF，FG＝EC，GE＝2＝CD，设EC＝x，Rt△FDG中用勾股定理列方程求出x，即可得到答案．
【解答】解：过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，∠EBC＝∠DEF，
∵EF＝BE，
∴＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，DF＝，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴EC＝，
Rt△ECB中，tan∠EBC＝＝，
∴tan∠DEF＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卷相应位置上。）
11．（3分）计算：a2•a2＝ a4 ．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：a2•a2＝a2+2＝a4．
故答案为：a4．
12．（3分）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
13．（3分）分解因式：2m2﹣4m+2＝ 2（m﹣1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1）
＝2（m﹣1）2．
故答案为：2（m﹣1）2．
14．（3分）若a是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则9+6a﹣2a2的值等于 5 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝2，再把9+6a﹣2a2变形为9﹣2（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
即a2﹣3a＝2，
∴9+6a﹣2a2＝9﹣2（a2﹣3a）＝9﹣2×2＝5．
故答案为5．
15．（3分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向，且船C离观测站B的距离为2km，（即BC＝2km），则A，B两个观测站之间的距离为 （+1） km．（结果用根号表示）
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠DCB＝30°，BC＝2km，
∴BD＝BC＝1km，
∴CD＝km，
∵∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝DC＝km，
∴AB＝AD+DB＝（+1）km．
故答案为：（+1）．
16．（3分）如图，四边形AOBC是菱形，点C在以O为圆心OA为半径的上，若OA＝2，则的长为 ．
【分析】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA＝AC＝2，再由OA＝OC可知△AOC是等边三角形，∠AOC＝∠BOC＝60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD的长，由S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOC即可得出结论
【解答】解：连接OC，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA＝AC＝2．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝，
故答案为：．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A′OB′，若点A的对应点A′落在直线AB上，连接BB′，则四边形BA′OB′的面积为 ．
【分析】作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，依题意求出点A，B坐标，求出OA＝1，OB＝，先证得△OAA′是等边三角形，即可求出点A′的坐标即可，通过三角形相似求得B′的坐标，用S△A′OB+S△OBB′即可得到四边形BA′OB′的面积．
【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵一次函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴点坐标A（﹣1，0），B（0，），即OA＝1，OB＝，
∴OA′＝OA＝1，OB′＝OB＝，
∵tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴OD＝，A′D＝，
∴A′（，），
∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴∠A′OD+∠B′OE＝90°，
∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，
∴∠B′OE＝∠OA′D，
∵∠A′DO＝∠OEB′，
∵△A′DO∽△OEB'，
∴＝＝＝，
∴OE＝，B′E＝，
∴B′（，），
∴四边形BA′OB′的面积＝S△A′OB+S△OBB′＝+＝，
故答案为．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝ 2+ ．
【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．
【解答】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴AB＝＝＝2，
∵∠AMC＝2∠AOC＝120°，
∴AC＝AM＝，
在Rt△COH中，OH＝OC•cos60°＝a，CH＝OH＝a，
∴AH＝4﹣a，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
∴15＝（4﹣a）2+（a）2，
∴a＝2+或2﹣（舍弃），
∴OC＝2+．
故答案为：2+．
三、解答题（本大题共10小题，共76分把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）
19．（5分）计算：（π+）0﹣（﹣）2﹣．
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣﹣2
＝﹣2．
20．（5分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣2.5，
故不等式组的解集为﹣2.5≤x＜1．
21．（6分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BC，若∠CFD＝100°，∠BCE＝30°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）根据SAS证明即可．
（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD＝100°，
∴∠BEC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠CBE＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
22．（7分）某校举行运动会时成立了“志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：A．安全监督岗；B．卫生监督岗；C．文明监督岗；D．检录服务岗，小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监岗．
（1）小明被分配到“文明监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵设立了四个“服务监督岗”，而“文明监督岗”是其中之一，
∴小明被分配到“文明监督岗”的概率为．
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，③）
（D，C）
④
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，④）
共有16种等可能的结果，其中小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果数为4，
所以小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率是＝．
23．（7分）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源某城市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．（注：A为厨余垃圾，B为可回收垃圾，C为其它垃圾，D为有害垃圾）
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）求这次抽样调查中可回收垃圾的吨数，并将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数；
（3）假设该城市每月产生的生活垃圾为6000吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨？
【分析】（1）根据A类数量和所占的百分比，可以求得本次抽取的垃圾吨数，然后再根据条形统计图中的数据，即可求得B类垃圾的吨数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出每月产生的有害垃圾有多少吨．
【解答】解：（1）本次抽样调查的垃圾有：24÷48%＝50（吨），
B类垃圾有：50﹣24﹣8﹣6＝12（吨），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）360°×＝43.2°，
即扇形统计图中，“D有害垃圾”所对应的圆心角度数是43.2°；
（3）6000×＝720（吨），
即估计每月产生的有害垃圾有720吨．
24．（8分）某校分批组织初一学生到青少年活动基地进行社会实践活动，学校租用35座的甲型客车和30座的乙型客车包车前去，第一批学生租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；第二批学生租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元．
（1）租用甲型客车和乙型客车每辆各多少元？
（2）学校组织第三批学生250人前去社会实践时，预算的租车费用不超过3000元，所以学校准备租用甲型客车和乙型客车一共8辆，请问共有几种租车方案？
【分析】（1）设租用甲型客车每辆x元，租用乙型客车每辆y元，根据等量关系：租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元；建立方程组求出其解即可；
（2）设租用甲型客车m辆，则乙型客车（8﹣m）辆，根据题意，学生250人；预算的租车费用不超过3000元，建立不等式组求出其解即可．
【解答】解：（1）设租用甲型客车每辆x元，租用乙型客车每辆y元，
由题意可得：，
解得，
答：租用甲型客车每辆400元，租用乙型客车每辆320元；
根据等量关系：租用甲型客车3辆和乙型客车2辆，共用去1840元；租用甲型客车2辆和乙型客车4辆共用去2080元；建立方程组求出其解即可；
（2）设租用甲型客车m辆，则乙型客车（8﹣m）辆，
由题意可得：，
解得2≤m≤5.5，
∵m是整数，
∴共有4种租车方案：①租用甲型客车2辆，乙型客车6辆；②租用甲型客车3辆，乙型客车5辆；③租用甲型客车4辆，乙型客车4辆；④租用甲型客车5辆，乙型客车3辆．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x交x轴的负半轴于点A，点B是抛物线上一点，连接AB，交y轴于点C，且AC＝BC．点D是抛物线的顶点．
（1）求点B坐标；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为M．若该抛物线经过点C，且DM∥AB，求新抛物线对应的函数表达式．
【分析】（1）根据A点的坐标，C是AB的中点即可求出B点的坐标；
（2）根据已知条件可以求出直线DM的解析式，再设出平移后的抛物线解析式得到顶点坐标，又因为抛物线过C点，即可求出解析式．
【解答】解：（1）由题意知A（﹣1，0），
设B（xB，+xB），
∵AC＝BC，
∴点C是AB的中点，
故xB﹣1＝0，
∴xB＝1，
∴B（1，2）；
（2）由（1）知点C（0，1），
又∵A（﹣1，0），
∴直线AB：y＝x+1，
∵DM∥AB，
∴设直线DM解析式为y＝x+m，
∵D点是抛物线y＝x2+x的顶点，
∴D（﹣，﹣），
把D点代入直线DM解析式为y＝x+m，
解得m＝，
∴直线DM的解析式为y＝x+，
设平移后的函数表达式为y＝（x﹣m）2+（x﹣m）+n＝x2+（1﹣2m）x+m2﹣m+n，
∴顶点M的坐标为（，），
∵新抛物线过C点，M在直线DM上，
∴，
解得或，
∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣x+1或y＝x2+3x+1．
26．（10分）定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2，则称点P为△ABC的“理想点”．
（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，AB＝2，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【分析】（1）由已知可得＝，从而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可证点D是△ABC的“理想点”；
（2）由D是△ABC的“理想点”，可得CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度．
【解答】解：（1）点D是△ABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB＝2，
∴AD＝BD＝1，AD•AB＝2，
∵AC＝，
∴AC2＝2，
∴AC2＝AD•AB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”；
（2）如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝．
27．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD边相切于点E，BC交⊙O于点F（AF＞BF），连接AE，EF．
（1）求证：∠AFE＝45°；
（2）求证：EF2＝AF•CF；
（3）若⊙O的半径是，且，求AD的长．
【分析】（1）连接OE，证明∠AOE＝90°，即可求解；
（2）证明△FCE∽△FEA，即可求解；
（3）在△AEF中，EF＝3m，AF＝9m，∠AFE＝45°，则EH＝FH＝EF＝3m，AH＝AF﹣HF＝9m﹣3m＝6m，则AE＝＝＝AO＝×＝3，解得m＝1，则FB＝＝＝3，进而求解．
【解答】解：（1）连接OE，
∵CD是圆O的切线，故OE⊥CD，
而四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，OE⊥AB，
则∠AOE＝90°，
∴∠AFE＝45°；
（2）∵AB是圆的直径，故∠AFB＝90°＝∠AFC，
而∠AFE＝45°，故∠CFE＝90﹣∠AFE＝45°＝∠AFE，
∵CD是圆的切线，故∠CEF＝∠EAF，
∴△FCE∽△FEA，
∴，
∴EF2＝AF•CF；
（3）∵，故设CF＝2m，AF＝9m，
则EF2＝AF•CF＝2m•9m＝18m2，解得EF＝3m，
在△AEF中，EF＝3m，AF＝9m，∠AFE＝45°，
过点E作EH⊥AF于点H，
则EH＝FH＝EF＝3m，AH＝AF﹣HF＝9m﹣3m＝6m，
则AE＝＝＝AO＝×＝3，解得m＝1，
则FB＝＝＝3，
则BC＝BF+CF＝3+2m＝3+2＝5＝AD，
即AD＝5．
28．如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝1，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段BA延长线上一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G．设BE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系如图2所示．
（1）y与x的函数表达式为 y＝﹣2x+4（0＜x＜2） ；边BC的长为 2 ；
（2）求证：DE⊥DF；
（3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形？如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）待定系数法设y与x的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），根据图象经过（1，2），（0，4），将其代入即可求出表达式，由图象即可知BC的长；
（2）证明△CDE∽△ADF，再利用相似三角形对应角相等即可转换求证∠EDF＝90°即得证；
（3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，分DE＝DG，DG＝GE，DE＝GE三种情况讨论结合图形特点即可算出x的值．
【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
由图象知函数经过（1，2），（0，4），将其代入函数表达式得：
，
解得：，
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣2x+4，
令y＝0，则x＝2，
故由图象可知：0＜x＜2，BC＝2，
故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2），2；
（2）证明：∵BE＝x，BC＝2，
∴CE＝2﹣x，
∴＝＝，＝，
∴＝且∠C＝∠DAF＝90°，
∴△CDE∽△ADF，
∴∠ADF＝∠CDE，
又∵∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°，
∴∠EDF＝90°
∴DE⊥DF；
（3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，分情况讨论：
①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，
∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠BEF＝∠DEG，
在△DEF和△BEF中，
∴，
∴△DEF≌△BEF（AAS）
∴DE＝BE＝x，
而CE＝2﹣x，CD＝1，
在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，
即，12+（2﹣x）2＝x2，
解得：x＝；
②若DG＝GE，则∠GDE＝∠GED，
∵∠GDE+∠GDF＝90°，
∠DEG+∠DFE＝90°，
∴∠GDF＝∠DFE，
∴DG＝FG＝GE，
∴G为EF的中点，
又∵AG∥BE，
∴A也为BF的中点，
∴AF＝BA＝1，
∴y＝﹣2x+4＝1，
解得：x＝；
③若DE＝GE，则∠EDG＝∠EGD，过点E作EH⊥DG于点H，则：
DH＝GH＝CE＝2﹣x，EH＝CD＝AB＝1，AG＝2﹣DG＝2﹣2（DH）＝2﹣2（2﹣x）＝2x﹣2，AF＝y＝﹣2x+4，
∵∠EHG＝∠GAB＝∠GAF＝90°，∠HGE＝∠AGF，
∴△HGE∽△AGF，
∴，
即，，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴此时x＝；
综上所述，当x＝或或时，使得△DEG是等腰三角形．
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