2021年中考数学 三轮专题冲刺：锐角三角函数及其应用（含答案）

这是一份2021年中考数学 三轮专题冲刺：锐角三角函数及其应用（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021中考数学 三轮专题冲刺：锐角三角函数及其应用一、选择题1. （2020·天津）2sin45°的值等于（    　　）A. 1 B.  C.  D. 2 2. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为 (　　)A.AB=，BC=4，AC=5B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.cosA-+tanB-2=0  3. (2019•湖南湘西州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是A．10  B．8 C．4  D．2 4. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为                                                           （    ）              A.       B.    C.    D.  5. 如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（　　）A.     B.       C.       D.6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BD是△ABC的角平分线，BD＝8，则△ABC的三边长分别是(　　)　　　A．6，6，12    B．2，6，4C．4，4，8    D．4，12，8 7. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 m，则鱼竿转过的角度是(　　)A. 60°  B. 45°  C. 15°  D. 90°　　　　  8. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．asinx+bsinx  B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx  D．acosx+bsinx 二、填空题9. 【题目】 (2020·湘潭)计算：________．10. 6tan230°-sin60°-2sin45°=　　　　.   11. 如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．　 12. (2019•湖北随州)计算：(π–2019)0–2cos60°=__________． 13. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)  14. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是__________米(结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)． 15. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝40°，∠E＝140°，AB＝EF＝5，BC＝DE＝8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC________S△DEF(填“＞”或“＝”或“＜”)．　　 16. （2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．三、解答题17. 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:≈1.73，≈1.41)
    18. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行.(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73).
    19. 如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：≈1.73)      20. 阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)利用上述结论解答下列问题：(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 ，c＝2，求a的长和∠C的度数；(2)在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．     21. 如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．      2021中考数学 三轮专题冲刺：锐角三角函数及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】本题考查了特殊值的三角函数值。2sin45°=2×＝2，故选B.2. 【答案】C　[解析]A.∵52+42=25+16=41=()2，∴△ABC是直角三角形;B.设AB=3x，则BC=4x，AC=5x.∵(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2，∴△ABC是直角三角形;C.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=×180°=75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形;D.∵cosA-+tanB-2=0，∴cosA=，tanB=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形.故选C.  3. 【答案】D【解析】∵∠C=90°，cos∠BDC=，设CD=5x，BD=7x，∴BC=2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD=BD=7x，∴AC=12x，∵AC=12，∴x=1，∴BC=2；故选D． 4. 【答案】
B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴∠ADC的正弦值等于，因此本题选B． 5. 【答案】B 【解析】过点B作BD⊥AC于D点D， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=，BD=,∴在Rt△ABD中，sin∠BAC=,故选B．  6. 【答案】D　[解析] ∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝30°.解Rt△BCD，Rt△ABC，即可得△ABC的三边长． 7. 【答案】C　【解析】∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.  8. 【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D． 二、填空题9. 【答案】【答案】10. 【答案】　[解析]原式=6×2--2×=.  11. 【答案】2　[解析] 过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x.在Rt△ACD中，AD＝AC·sinC＝x，CD＝AC·cosC＝x.在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝x.∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，∴x＝2. 12. 【答案】0【解析】原式=1–2×=1–1=0，故答案为：0． 13. 【答案】2.9　【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4 米，故CD＝CM－DM＝4－4≈2.9米．  14. 【答案】1.5【解析】∵sinα，∴AD=AC•sinα≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5． 15. 【答案】＝　[解析] 如图，在△ABC中，过点A作AG⊥BC，垂足为G.在△DEF中，过点F作FH⊥DE，交DE的延长线于点H，∴AG＝sinB·AB＝5sin40°.∵∠DEF＝140°，∴∠FEH＝40°，∴FH＝sin∠FEH·EF＝5sin40°，∴AG＝FH.又∵BC＝DE，∴S△ABC＝S△DEF. 16. 【答案】【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．三、解答题17. 【答案】解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.设楼房AB的高为x米，则EB=x米，∵坡度i=1∶，CD=10米，∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5米，在Rt△ADH中，tan∠ADH=，∴DH=(x-5).∴5+10+x=(x-5)，解得x=15+5≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.
18. 【答案】解:(1)过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形，∴FG=DE.在Rt△CDE中，DE=CE·tan∠DCE=6×tan30°=2(米).∴点F到直线CE的距离为2米.(2)∵斜坡CF的坡度i=1∶1.5，∴Rt△CFG中，CG=1.5FG=2×1.5=3，∴FD=EG=3+6.∵∠AFD=45°，∴AD=DF=3+6.在Rt△BCE中，BE=CE·tan∠BCE=6×tan60°=6.∴AB=AD+DE-BE=3+6+2-6=6-≈4.3(米).答:宣传牌的高度AB约为4.3米.  19. 【答案】解：不会有触礁危险．理由如下：如解图，过点P作PC⊥AB，由题意可得，∠PAB＝30°，∠PBC＝45°，(2分)设PC＝x，则BC＝x，∴tan∠PAC＝tan30°＝＝＝，解得x＝＝4＋4≈10.92>10，(4分)∴不会有触礁的危险．(6分)  20. 【答案】[解析] (1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．解：(1)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2 )2＋22－2×2 ×2×＝4，则a＝2(负值已舍)．∵22＋22＝(2 )2，即a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°.(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，∴c2－c＋1＝0，解得c＝.∵c＞a＞b，∴c＝. 21. 【答案】 (1)证明：如解图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE∥AD，∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，，∴△BOE≌△DOE(SAS)，∴∠ODE＝∠OBE，∵BE⊥AB，∴∠OBE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵AB⊥CD，∴∠ADP＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADP，∴sin∠ABD＝＝sin∠ADP＝，∵⊙O的半径为3，∴AB=6，∴AD＝AB＝2；解图(3)解：猜想PF＝FD，证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD∥BE，∴△APF∽△ABE，∴＝，∴PF＝，在△APD和△OBE中，，∴△APD∽△OBE，∴＝，∴PD＝，∵AB＝2OB，∴PF＝PD，∴PF＝FD.