陕西省西安市长安区2021届高三下学期5月第二次模拟考试：理科数学试题+答案

这是一份陕西省西安市长安区2021届高三下学期5月第二次模拟考试：理科数学试题+答案，共16页。试卷主要包含了 ，统计数据如表下所示等内容，欢迎下载使用。

本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 保持答题卡清洁，不折叠、不破损。
5. 若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
B. C. D.
2．若复数满足： （为虚数单位），则等于（ ）
A． B． C． D．
3.已知“x>2”是“eq \f(3,x＋1)<1”的( )条件.
A充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数 ，的图像是（ ）
A．B．
C．D．
6．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7．在的展开式中，的系数是14，则的系数是（ ）
A．28B．56C．112 D． 224
等差数列中，，前项和为，若，则（ ）
A．1010B．2020C．1011D．2021
在△ABC中，D是BC的中点，已知，，，则△ABC的面积为 （ ）
A． B． C． D．
10. 2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员至少检测3家商店的概率为（ ）
A．B． C． D．
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
12. 已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
B. C. D.
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知,,,,则与的夹角的余弦值为__________．
14．设 满足约束条件，则的取值范围为__________．
15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为________．
16．已知是定义域为的函数的导函数，若对任意实数都有，且有，则不等式的解集为__________．
解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17、（本题12分）已知函数经过点，且在区间上单调.
求函数的解析式.
设，求数列的前60项和.
18.已知等腰梯形，，，沿将△折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19. （本题12分）为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：
根据以上数据，绘制了散点图.
（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立与的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：
西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以90万元单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？
参考数据：
其中其中，，
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
20、（本题12分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
求的方程，并说明是什么曲线.
曲线与轴正半轴的交点为点，点是曲线上的一点（点不在坐标轴上），若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为等腰三角形.
21、（本题12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，对任意，都有成立，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
在直角坐标系，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为.
求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程.
已知点，曲线与直线交于两点，求的值.
已知，.
当时，求不等式的解集.
求的取值范围.
长安区2021年高三年级第二次模拟试题
数学（理科）评分细则
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
-5:BDACB; 6--10:CDBDA; 11--12: AC
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14． 15．5, 16．
解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．解（Ⅰ）由题可得，
解得，，∵，∴. （4分）
所以函数的解析式为（5分）（Ⅱ），...（7分）
又，，，（9分）
（10分）
（12分）
18、（1）等腰梯形，，，知：且，，即Rt△中
∴，又面面，面，而面面
∴面（4分）
（2）如下图示，构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面的直线为z轴的空间直角坐标系，由题意知：，，，则，，，-----------（6分）
令为面ABD的一个法向量，则
，若y=1，有（8分）
令为面CBD的一个法向量，则
，若y=1，有（10分）
与的夹角为，则，故
所以二面角的正弦值为（12分）
19、（1）根据散点图判断，在推广期内， （均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型（2分）
（2）根据（1）的判断结果，
两边取对数得，（3分）
其中，，，
，
，所以。
所以。（6分）
当时， 。
所以活动推出第8天使用扫码支付的人次3470人（7分）
（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，
根据题意得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2
，
，
。（10分）
假设这批车需要（）年才能开始盈利，
则解得，所以需要3年才能盈利（12分）
20、（1）设动点，因为直线与的斜率之积为，所以或（2分）
化简得曲线的方程为（3分）
曲线表示焦点在轴上的椭圆（不含左右顶点）（4分）
（2）方法1：易得，，，
，，
设直线，
联立，得，
有韦达定理得，，（6分）
，
直线，
联立，得；（8分）
联立，得，（10分）
轴且PQ的中点N为，
轴，
为的中线且，
为等腰三角形．（12分）
方法2：设点
（5分）
（7分）
，所以有.（9分）
又可得的中点的纵坐标又在椭圆，
（11分）
轴，
为的中线且，
为等腰三角形．（12分）
21、【详解】1函数的定义域为．
当时，，所以．
当时，，所以函数上单调递增．
当时，令，解得：，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．（4分）
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为．（5分）
2对任意，，有成立，
，
成立（6分）
，时，．
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
，，（8分）
设，，．
在递增，，
可得，（10分）
，即，
设，，在恒成立．
在单调递增，且，
不等式的解集为．
实数b的取值范围为．（12分）
22、（1）直线参数方程消去参数，可得，整理得，
即直线的普通方程为；（2分）
曲线化为直角坐标方程可得，整理得，即曲线的直角坐标方程为；（5分）
（2）直线的参数方程可化为，令得到代入椭圆方程得，（7分）
， （10分）
（1）当时，
，即解得或，所以不等式的
解集是（5分）
，（7分）
关于的分段函数在上单调递减，在上单调递增（8分）
所以当时，取最小值，无最大值，所以取值范围为..（10分）
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10％
60％
30％