四川省雅安市2021届高三下学期5月第三次诊断考试：数学（理）试题+答案 (PDF版)

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一.选择题
1.A 2.C 3.D 4. B 5. C 6. C 7. C 8.B 9.C 10. A 11. D 12.A
二.填空题
13.3 14. 15. 3 16.②③④
三.解答题
17.解：∵是与的等差中项
∴=
∴ ∴分
∵∴∴ ∴ 分
（2）由（1）得分
分
∵数列为单调递增的数列，∴ ∴ . 分

18.解：（1）由已知可得，岁及以下采用乘坐成雅高铁出行的有
人············分
列联表如表:
·············4分
由列联表中的数据计算可得的观测值
·································6分
由于，故有的把握认为“采用乘坐成雅高铁出行与年龄有关”.····························································7分
（2）采用分层抽样的方法，从“岁及以下”的人中抽取人，
从“岁以上”的人中抽取人，···································8分
的可能取值为:
···········································10分
故分布列如表:
数学期望.·············12分
19．解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为∠PCD＝90，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥AC．······························································4分
（Ⅱ）因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．
如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系．

则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．
设，则，
又∠DAE＝60°，则，
即，解得． ···································· 8分
则，，
所以.
因为，所以．
又，故二面角B-AE-D的余弦值为．·······················……12分
另解：同上，E(0，，)．
设是平面BAE的法向量，解得法向量，
设是平面DAE的法向量，解得法向量，
，由图可知，二面角的余弦值为.
20.解：（1），·············································1分
由题知，则
椭圆的标准方程··········································4分
（2）（i）若的斜率不存在，则
此时······································.5分
（ii）若的斜率存在，设，设的方程为：，
，·······················6分
由韦达定理得：·········································7分
，·················································8分
··············································11分
所以：为定值1.··············································12分
另解：（2）当直线AB的斜率为0时，，·········5分
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则：
，···································6分
，·········································7分
则：，··············································8分
，··················································11分
所以：为定值1.·················································12分
21题：解：（1）由题意，，可得a＝eq \f(1＋ln x,x)（x>0），·············1分
转化为函数T(x)＝eq \f(1＋ln x,x)与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点，········2分
T′(x)＝eq \f(－ln x,x2)(x>0)，
故当x∈(0,1)时，T′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，T′(x)0，即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0，
即只需证明 a>eq \f(2,x1＋x2)成立，即证eq \f(ln x1－ln x2,x1－x2)>eq \f(2,x1＋x2).·························9分
不妨设0