陕西省西安市长安区2021届高三下学期5月第二次模拟考试：文科数学试题+答案

长安区2021年高三年级第二次模拟试题

文科数学

本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 保持答题卡清洁，不折叠、不破损。

5. 若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足： （为虚数单位），则等于（    ）

A．         B．            C．       D．

3.已知“x>2”是“<1”的(　　)条件.

A充分不必要      B．必要不充分       C．充要         D．既不充分也不必要

4．设，，则（    ）

A．        B．          C．        D．

5．函数的图象是(     )

A． B．

C． D．

6．等差数列中，，前项和为，若，则（    ）

A．1010 B．2020 C．1011 D．2021

7．对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如右表所示，由最小二乘法求得回归方程为，则表中看不清的数据为（   ）

A．4.8     B．5.2     C．5.8      D．6.2

8. 在△ABC中，D是BC的中点，已知，，，则△ABC的面积为  （    ）

A．           B．              C．               D．

9．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（    ）

A．78           B．88

C．98           D．108

10．已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（   ）

A．      B．      C．    D．

11.设是双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的渐近线方程是（   ）

A.     B.     C.    D.

12．已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（      ）

1.             B.              C.            D. 

二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．已知,,,,则与的夹角的余弦值为__________．

14．设 满足约束条件，则的取值范围为__________．

15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能取值组成的集合为________．

16．已知是定义域为的函数的导函数，若对任意实数都有，且有，则不等式的解集为__________．

二、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（本题12分）已知函数经过点，且在区间上单调.

（1）求函数的解析式.

（2）设，求数列的前60项和.

18. (本题12分) 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？

附：K2＝，

19．(本题12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形．梯形ABCD满足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC.

(1)求证：PD⊥AB；

(2)若PD＝2，求点D到平面PBC的距离．

20.(本题12分) 已知（m，n为常数），在处的切线方程为．

（Ⅰ）求的解析式并写出定义域；

（Ⅱ）若，使得对上恒有成立，求实数a的取值范围；

21.（本题12分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.

（1）求的方程，并说明是什么曲线.

（2）曲线与轴正半轴的交点为点，点是曲线上的一点（点不在坐标轴上），若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为等腰三角形.

请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.在直角坐标系，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程.

（2）已知点，曲线与直线交于两点，求的值.

23.已知，.

（1）当时，求不等式的解集.

（2）求的取值范围.

长安区2021年高三年级第二次模拟试题

数学（文科）评分细则

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1--5:BDACB;    6--10:BADCB;       11--12: AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.       14．      15．5,       16．

四、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．解（Ⅰ）由题可得，

解得，，∵，∴. ......................... （4分）

所以函数的解析式为..............................（5分）（Ⅱ），...（7分）

又，，，（9分）

...............................................（10分）

..........................................（12分）

(18.解　(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋6＋18＋8＝64，...（2分）

所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64....（4分）

(2)由所给数据，可得2×2列联表为：

...（8分）

(3)根据2×2列联表中的数据可得

K2＝

＝

＝≈7.484 4>6.635，...（11分）

因此根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关（12分）

19.(1)证明　如图，取AB的中点O，连接OP，OD，

因为△PAB是边长为2的等边三角形，

所以PO⊥AB，（1分）  OB＝AB＝1，

因为BO＝CD＝1，AB∥CD，

所以四边形OBCD为平行四边形，

又因为AB⊥BC，所以DO⊥AB....（2分）

因为DO∩PO＝O，且OD，OP⊂平面POD，

所以AB⊥平面POD，...（4分）

又PD⊂平面POD，所以PD⊥AB....（5分）

(2)解　设点D到平面PBC的距离为h，

由DO＝BC＝1，PO＝＝，PD＝2，

得DO2＋PO2＝PD2＝4，所以DO⊥PO，...（6分）

又因为DO⊥AB，且AB∩PO＝O，所以DO⊥平面PAB.

因为CB∥DO，所以CB⊥平面PAB，...（8分）

又PB⊂平面PAB，所以CB⊥BP.

同理可得PO⊥平面ABCD....（10分）

由VD－PBC＝VP－DBC可得，

×h××BC×PB＝×PO××BC×DC，

所以h＝....（12分）

20.解：（Ⅰ），由条件可得及在处的切线方程为，得，所以，x∈（0，+∞）。...（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对恒成立，令，

易得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，而   ∴∴，即a的取值范围为。...（12分）

21.解（1）设动点，因为直线与的斜率之积为，所以.............................................（2分）

化简得曲线的方程为................................（3分）

曲线表示焦点在轴上的椭圆（不含左右顶点）...........................（4分）

（2）方法1：易得，，，

，，

设直线，

联立，得，

有韦达定理得，，....................................................（6分）

，

直线，

联立，得；..........................................................（8分）

联立，得，.....................................................（10分）

轴且PQ的中点N为，

轴，

为的中线且，

为等腰三角形．....................................................................................................（12分）

方法2：设点

...............................................................（5分）

.................................（7分）

，所以有.（9分）

又可得的中点的纵坐标又在椭圆，

............（11分）

轴，

为的中线且，

为等腰三角形．....................................................................................................（12分）

22.解（1）直线参数方程消去参数，可得，整理得，

即直线的普通方程为；...................................（2分）

曲线化为直角坐标方程可得，整理得，即曲线的直角坐标方程为；.....................................................（5分）

（2）直线的参数方程可化为，令得到代入椭圆方程得，................（7分）

， （10分）

23.解（1）当时，

，即解得，所以不等式的

解集是...............................................................................................................（5分）

（2），..................................（7分）

关于的分段函数在上单调递减，在上单调递增................................（8分）

所以当时，取最小值，无最大值，所以取值范围为..（10分）