2022高考数学一轮复习课时规范练47抛物线（含解析）

课时规范练47　抛物线

基础巩固组

1.(2020福建厦门一模)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=(　　)

A.2 B.4 C.±2 D.±4

2.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(　　)

A.2 B.2 C.2 D.4

3.(2020河北唐山一模,文8)抛物线x2=2py(p>0)上一点A到其准线和坐标原点的距离都为3,则p=(　　)

A.8 B.6 C.4 D.2

4.F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2,则|PQ|=(　　)

A. B.4 C. D.3

5.

(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)

A. m B. m C. m D. m

6.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为(　　)

A.y2=x B.y2=x

C.y2=2x D.y2=2x

7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AA'⊥l,垂足为A'.若四边形AA'PF的面积为14,且cos∠FAA'=,则抛物线C的方程为              (　　)

A.y2=x B.y2=2x

C.y2=4x D.y2=8x

8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　. 

9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-,则△AMF的面积为　　　　　. 

10.已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,为半径的圆,直线2x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则=　　　　　. 

综合提升组

11.(2020广东广州一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

12.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为(　　)

A. B.3 C. D.6

13.(2020河北衡水中学三模,理14)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　,直线AB的斜率为　　　　　. 

14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.

创新应用组

15.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=(　　)

A.4 B.8 C.16 D.

16.

(2020江西上饶三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.

参考答案

课时规范练47　抛物线

1.C　∵x2=ay,∴p==1,∴a=±2.故选C.

2.C　利用|PF|=xP+=4,可得xP=3.∴yP=±2.∴S△POF=|OF|·|yP|=2.故选C.

3.C　设A(x0,y0),由题意得y0+=3,即p=6-2y0,又因为=2py0,

所以=2(6-2y0)y0,化简得+4=12.

又因为点A到原点的距离为3,

所以=9,解得=8,=1.

又由题可得y0=1,代入=2py0有p=4.故选C.

4.A　记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=.故选A.

5.D　建立平面直角坐标系如图所示.

设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,

因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为m.故选D.

6.C　如图,圆C:+y2=4的圆心C是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.

∵圆C:+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,

∴点A,N关于直线x=对称,

即xN+xA=×2=p,∴xN=p,

∴|NA|=p-=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.

7.C　过点F作FF'⊥AA',垂足为F'.

设|AF'|=3x,因为cos∠FAA'=,所以|AF|=5x,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x,则|A'F'|=2x=p,故x=.四边形AA'PF的面积S=

==14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.

8.2　由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.

依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.

9.4　设准线l与x轴交于点N,

则|FN|=2.

∵直线AF的斜率为-,

∴∠AFN=60°,

∴∠MAF=60°,|AF|=4.

由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,

∴△AMF是边长为4的等边三角形.

∴S△AMF=×42=4.

10.⇒12y2-20py+3p2=0.

因为直线2x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,所以yP=,yS=p.

由直线2x-6y+3p=0过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,

所以|RS|=|SF|-=yS+=yS+,|PQ|=|PF|-=yP+=yP+.

11.B　由已知得抛物线C:y2=6x的焦点坐标为,0,准线方程为x=-.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),

因为|AF|=3|BF|,所以x1+=3x2+,|y1|=3|y2|.

所以x1=3x2+3,x1=9x2,

所以x1=,x2=.

所以|AB|=x1++x2+=8.故选B.

12.A　圆C2:x2+y2-12x+11=0可化为(x-6)2+y2=52,

故圆心为(6,0),半径为5,由于BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,故B(6,-5),C(6,5).

将B点坐标代入抛物线方程得25=12p,故p=,抛物线方程为y2=x.

联立

消去y得x2-x+11=0,

解得x=或x=6(舍去),

故A点横坐标为.故选A.

13.4　2　过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.

根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.

根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.

设A(x1,y1),B(x2,y2),由=4x1,=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为k==2.

14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0).

∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.

(2)由题知直线m的斜率存在,

设其方程为y=kx+6,

由消去y整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则

由x2=4y,得y=,∴y'=.

抛物线在点P处的切线方程为y-(x-x1),令y=-1,得x=,可得点R,

由Q,F,R三点共线得kQF=kFR,

∴,

即(-4)(-4)+16x1x2=0,

整理得(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=,即k=±,

∴所求直线m的方程为y=x+6或y=-x+6.

15.C　设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,

因为=|AB|-1,

所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB=

=

≥,

当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.

所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.

不妨设此时直线AD的方程为y=x+1,由消去y,得x2-4x-4=0,所以x1+x3=4,

所以y1+y3=(x1+x3)+2=14.

所以|AD|=16.故选C.

16.解(1)∵抛物线C上的点到准线的最小距离为1,∴=1,解得p=2,

∴抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由(1)可知焦点为F(1,0).

由已知可得AB⊥CD,∴两直线AB,CD的斜率都存在且均不为0.

设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为-,

∴直线AB的方程为y=k(x-1).

联立消去x得ky2-4y-4k=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=.设M(xM,yM),由yM=k(xM-1),得xM=+1=+1,∴M.

同理可得N(2k2+1,-2k).

∴|NF|==2,|MF|=,

∴|MF|·|NF|=×2=4×≥4×2=8,

当且仅当|k|=,即k=±1时,等号成立.

∴|MF|·|NF|的最小值为8.